$f(x)=xe^{-x}$，$t>1$とするとき，以下の問いに答えなさい．

(1)曲線$y=f(x)$と直線$\displaystyle y=\frac{x}{t}$のすべての交点の座標を求めなさい．
(2)$(1)$のような$y=f(x)$と$\displaystyle y=\frac{x}{t}$で囲まれる部分の面積$S(t)$を求めなさい．
(3)$t$が$1$より大きい実数全体を動くとき，関数$\displaystyle g(t)=\frac{t}{\log t}(1-S(t))$の最小値を求めなさい．

$xy$平面において，$x$軸の正の部分に中心$\mathrm{A}$をもつ半径$1$の円$C$が，直線$\displaystyle y=x \tan t (0<t<\frac{\pi}{2})$に点$\mathrm{P}$で接している．以下の問いに答えなさい．

(1)点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{P}$の$x$座標を求めなさい．
(2)$x$軸の正の部分と円$C$と直線$y=x \tan t$で囲まれる部分を$x$軸のまわりに回転した立体の体積$V(t)$を求めなさい．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{t \to +0}tV(t)$を求めなさい．

原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において，点$\mathrm{A}$の座標を$(2,\ 0)$とし，点$\mathrm{P}$は直線$y=\sqrt{3}x$上にあるものとする．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)三角形$\mathrm{AOP}$の外接円の半径が$5$となるときの点$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．
(2)$\angle \mathrm{P}={45}^\circ$となるときの点$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．
(3)$\angle \mathrm{A}={45}^\circ$となるときの三角形$\mathrm{AOP}$の面積を求めなさい．

空間内の$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$について，どの$3$点も同一直線上にはないとする．また，正の実数$a,\ b$は$\sqrt{2}a<b<2a$を満たすとし，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=a$，$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}=b$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)三角形$\mathrm{OAB}$は鈍角三角形であることを示しなさい．
(2)線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$上（ただし，端点を除く）にそれぞれ点$\mathrm{A}^\prime$，$\mathrm{B}^\prime$，$\mathrm{C}^\prime$があり，三角形$\mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime \mathrm{C}^\prime$は正三角形であるとする．このとき，直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime$は平行であることを示しなさい．

$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=\sqrt{5}$，$\mathrm{CA}=1$である三角形$\mathrm{ABC}$において，点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{BC}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$，辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{M}$，直線$\mathrm{AH}$と直線$\mathrm{BM}$の交点を$\mathrm{P}$とする．次の問いに答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$で表せ．
(3)三角形$\mathrm{ABP}$の面積を求めよ．

$\displaystyle f(x)=\int_x^{x+1} t \cdot |t| \, dt$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$f(0)$と$f(-1)$を求めよ．
(2)$f^\prime(x)$を求めよ．
(3)$f(x)$を求めよ．
(4)座標平面において曲線$y=f(x)$と直線$y=f(-1)$で囲まれる部分のうち，$-2 \leqq x \leqq -1$の範囲の面積を$S_1$，$-1 \leqq x \leqq 0$の範囲の面積を$S_2$，$0 \leqq x \leqq 1$の範囲の面積を$S_3$とする．$S_1$，$S_2$，$S_3$を求めよ．

数直線上の座標$x$に点$\mathrm{P}$があるとき，表と裏がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$の確率で出る硬貨$2$枚を$1$回投げて，点$\mathrm{P}$の位置を次のように決める．

$(ⅰ)$ $2$枚とも表が出たときは，座標$x+1$に移動する．
$(ⅱ)$ $2$枚とも裏が出たときは，座標$x-1$に移動する．
$(ⅲ)$ 表と裏が$1$枚ずつ出たときは，移動しない．

点$\mathrm{P}$の最初の位置を座標$0$とする．硬貨$2$枚を$5$回投げ終わったときに，点$\mathrm{P}$が次の位置にある確率をそれぞれ求めよ．

(1)座標$4$
(2)座標 $3$
(3)座標$0$

$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$をみたす二等辺三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{AB}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{Q}$，直線$\mathrm{OP}$と直線$\mathrm{AQ}$の交点を$\mathrm{R}$，直線$\mathrm{BR}$と辺$\mathrm{OA}$の交点を$\mathrm{S}$とし，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$とおく．このとき，直線$\mathrm{BS}$は辺$\mathrm{OA}$と直交しているとする．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BS}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求めよ．
(4)三角形$\mathrm{OAB}$の面積を求めよ．

座標空間内に$3$点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{B}(3,\ 5,\ 7)$，$\mathrm{C}(4,\ 4,\ 5)$がある．また，$s,\ t$は実数であるとして，点$\mathrm{P}(s,\ t,\ 4)$を考える．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$が$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面上にあるための$s,\ t$の関係式を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$が直線$\mathrm{AB}$上にあるときの$s,\ t$の値を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$が$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面上を動くとき，その軌跡により三角形$\mathrm{ABC}$は二つの部分に分けられる．この二つの部分の面積の比の値$r$を求めよ．ただし，$r \geqq 1$とする．

$f(x)=x^4-2x^3+2x+4$，$g(x)=-1-3 \sqrt{|x-1|}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$y=f(x)$のグラフの概形を描け．ただし，変曲点に留意しなくてよい．
(2)$2$つの曲線$y=f(x)$と$y=g(x)$，および$2$つの直線$x=-1$と$x=2$で囲まれた図形を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．