「直線」について
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私立 南山大学 2014年 第1問$[ ]$の中に答を入れよ．
(1)$a$を実数とするとき，不等式$x^2-2ax+2a^2+a-1>0$がすべての実数$x$に対して成り立つような$a$の値の範囲を求めると$[ア]$である．
(2)$n$を整数とするとき，$\displaystyle \frac{3n-2}{5}$より大きな整数のうち最小のものが$6$となるような$n$の値をすべて求めると$n=[イ]$である．
(3)複素数$\displaystyle z=\frac{2-i}{1+i}$について，$z^2-z$を計算すると$z^2-z=[ウ]$である．さらに，$z^4-2z^3+3z^2-3z$を計算すると$z^4-2z^3+3z^2-3z=[エ]$である．
(4)$a>0$とし，$x>0$において$\displaystyle y=\left( \log_{10}ax^2 \right) \left( \log_{10} \frac{a}{x} \right)$を考える．$t=\log_{10} x$，$b=\log_{10}a$として$y$を$t$と$b$で表すと$y=[オ]$である．また，$x$の方程式$\displaystyle \left( \log_{10}ax^2 \right) \left( \log_{10} \frac{a}{x} \right)=1$が異なる$2$つの解$\alpha,\ \beta$をもつとき，$\alpha\beta$を$a$で表すと$\alpha\beta=[カ]$である．
(5)座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(4,\ 6)$，$\mathrm{B}(1,\ 3)$，$\mathrm{C}(4,\ 2)$を考える．$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る円の半径$r$を求めると$r=[キ]$である．また，点$\mathrm{A}$を通る直線が，この円と$\mathrm{A}$とは異なる点$\mathrm{P}$で交わり，$\mathrm{AP}=\sqrt{2}r$となるとき，この直線の傾き$k$を求めると$k=[ク]$である．
(1)$a$を実数とするとき，不等式$x^2-2ax+2a^2+a-1>0$がすべての実数$x$に対して成り立つような$a$の値の範囲を求めると$[ア]$である．
(2)$n$を整数とするとき，$\displaystyle \frac{3n-2}{5}$より大きな整数のうち最小のものが$6$となるような$n$の値をすべて求めると$n=[イ]$である．
(3)複素数$\displaystyle z=\frac{2-i}{1+i}$について，$z^2-z$を計算すると$z^2-z=[ウ]$である．さらに，$z^4-2z^3+3z^2-3z$を計算すると$z^4-2z^3+3z^2-3z=[エ]$である．
(4)$a>0$とし，$x>0$において$\displaystyle y=\left( \log_{10}ax^2 \right) \left( \log_{10} \frac{a}{x} \right)$を考える．$t=\log_{10} x$，$b=\log_{10}a$として$y$を$t$と$b$で表すと$y=[オ]$である．また，$x$の方程式$\displaystyle \left( \log_{10}ax^2 \right) \left( \log_{10} \frac{a}{x} \right)=1$が異なる$2$つの解$\alpha,\ \beta$をもつとき，$\alpha\beta$を$a$で表すと$\alpha\beta=[カ]$である．
(5)座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(4,\ 6)$，$\mathrm{B}(1,\ 3)$，$\mathrm{C}(4,\ 2)$を考える．$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る円の半径$r$を求めると$r=[キ]$である．また，点$\mathrm{A}$を通る直線が，この円と$\mathrm{A}$とは異なる点$\mathrm{P}$で交わり，$\mathrm{AP}=\sqrt{2}r$となるとき，この直線の傾き$k$を求めると$k=[ク]$である．
私立 北里大学 2014年 第1問$2$次関数$y=-x^2+3$のグラフを$C_1$とし，$1$次関数$y=2x+3$のグラフを$\ell_1$とする．以下の$2$つの条件を満たす放物線を$C_2$とする．
条件$1.$ $C_2$は$C_1$を平行移動した放物線であり，点$(1,\ 2)$は$C_1$と$C_2$の共有点である．
条件$2.$ $C_2$の頂点は$\ell_1$上にあり，その$x$座標は正の数である．
$C_1$と$C_2$の両方に接する直線を$\ell_2$とする．
(1)$C_2$をグラフとする$2$次関数は$y=[ア]$である．
(2)$\ell_2$をグラフとする$1$次関数は$y=[イ]$である．
(3)$C_1$と$C_2$および$\ell_2$で囲まれた部分の面積は$[ウ]$である．
条件$1.$ $C_2$は$C_1$を平行移動した放物線であり，点$(1,\ 2)$は$C_1$と$C_2$の共有点である．
条件$2.$ $C_2$の頂点は$\ell_1$上にあり，その$x$座標は正の数である．
$C_1$と$C_2$の両方に接する直線を$\ell_2$とする．
(1)$C_2$をグラフとする$2$次関数は$y=[ア]$である．
(2)$\ell_2$をグラフとする$1$次関数は$y=[イ]$である．
(3)$C_1$と$C_2$および$\ell_2$で囲まれた部分の面積は$[ウ]$である．
私立 名城大学 2014年 第3問$xy$平面上に，円$C:x^2+y^2=1$，$C$上に点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$，および$C$の外に点$\displaystyle \mathrm{B} \left( \frac{3 \sqrt{5}}{5},\ -\frac{\sqrt{5}}{5} \right)$をとる．次の問に答えよ．
(1)$\mathrm{A}$における接線の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{B}$から$C$に引いた接線の傾きを求めよ．
(3)$\mathrm{B}$から$C$に引いた$2$本の接線の接点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{PQ}$の方程式を求めよ．
(1)$\mathrm{A}$における接線の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{B}$から$C$に引いた接線の傾きを求めよ．
(3)$\mathrm{B}$から$C$に引いた$2$本の接線の接点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{PQ}$の方程式を求めよ．
私立 名城大学 2014年 第4問$xy$平面上に，放物線$C_1:y=x^2-1$，$C_2:y=x^2$がある．$C_1$上を動く点$\mathrm{P}(p,\ p^2-1)$から$C_2$に$2$本の接線を引き，それらの接点を$\mathrm{Q}(\alpha,\ \alpha^2)$，$\mathrm{R}(\beta,\ \beta^2) (\alpha<\beta)$とする．さらに，$C_2$と$2$直線$\mathrm{PQ}$，$\mathrm{PR}$で囲まれる部分の面積を$S$とする．
(1)$\mathrm{P}$の座標を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)$S$を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(3)$S$は$\mathrm{P}$の位置によらず一定であることを示し，その値を求めよ．
(1)$\mathrm{P}$の座標を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)$S$を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(3)$S$は$\mathrm{P}$の位置によらず一定であることを示し，その値を求めよ．
私立 日本獣医生命科学大学 2014年 第2問三角形$\mathrm{OAB}$の各頂点の座標は$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(4,\ 4)$，$\mathrm{B}(-4,\ 6)$である．
(1)頂点$\mathrm{A}$を通って三角形$\mathrm{OAB}$の面積を$2$等分する直線の方程式を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{OAB}$の重心$\mathrm{G}$の座標を求めよ．
(3)重心$\mathrm{G}$から辺$\mathrm{AB}$に引いた垂線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{H}$とするとき，$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(1)頂点$\mathrm{A}$を通って三角形$\mathrm{OAB}$の面積を$2$等分する直線の方程式を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{OAB}$の重心$\mathrm{G}$の座標を求めよ．
(3)重心$\mathrm{G}$から辺$\mathrm{AB}$に引いた垂線と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{H}$とするとき，$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
私立 日本獣医生命科学大学 2014年 第5問$y=f(x)=x^3-4x$上の点$(a,\ a^3-4a)$で$f(x)$に接する直線がこの接点以外で交わるとする．その交点の座標を求めよ．また，その$y$座標が正となるための$a$の条件を求めよ．
私立 東京都市大学 2014年 第1問次の問に答えよ．
(1)$a$を正の実数とするとき，$x$の方程式$\displaystyle \left( \log_{10} \frac{x}{a} \right)(\log_{10}ax)=\log_{10}a$が解をもつような$a$の範囲を求めよ．
(2)媒介変数$t$を用いて半直線が$\left\{ \begin{array}{l}
x=1+2t \\
y=1+3t
\end{array} \right. (t \geqq 0)$と表されている．$xy$平面上の点$(3,\ 0)$との距離が最小となるような，半直線上の点の座標を求めよ．
(3)袋の中に$10$個の球があり，そのうち赤球は$x$個，白球は$(10-x)$個である．この袋から球を同時に$3$個取り出す．$3$個とも赤球である確率が$\displaystyle \frac{1}{30}$であるときの$x$の値を求めよ．
(1)$a$を正の実数とするとき，$x$の方程式$\displaystyle \left( \log_{10} \frac{x}{a} \right)(\log_{10}ax)=\log_{10}a$が解をもつような$a$の範囲を求めよ．
(2)媒介変数$t$を用いて半直線が$\left\{ \begin{array}{l}
x=1+2t \\
y=1+3t
\end{array} \right. (t \geqq 0)$と表されている．$xy$平面上の点$(3,\ 0)$との距離が最小となるような，半直線上の点の座標を求めよ．
(3)袋の中に$10$個の球があり，そのうち赤球は$x$個，白球は$(10-x)$個である．この袋から球を同時に$3$個取り出す．$3$個とも赤球である確率が$\displaystyle \frac{1}{30}$であるときの$x$の値を求めよ．
私立 千歳科学技術大学 2014年 第2問次の定理について以下の問いに答えなさい．
\mon[定理：] $\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$があり，
$3$直線$\mathrm{AP}$，$\mathrm{BQ}$，$\mathrm{CR}$が$1$点で交われば
\[ \qquad \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \cdot \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}} \cdot \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}}=1 \]
(1)$\mathrm{AR}:\mathrm{RB}=5:4$，$\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}=3:4$のとき$\mathrm{BP}:\mathrm{PC}$を求めなさい．
(2)この定理を証明しなさい．
\mon[定理：] $\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$があり，
$3$直線$\mathrm{AP}$，$\mathrm{BQ}$，$\mathrm{CR}$が$1$点で交われば
\[ \qquad \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \cdot \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}} \cdot \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}}=1 \]
(1)$\mathrm{AR}:\mathrm{RB}=5:4$，$\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}=3:4$のとき$\mathrm{BP}:\mathrm{PC}$を求めなさい．
(2)この定理を証明しなさい．
私立 千歳科学技術大学 2014年 第2問次の定理について以下の問いに答えなさい．
\mon[定理：] $\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$があり，
$3$直線$\mathrm{AP}$，$\mathrm{BQ}$，$\mathrm{CR}$が$1$点で交われば
\[ \qquad \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \cdot \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}} \cdot \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}}=1 \]
(1)$\mathrm{AR}:\mathrm{RB}=5:4$，$\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}=3:4$のとき$\mathrm{BP}:\mathrm{PC}$を求めなさい．
(2)この定理を証明しなさい．
\mon[定理：] $\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$があり，
$3$直線$\mathrm{AP}$，$\mathrm{BQ}$，$\mathrm{CR}$が$1$点で交われば
\[ \qquad \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \cdot \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}} \cdot \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}}=1 \]
(1)$\mathrm{AR}:\mathrm{RB}=5:4$，$\mathrm{AQ}:\mathrm{QC}=3:4$のとき$\mathrm{BP}:\mathrm{PC}$を求めなさい．
(2)この定理を証明しなさい．
私立 千歳科学技術大学 2014年 第1問以下の各問いに答えなさい．
(1)次の$[ ]$に適語を入れなさい．
整数$a$と$0$でない整数$b$によって，分数$\displaystyle \frac{a}{b}$の形に表すことのできる数を$[ア]$といい，表すことができない数を$[イ]$という．
(2)$x$と$y$についての$1$次不等式$ax-2y>4$と$x+by<a$の解が一致しているとき，定数$a$と$b$の値をそれぞれ求めなさい．
(3)$x+y=1$のとき$x^2+y^2$の最小値を求めなさい．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=7$，$\angle \mathrm{A}={120}^\circ$，$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さを求めなさい．
(5)円$x^2+y^2=2$と直線$y=x-1$の$2$つの交点を結ぶ線分の長さを求めなさい．
(6)$x^4-4$を複素数の範囲で因数分解しなさい．
(1)次の$[ ]$に適語を入れなさい．
整数$a$と$0$でない整数$b$によって，分数$\displaystyle \frac{a}{b}$の形に表すことのできる数を$[ア]$といい，表すことができない数を$[イ]$という．
(2)$x$と$y$についての$1$次不等式$ax-2y>4$と$x+by<a$の解が一致しているとき，定数$a$と$b$の値をそれぞれ求めなさい．
(3)$x+y=1$のとき$x^2+y^2$の最小値を求めなさい．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AC}=7$，$\angle \mathrm{A}={120}^\circ$，$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{AD}$の長さを求めなさい．
(5)円$x^2+y^2=2$と直線$y=x-1$の$2$つの交点を結ぶ線分の長さを求めなさい．
(6)$x^4-4$を複素数の範囲で因数分解しなさい．