座標平面上に放物線$C:y=x^2$がある．点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$（ただし，$t>0$）における$C$の接線を$\ell$とし，$\ell$が$x$軸，$y$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$とする．$\mathrm{M}$を通り$\ell$と直交する直線が，$y$軸，直線$x=t$と交わる点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．

(1)$\angle \mathrm{QPR}$は$\ell$により二等分されることを示せ．
(2)$\triangle \mathrm{PQR}$が正三角形になるような$t$の値を求めよ．
(3)四角形$\mathrm{PQNR}$の面積を$S_1$とし，線分$\mathrm{PQ}$，$y$軸および$C$で囲まれる図形の面積を$S_2$とする．$(2)$のとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$の値を求めよ．

$f(x)=\sqrt{x}e^{-\frac{x}{2}}$（ただし，$x>0$）に対し，座標平面上の曲線$C:y=f(x)$を考える．

(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)曲線$C$，$2$直線$x=t$，$x=t+1$（ただし，$t>0$）および$x$軸で囲まれる図形を，$x$軸の周りに$1$回転して得られる立体の体積$V$を$t$を用いて表せ．
(3)$V$の最大値を求めよ．

曲線$\displaystyle C:y=|\displaystyle\frac{1|{2}x^2-6}-2x$を考える．

(1)$C$と直線$L:y=-x+t$が異なる$4$点で交わるような$t$の値の範囲を求めよ．
(2)$C$と$L$が異なる$4$点で交わるとし，その交点を$x$座標が小さいものから順に$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_4$とするとき，
\[ \frac{|\overrightarrow{\mathrm{P|_1 \mathrm{P}_2}}+|\overrightarrow{\mathrm{P|_3 \mathrm{P}_4}}}{|\overrightarrow{\mathrm{P|_2 \mathrm{P}_3}}}=4 \]
となるような$t$の値を求めよ．
(3)$t$が$(2)$の値をとるとき，$C$と線分$\mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$で囲まれる図形の面積を求めよ．

$2$つの曲線$\displaystyle y=x+2 \cos x \left( \frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{3}{2}\pi \right)$と$\displaystyle y=x-2 \cos x \left( \frac{\pi}{2} \leqq x \leqq \frac{3}{2}\pi \right)$をつないでできる曲線を$C$とする．

(1)曲線$C$の概形を図示しなさい．
(2)$k$を実数とする．曲線$C$と直線$y=k$が異なる$2$点で交わるための$k$の値の範囲を求めなさい．
(3)曲線$C$で囲まれた部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めなさい．

次の問いに答えよ．

(1)$a$を正の定数とする．関数$\displaystyle f(x)=\frac{e^x-ae^{-x}}{2}$の逆関数$f^{-1}(x)$を求めよ．
(2)$(1)$で求めた$f^{-1}(x)$の導関数を求めよ．
(3)$c$を正の定数とする．$x$軸，$y$軸，直線$x=c$および曲線$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{x^2+c^2}}$で囲まれる部分の面積を求めよ．

$a$を正の定数とし，座標平面上において，
\[ \text{円}C_1:x^2+y^2=1,\quad \text{放物線}C_2:y=ax^2+1 \]
を考える．$C_1$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ -\frac{1}{2} \right)$における$C_1$の接線$\ell$は点$\mathrm{Q}(s,\ t)$で$C_2$に接している．次の問いに答えよ．

(1)$s,\ t$および$a$を求めよ．
(2)$C_2,\ \ell$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)円$C_1$上の点が点$\mathrm{P}$から点$\mathrm{R}(0,\ 1)$まで反時計回りに動いてできる円弧を$C_3$とする．$C_2$，$\ell$および$C_3$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$a$を$1<a<3$をみたす実数とし，座標空間内の$4$点
\[ \mathrm{P}_1(1,\ 0,\ 1),\quad \mathrm{P}_2(1,\ 1,\ 1),\quad \mathrm{P}_3(1,\ 0,\ 3),\quad \mathrm{Q}(0,\ 0,\ a) \]
を考える．直線$\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}$，$\mathrm{P}_2 \mathrm{Q}$，$\mathrm{P}_3 \mathrm{Q}$と$xy$平面の交点をそれぞれ$\mathrm{R}_1$，$\mathrm{R}_2$，$\mathrm{R}_3$として，三角形$\mathrm{R}_1 \mathrm{R}_2 \mathrm{R}_3$の面積を$S(a)$とする．$S(a)$を最小にする$a$と，そのときの$S(a)$の値を求めよ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{x-1}{x^2+1}$のグラフを曲線$C$とする．

(1)関数$f(x)$の極値を求めよ．
(2)曲線$C$の変曲点を求めよ．
(3)曲線$C$上の点$(0,\ f(0))$における接線を$\ell$とする．曲線$C$と接線$\ell$とで囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

座標空間内に
\[ \mathrm{O}(0,\ 0,\ 0),\quad \mathrm{A}(1,\ 2,\ 2),\quad \mathrm{B}(1,\ 0,\ -1),\quad \mathrm{C}(2,\ -1,\ 1) \]
を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$がある．$t>0$に対して半直線$\mathrm{OB}$上の点$\mathrm{P}$を$\mathrm{OB}:\mathrm{OP}=1:t$となるようにとる．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$t$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{APC}$の面積を$S(t)$とおく．$S(t)$が最小になる$t$の値と，そのときの$S(t)$の値を求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$は直線$\mathrm{OB}$上にあり，点$\mathrm{R}$は直線$\mathrm{AC}$上にある．線分$\mathrm{QR}$の長さの最小値と，そのときの点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

空間の$2$点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 2)$，$\mathrm{B}(0,\ 1,\ 3)$を通る直線を$\ell$とし，$2$点$\mathrm{C}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{D}(1,\ 0,\ 1)$を通る直線を$m$とする．$a$を定数として，$\ell$上にも$m$上にもない点$\mathrm{P}(s,\ t,\ a)$を考える．

(1)$\mathrm{P}$から$\ell$に下ろした垂線と$\ell$の交点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{P}$から$m$に下ろした垂線と$m$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の座標をそれぞれ$s,\ t,\ a$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{P}$を中心とし，$\ell$と$m$がともに接するような球面が存在するための条件を$s,\ t,\ a$の関係式で表せ．
(3)$s,\ t$と定数$a$が$(2)$の条件をみたすとき，平面上の点$(s,\ t)$の軌跡が放物線であることを示し，その焦点と準線を$a$を用いて表せ．