一辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$を考える．点$\mathrm{P}$は，点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を除いた辺$\mathrm{BC}$上を動くとする．点$\mathrm{P}$を通り直線$\mathrm{AP}$と垂直な直線と辺$\mathrm{CD}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{BP}$の長さを$x$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{CPQ}$の面積$S$を，$x$を用いて表せ．
(2)面積$S$の最大値と，そのときの$x$の値を求めよ．
(3)線分$\mathrm{AQ}$の長さ$L$の最小値と，そのときの$x$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)放物線$C:y=x^2+x-1$と直線$\ell:y=2x+1$の交点の座標を求めよ．
(2)(1)で求めた交点の$x$座標の大きい方を$x_0$とする．$a>x_0$とする．$C$と$\ell$で囲まれた領域の面積を$S_1$，$C$と$\ell$および直線$x=a$で囲まれた領域の面積を$S_2$，$C$と$\ell$および直線$x=-a$で囲まれた領域の面積を$S_3$とする．$S_1=S_2+S_3$となるときの$a$の値を求めよ．

曲線$C:y=e^x$について以下の問いに答えよ．

(1)$C$上の点$\mathrm{P}(p,\ e^p)$における接線$\ell$および法線$n$の方程式を求めよ．
(2)$p>0$とする．$C$と$\ell$および$y$軸で囲まれる図形の面積を$S(p)$とする．また$C$と$n$および$y$軸で囲まれる図形の面積を$T(p)$とする．このとき極限$\displaystyle \lim_{p \to \infty}\frac{pT(p)}{S(p)}$を求めよ．

$a>0$とする．$x \geqq 0$における関数$f(x)=e^{\sqrt{ax}}$と曲線$C:y=f(x)$について，次の問いに答えよ．

(1)$C$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{1}{a},\ f \left( \frac{1}{a} \right) \right)$における接線$\ell$の方程式を求めよ．また，$\mathrm{P}$を通り$\ell$に直交する直線$m$の方程式を求めよ．
(2)定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{1}{a}}f(x) \, dx$を$t=\sqrt{ax}$とおくことにより求めよ．
(3)曲線$C$，直線$y=1$および直線$m$で囲まれた図形の面積$S(a)$を求めよ．また，$a>0$における$S(a)$の最小値とそれを与える$a$の値を求めよ．

空間において，$2$点$\mathrm{A}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0,\ 0)$を通る直線を$\ell$とする．次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$を$\ell$上に，点$\mathrm{Q}$を$z$軸上にとる．$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$がベクトル$(3,\ 1,\ -1)$と平行になるときの$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ求めよ．
(2)点$\mathrm{R}$を$\ell$上に，点$\mathrm{S}$を$z$軸上にとる．$\overrightarrow{\mathrm{RS}}$が$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$およびベクトル$(0,\ 0,\ 1)$の両方に垂直になるときの$\mathrm{R}$と$\mathrm{S}$の座標をそれぞれ求めよ．
(3)$\mathrm{R},\ \mathrm{S}$を$(2)$で求めた点とする．点$\mathrm{T}$を$\ell$上に，点$\mathrm{U}$を$z$軸上にとる．また，$\overrightarrow{v}=(a,\ b,\ c)$は零ベクトルではなく，$\overrightarrow{\mathrm{RS}}$に垂直ではないとする．$\overrightarrow{\mathrm{TU}}$が$\overrightarrow{v}$と平行になるときの$\mathrm{T}$と$\mathrm{U}$の座標をそれぞれ求めよ．

空間において，$2$点$\mathrm{A}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0,\ 0)$を通る直線を$\ell$とする．次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$を$\ell$上に，点$\mathrm{Q}$を$z$軸上にとる．$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$がベクトル$(3,\ 1,\ -1)$と平行になるときの$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ求めよ．
(2)点$\mathrm{R}$を$\ell$上に，点$\mathrm{S}$を$z$軸上にとる．$\overrightarrow{\mathrm{RS}}$が$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$およびベクトル$(0,\ 0,\ 1)$の両方に垂直になるときの$\mathrm{R}$と$\mathrm{S}$の座標をそれぞれ求めよ．
(3)$\mathrm{R},\ \mathrm{S}$を$(2)$で求めた点とする．点$\mathrm{T}$を$\ell$上に，点$\mathrm{U}$を$z$軸上にとる．また，$\overrightarrow{v}=(a,\ b,\ c)$は零ベクトルではなく，$\overrightarrow{\mathrm{RS}}$に垂直ではないとする．$\overrightarrow{\mathrm{TU}}$が$\overrightarrow{v}$と平行になるときの$\mathrm{T}$と$\mathrm{U}$の座標をそれぞれ求めよ．

$a>1$とし，$2$つの曲線
\[ \begin{array}{lll}
y=\sqrt{x} & & (x \geqq 0), \\
\displaystyle y=\frac{a^3}{x} & & (x>0)
\end{array} \]
を順に$C_1,\ C_2$とする．また，$C_1$と$C_2$の交点$\mathrm{P}$における$C_1$の接線を$\ell_1$とする．以下の問いに答えよ．

(1)曲線$C_1$と$y$軸および直線$\ell_1$で囲まれた部分の面積を$a$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$における$C_2$の接線と直線$\ell_1$のなす角を$\theta(a)$とする$\displaystyle \left( 0<\theta(a)<\frac{\pi}{2} \right)$．このとき，$\displaystyle \lim_{a \to \infty}a \sin \theta(a)$を求めよ．

一辺の長さが1の正方形$\mathrm{OABC}$を底面とし，点$\mathrm{P}$を頂点とする四角錐$\mathrm{POABC}$がある．ただし，点$\mathrm{P}$は内積に関する条件$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{1}{4}$，および$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{1}{2}$をみたす．辺$\mathrm{AP}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{M}$とし，辺$\mathrm{CP}$の中点を$\mathrm{N}$とする．さらに，点$\mathrm{P}$と直線$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{Q}$を通る直線$\mathrm{PQ}$は，平面$\mathrm{OMN}$に垂直であるとする．このとき，長さの比$\mathrm{BQ}:\mathrm{QC}$，および線分$\mathrm{OP}$の長さを求めよ．

原点$\mathrm{O}$を中心とし，点$\mathrm{A}(0,\ 1)$を通る円を$S$とする．点$\displaystyle \mathrm{B} \left( \frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$で円$S$に内接する円$T$が，点$\mathrm{C}$で$y$軸に接しているとき，以下の問いに答えよ．

(1)円$T$の中心$\mathrm{D}$の座標と半径を求めよ．
(2)点$\mathrm{D}$を通り$x$軸に平行な直線を$\ell$とする．円$S$の短い方の弧$\koa{AB}$，円$T$の短い方の弧$\koa{BC}$，および線分$\mathrm{AC}$で囲まれた図形を$\ell$のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．

$a,\ b$を正の整数とする．このとき，関数
\[ y=|x^2-ax+\displaystyle\frac{a^2|{2}-5} \]
のグラフと直線$y=b$との共有点を考える．

(1)共有点が$3$個になるような$(a,\ b)$の組をすべて求めよ．
(2)共有点が$1$個になるような$(a,\ b)$の組のうち，$b$が最小になるものを求めよ．