$a$を$-1$でない実数とし，座標平面において，放物線
\[ C:y=(x^2-2x+1)+a(x^2-5x+6) \]
を考える．

(1)$C$は，$a$の値によらず$2$点$\mathrm{P}([ソ],\ [タ])$，$\mathrm{Q}([チ],\ [ツ])$を必ず通る．ただし，$[ソ]<[チ]$とする．
(2)点$\mathrm{P}$における$C$の接線を$\ell$，点$\mathrm{Q}$における$C$の接線を$\ell^\prime$とする．$\ell$と$\ell^\prime$の交点の座標は$\displaystyle \left( \frac{[テ]}{[ト]},\ \frac{[ナ]}{[ニ]}a+[ヌ] \right)$である．

(3)$C$の軸は$\displaystyle x=\frac{1}{2} \left( [ネ]+\frac{[ノ]}{a+[ハ]} \right)$である．

(4)$C$が$x$軸と異なる$2$点で交わるのは

$a<[ヒ]$ \ または \ $[フ]<a$ \quad （ただし$a \neq -1$）

のときである．
(5)$a=[フ]$のとき，$C$は点$\displaystyle \left( \frac{[ヘ]}{[ホ]},\ 0 \right)$で$x$軸と接する．
(6)$C$が$x$軸と$2$点$(\alpha,\ 0)$，$(\beta,\ 0)$（ただし$\alpha<\beta$）で交わるとき，$\displaystyle \beta-\alpha=\frac{2}{3} \sqrt{5}$となるのは，$a=[マ]$または$\displaystyle a=\frac{[ミ]}{[ム]}$のときである．ただし，$\displaystyle [マ]<\frac{[ミ]}{[ム]}$とする．$a=[マ]$のとき，$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[メ]}{[モ]} \sqrt{[ヤ]}$である．

$a$を正の実数として，
\[ f(x)=\frac{ax+1}{x^2+2} \]
とおく．$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{4}{3}$で極値をとるとする．

(1)$a$の値は$[ア][イ]$である．
(2)$f(x)$の最小値は$-[ウ]$であり，そのときの$x$の値は$\displaystyle -\frac{[エ]}{[オ]}$である．
(3)$k$を実数として，座標平面上で曲線$y=f(x)$と直線$y=k$を考える．その共有点がただ$1$つになるのは，$\displaystyle k=-[カ],\ [キ],\ \frac{[ク]}{[ケ]}$のときである．

平面上に同一直線上にない$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が与えられているとし，$\triangle \mathrm{ABC}$の内部の点$\mathrm{P}$が
\[ 4 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+7 \overrightarrow{\mathrm{BP}}+2 \overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たしているとする．線分$\mathrm{AP}$を延長した直線と線分$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{Q}$，線分$\mathrm{BP}$を延長した直線と線分$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{R}$とおく．


(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{[ア]}{[イ][ウ]} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{[エ]}{[オ][カ]} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$である．

(2)点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{AQ}$を$[キ]:[ク]$に内分する点であり，点$\mathrm{Q}$は線分$\mathrm{BC}$を$[ケ]:[コ]$に内分する点である．
(3)$\triangle \mathrm{APB}$の面積を$S$，四角形$\mathrm{CQPR}$の面積を$T$とおくと，
\[ S:T=[サ]:[シ][ス] \]
である．

次の$[　]$内にあてはまる$0$から$9$までの数字を求めよ．

次の曲線と直線について考える．ただし，$a,\ b,\ c,\ d$は実数で，$a>0$，$b$は$0$でないとする．

$C:y=ax^2+bx+c$
$\ell_1:y=x$
$\displaystyle \ell_2:y=-\frac{1}{b}x-d$

$C$は，$x$軸と点$\mathrm{P}$で接し，$\ell_1$と点$\mathrm{Q}$で接する．$\ell_2$は点$\mathrm{P}$を通るものとする．また，$\ell_1$と$\ell_2$の交点を$\mathrm{R}$とする．

(1)$\displaystyle b=\frac{[リ]}{[ル]},\ ac=\frac{[レ]}{[ロ][ワ]}$
(2)$2$直線$\ell_1,\ \ell_2$と曲線$C$で囲まれる図形の面積が$2$であるとき，
\[ a=\frac{[ヲ]}{[ン]},\quad d=[あ] \]
である．
(3)このときの点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の座標はそれぞれ，
\[ \mathrm{P} (-[い],\ 0),\quad \mathrm{Q}([う],\ [う]),\quad \mathrm{R} \left( -\frac{[え]}{[お]},\ -\frac{[え]}{[お]} \right) \]
である．

$a>0$とする．座標平面上に$2$つの放物線$C_1:y=x^2-2x+2$と$\displaystyle C_2:y=-\frac{1}{2}x^2+ax-\frac{3}{2}$がある．放物線$C_1$上の点$\mathrm{P}(2,\ 2)$を通り，点$\mathrm{P}$での接線に直交する直線を$\ell$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$2$つの放物線$C_1,\ C_2$が共有点をもたないとき，$a$の値の範囲を求めよ．
(3)直線$\ell$が放物線$C_2$に接しているとき，$a$の値と接点の座標を求めよ．
(4)$a$を$(3)$で求めた値としたとき，直線$\ell$と放物線$C_1,\ C_2$および$y$軸で囲まれる部分の面積を$S$とする．$S$の値を求めよ．

座標平面上に放物線$\displaystyle y=x^2+\frac{1}{16}$と円$x^2+y^2-3y+1=0$がある．このとき，次の問に答えよ．

(1)円の中心の座標と半径を求めよ．
(2)円の中心と円周上の点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ \frac{1}{2} \right)$を通る直線の傾きを求めよ．
(3)円周上の点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ \frac{1}{2} \right)$における円の接線の方程式を求めよ．
(4)$(3)$で求めた接線と放物線のすべての交点の座標を求めよ．
(5)$(3)$で求めた接線と放物線で囲まれた部分の面積を求めよ．

次の空欄$[ア]$～$[コ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)${1.6}^n>10000$を満たす最小の整数$n$の値は$[ア]$である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とする．
(2)関数$f(x)$が等式$\displaystyle \int_a^x f(t) \, dt=x^2-6x-2a+16$を満たすとき，定数$a$の値は$[イ]$である．
(3)$4$つのさいころを同時に投げたとき，すべてのさいころの目の数が異なる確率は$[ウ]$である．
(4)${(\sqrt{3})}^x=243 \times 3^{-2x}$を満たすとき，$x$の値は$[エ]$である．
(5)$2$つの直線$x+2y+3=0$と$3x+y-2=0$のなす角$\theta$は$[オ]$である．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．
(6)$1+\sqrt{3}i$が$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の解となるとき，$a=[カ]$，$b=[キ]$である．ただし，$a,\ b$は実数であり，$i$は虚数単位とする．
(7)$2$次関数$y=-3x^2$のグラフを$x$軸方向に$1$，$y$軸方向に$2$だけ平行移動した放物線の方程式が$y=-3x^2+px+q$になる．このとき，$p=[ク]$，$q=[ケ]$である．
(8)$\mathrm{R},\ \mathrm{I},\ \mathrm{K},\ \mathrm{K},\ \mathrm{Y},\ \mathrm{O}$の$6$個の文字すべてを横一列に並べるとき，$\mathrm{R}$が$\mathrm{I}$より左側にあり，かつ$\mathrm{I}$が$\mathrm{Y}$より左側にあるような並べ方は$[コ]$通りである．

$a$を正の実数とする．座標平面上に$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(a,\ 0)$，$\mathrm{B}(a,\ a)$，$\mathrm{C}(0,\ a)$がある．四角形$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}(a,\ p)$をとり，点$\mathrm{P}$を通り$\mathrm{AC}$と平行な直線と$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)三角形$\mathrm{OPQ}$の面積$S$を$a$と$p$を用いて表せ．
(2)三角形$\mathrm{OPQ}$の外接円の半径$R$を$a$と$p$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{OAP}$と三角形$\mathrm{PBQ}$の面積がともに$1$であるとき，$a-p$と$a+p$の値を求めよ．
(4)$(3)$のとき，$a$と$p$の値を求めよ．
(5)$a$と$p$が$(4)$で求めた値であるとき，三角形$\mathrm{OPQ}$の内接円の半径$r$の値を求めよ．

次の空欄$[ア]$～$[サ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$(\log_3 x)(\log_3 9x)-6 \log_9 x-6=0$を満たす$x$の値をすべて求めると，$[ア]$である．
(2)座標平面上に点$\mathrm{A}(1,\ 1)$，$\mathrm{B}(3,\ 7)$，$\mathrm{C}(-1,\ 5)$がある．このとき，点$\mathrm{C}$を通り直線$\mathrm{AB}$と直交する直線の方程式は$y=[イ]$である．
(3)実数$x$が方程式$(1+i)x^2-(5+i)x+6-2i=0$を満たすとき，$x=[ウ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(4)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．$\tan \theta=\sqrt{7}$のとき，$\sin \theta=[エ]$である．
(5)$3$つのさいころを同時に投げたとき，出た目の最小値が$5$となる確率は$[オ]$である．
(6)整式$P(x)=x^3+ax^2+bx+c$は$x^2-3x+2$で割ったときの余りが$-2x+7$であり，関数$y=P(x)$は$x=1$で極値をとる．このとき，$a=[カ]$，$b=[キ]$，$c=[ク]$である．
(7)$|\overrightarrow{a}|=2$，$|\overrightarrow{b}|=3$，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{5}$のとき，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[ケ]$である．
(8)直線$y=2x+k$が円$x^2-2x+y^2=0$と共有点をもつとき，$[コ] \leqq k \leqq [サ]$である．

実数$p \neq -1$に対し，$2$つの直線$\ell,\ m$と放物線$C$を
\[ \ell:y=-x+1,\quad m:y=px-p^3,\quad C:y=\frac{1}{4}x^2+qx+r \]
とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)放物線$C$と直線$\ell$が点$\mathrm{A}$で接しているとき，$r$を$q$の$2$次式で表せ．また，点$\mathrm{A}$の$x$座標を$q$を用いて表せ．
(2)放物線$C$と直線$\ell$が点$\mathrm{A}$で接し，さらに放物線$C$と直線$m$が点$\mathrm{B}$で接しているとき，$q$を$p$の$2$次式で表せ．また，点$\mathrm{B}$の$x$座標を$p$を用いて表せ．
(3)放物線$C$と直線$\ell$が点$\mathrm{A}$で接し，さらに放物線$C$と直線$m$が点$\mathrm{B}$で接しているとき，放物線$C$の頂点の$y$座標が最大になるような$p$の値を求めよ．
(4)$(1)$，$(2)$，$(3)$で定められる$p,\ q,\ r$に対して，点$\mathrm{A}$を通り$y$軸と平行な直線，点$\mathrm{B}$を通り$y$軸と平行な直線，$x$軸，および放物線$C$で囲まれる部分の面積を求めよ．