「直方体」について
タグ「直方体」の検索結果
（1ページ目：全24問中1問～10問を表示）
私立 愛知学院大学 2016年 第4問縦$12 \, \mathrm{cm}$，横$18 \, \mathrm{cm}$の長方形の厚紙の四隅から一辺の長さが$a \, \mathrm{cm}$の正方形を切り取り，ふたのない直方体の箱を作ります．この直方体の体積を$V \, \mathrm{cm}^3$としたとき，次の問に答えなさい．
(1)体積$V$を$a$の式で表しなさい．
(2)体積$V$が最大となる$a$を求めなさい．
(3)$V$の最大値を求めなさい．
(1)体積$V$を$a$の式で表しなさい．
(2)体積$V$が最大となる$a$を求めなさい．
(3)$V$の最大値を求めなさい．
私立 慶應義塾大学 2016年 第2問\begin{mawarikomi}{50mm}{
（図は省略）
}
図のような$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{D}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{E}(2,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{F}(2,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{G}(0,\ 1,\ 1)$を頂点とする直方体を，平面$x+y+z=a (1<a<3)$で切断したとき，その断面の面積$S$は
\end{mawarikomi}
\[ \frac{\sqrt{[$16$]}}{[$17$]} \left( [$18$][$19$]a^2+[$20$][$21$]a+[$22$][$23$] \right) \]
となる．
また，切断した断面の各頂点と$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$を結んでできる角錐の体積$V$は，
\[ a=\frac{[$24$]+\sqrt{[$25$][$26$]}}{[$27$]} \]
のときに最大になる．このとき，
\[ V=\frac{[$28$][$29$]+[$30$][$31$] \sqrt{[$32$][$33$]}}{[$34$][$35$]} \]
である．
（図は省略）
}
図のような$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{D}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{E}(2,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{F}(2,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{G}(0,\ 1,\ 1)$を頂点とする直方体を，平面$x+y+z=a (1<a<3)$で切断したとき，その断面の面積$S$は
\end{mawarikomi}
\[ \frac{\sqrt{[$16$]}}{[$17$]} \left( [$18$][$19$]a^2+[$20$][$21$]a+[$22$][$23$] \right) \]
となる．
また，切断した断面の各頂点と$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$を結んでできる角錐の体積$V$は，
\[ a=\frac{[$24$]+\sqrt{[$25$][$26$]}}{[$27$]} \]
のときに最大になる．このとき，
\[ V=\frac{[$28$][$29$]+[$30$][$31$] \sqrt{[$32$][$33$]}}{[$34$][$35$]} \]
である．
私立 立教大学 2016年 第2問図のように辺の長さが$a$と$b$である長方形があり，$ab=1$とする．この長方形の四隅から，一辺の長さが$\displaystyle c \left( 0<c<\frac{1}{2} \right)$の正方形を切り取り，残った部分を組み立ててできる直方体の容器の容積を$V$とする．このとき，次の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)$\displaystyle 0<c<\frac{1}{2}$を満たす$c$に対して，$a$と$b$が変化するとき，$a$の値の範囲を$c$を用いて表せ．
(2)容積$V$を$a$と$c$を用いて表せ．
(3)$a$が$(1)$で求めた範囲にあるとき，$V$を最大にする$a$の値と，そのときの$V$の値を$c$を用いて表せ．
(4)$(3)$で求めた$V$の値を$c$の関数として$M(c)$で表す．このとき，$M(c)$を最大にする$c$の値と，そのときの$M(c)$の値を求めよ．
（図は省略）
(1)$\displaystyle 0<c<\frac{1}{2}$を満たす$c$に対して，$a$と$b$が変化するとき，$a$の値の範囲を$c$を用いて表せ．
(2)容積$V$を$a$と$c$を用いて表せ．
(3)$a$が$(1)$で求めた範囲にあるとき，$V$を最大にする$a$の値と，そのときの$V$の値を$c$を用いて表せ．
(4)$(3)$で求めた$V$の値を$c$の関数として$M(c)$で表す．このとき，$M(c)$を最大にする$c$の値と，そのときの$M(c)$の値を求めよ．
私立 津田塾大学 2015年 第1問次の問いに答えよ．
(1)不等式$(|x-1|-1)(y-1)>0$の表す領域を図示せよ．
(2)平面上の直線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x+1$に関して点$(2,\ 7)$と対称な点の座標を求めよ．
(3)$3$辺の長さが$x,\ 1-2x,\ 2-2x$である直方体がある．このような直方体のなかで体積が最大となるものの体積を求めよ．
(1)不等式$(|x-1|-1)(y-1)>0$の表す領域を図示せよ．
(2)平面上の直線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x+1$に関して点$(2,\ 7)$と対称な点の座標を求めよ．
(3)$3$辺の長さが$x,\ 1-2x,\ 2-2x$である直方体がある．このような直方体のなかで体積が最大となるものの体積を求めよ．
私立 龍谷大学 2015年 第3問一辺$30 \, \mathrm{cm}$の正方形の厚紙の四隅から，一辺の長さが$x \, \mathrm{cm}$の正方形を切り取って，その残りを折り曲げ，ふたのない直方体の箱を作る．この箱の容積を$V(x) \, \mathrm{cm}^3$とする．
(1)$V(x)$の最大値を求めなさい．
(2)$V(x)=1000$となるときの$x$の値をすべて求めなさい．
(1)$V(x)$の最大値を求めなさい．
(2)$V(x)=1000$となるときの$x$の値をすべて求めなさい．
国立 防衛医科大学校 2014年 第3問$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{AD}=4$，$\mathrm{AE}=1$である図のような直方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$において，辺$\mathrm{CG}$，$\mathrm{CD}$，$\mathrm{AD}$をそれぞれ$1-p:p (0<p<1)$に分ける点を$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$，$\mathrm{Z}$とする．点$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$，$\mathrm{Z}$が作る平面を$L$，$L$と$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{E}$を通る直線との交点，$2$点$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$を通る直線との交点，$2$点$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$を通る直線との交点をそれぞれ$\mathrm{U}$，$\mathrm{V}$，$\mathrm{W}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\overrightarrow{c}$として以下の問に答えよ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AU}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AV}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AW}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表し，$\mathrm{U}$，$\mathrm{V}$，$\mathrm{W}$がそれぞれ辺$\mathrm{AE}$，$\mathrm{EF}$，$\mathrm{FG}$上にあることを示せ．
(2)六角形$\mathrm{UVWXYZ}$の面積はいくらか．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AU}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AV}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AW}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表し，$\mathrm{U}$，$\mathrm{V}$，$\mathrm{W}$がそれぞれ辺$\mathrm{AE}$，$\mathrm{EF}$，$\mathrm{FG}$上にあることを示せ．
(2)六角形$\mathrm{UVWXYZ}$の面積はいくらか．
私立 北里大学 2014年 第4問辺$\mathrm{AB}$の長さが$4$，辺$\mathrm{AE}$の長さが$\sqrt{6}$の直方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$において，辺$\mathrm{AB}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{CG}$の中点を$\mathrm{M}$，線分$\mathrm{HM}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$と線分$\mathrm{PR}$の長さが等しくなるように，辺$\mathrm{CD}$上に点$\mathrm{R}$をとる．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{d}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\overrightarrow{e}$とする．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}$，$\overrightarrow{e}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=[コ] \overrightarrow{b}+[サ] \overrightarrow{d}+[シ] \overrightarrow{e}$と表される．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$を$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{PR}}=[ス] \overrightarrow{b}+[セ] \overrightarrow{d}$と表される．
(3)$\triangle \mathrm{PQR}$の面積が$\sqrt{7}$であるとき，辺$\mathrm{AD}$の長さは$[ソ]$である．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}$，$\overrightarrow{e}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=[コ] \overrightarrow{b}+[サ] \overrightarrow{d}+[シ] \overrightarrow{e}$と表される．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$を$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{PR}}=[ス] \overrightarrow{b}+[セ] \overrightarrow{d}$と表される．
(3)$\triangle \mathrm{PQR}$の面積が$\sqrt{7}$であるとき，辺$\mathrm{AD}$の長さは$[ソ]$である．
国立 熊本大学 2013年 第3問直方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$において，$\mathrm{OA}=\mathrm{OD}=1$，$\mathrm{OC}=2$とし，辺$\mathrm{EF}$の中点を$\mathrm{M}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=t \overrightarrow{\mathrm{OD}} \ (0 \leqq t \leqq 1)$とし，点$\mathrm{P}$から線分$\mathrm{CM}$におろした垂線と線分$\mathrm{CM}$との交点を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}$とおくとき，以下の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{PC}},\ \overrightarrow{\mathrm{CM}},\ \overrightarrow{\mathrm{PM}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d},\ t$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d},\ t$を用いて表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^2+|\overrightarrow{\mathrm{PH}}|^2$の最小値を求めよ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{PC}},\ \overrightarrow{\mathrm{CM}},\ \overrightarrow{\mathrm{PM}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d},\ t$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{PH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d},\ t$を用いて表せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^2+|\overrightarrow{\mathrm{PH}}|^2$の最小値を求めよ．
私立 北海学園大学 2013年 第3問下の図のように，$1$辺の長さが$1$の立方体$18$個を積み重ね，直方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$を作る．積み重ねられた立方体$18$個の各辺に沿って移動できるものとし，点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{G}$までの最短経路を考える．
$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$までの移動と同じ向きを$\mathrm{AB}$の方向，
$\mathrm{A}$から$\mathrm{D}$までの移動と同じ向きを$\mathrm{AD}$の方向，
$\mathrm{A}$から$\mathrm{E}$までの移動と同じ向きを$\mathrm{AE}$の方向
と呼ぶ．例えば，$\mathrm{A}$を起点としたときに，点$\mathrm{M}$は，$\mathrm{AB}$の方向に$1$，$\mathrm{AD}$の方向に$1$，$\mathrm{AE}$の方向に$1$だけ離れた点であり，点$\mathrm{N}$は，$\mathrm{AB}$の方向に$2$，$\mathrm{AD}$の方向に$1$，$\mathrm{AE}$の方向に$3$だけ離れた点である．このとき，次の場合の$\mathrm{A}$から$\mathrm{G}$までの最短経路は全部で何通りあるか．
(1)点$\mathrm{M}$と$\mathrm{N}$の両方を通る．
(2)点$\mathrm{F}$を通らない．
(3)点$\mathrm{B}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$のいずれも通らない．
（図は省略）
$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$までの移動と同じ向きを$\mathrm{AB}$の方向，
$\mathrm{A}$から$\mathrm{D}$までの移動と同じ向きを$\mathrm{AD}$の方向，
$\mathrm{A}$から$\mathrm{E}$までの移動と同じ向きを$\mathrm{AE}$の方向
と呼ぶ．例えば，$\mathrm{A}$を起点としたときに，点$\mathrm{M}$は，$\mathrm{AB}$の方向に$1$，$\mathrm{AD}$の方向に$1$，$\mathrm{AE}$の方向に$1$だけ離れた点であり，点$\mathrm{N}$は，$\mathrm{AB}$の方向に$2$，$\mathrm{AD}$の方向に$1$，$\mathrm{AE}$の方向に$3$だけ離れた点である．このとき，次の場合の$\mathrm{A}$から$\mathrm{G}$までの最短経路は全部で何通りあるか．
(1)点$\mathrm{M}$と$\mathrm{N}$の両方を通る．
(2)点$\mathrm{F}$を通らない．
(3)点$\mathrm{B}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$のいずれも通らない．
（図は省略）
私立 北海学園大学 2013年 第2問下の図のように，$1$辺の長さが$1$の立方体$18$個を積み重ね，直方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$を作る．積み重ねられた立方体$18$個の各辺に沿って移動できるものとし，点$\mathrm{A}$から点$\mathrm{G}$までの最短経路を考える．
$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$までの移動と同じ向きを$\mathrm{AB}$の方向，
$\mathrm{A}$から$\mathrm{D}$までの移動と同じ向きを$\mathrm{AD}$の方向，
$\mathrm{A}$から$\mathrm{E}$までの移動と同じ向きを$\mathrm{AE}$の方向
と呼ぶ．例えば，$\mathrm{A}$を起点としたときに，点$\mathrm{M}$は，$\mathrm{AB}$の方向に$1$，$\mathrm{AD}$の方向に$1$，$\mathrm{AE}$の方向に$1$だけ離れた点であり，点$\mathrm{N}$は，$\mathrm{AB}$の方向に$2$，$\mathrm{AD}$の方向に$1$，$\mathrm{AE}$の方向に$3$だけ離れた点である．このとき，次の場合の$\mathrm{A}$から$\mathrm{G}$までの最短経路は全部で何通りあるか．
(1)点$\mathrm{M}$と$\mathrm{N}$の両方を通る．
(2)点$\mathrm{F}$を通らない．
(3)点$\mathrm{B}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$のいずれも通らない．
（図は省略）
$\mathrm{A}$から$\mathrm{B}$までの移動と同じ向きを$\mathrm{AB}$の方向，
$\mathrm{A}$から$\mathrm{D}$までの移動と同じ向きを$\mathrm{AD}$の方向，
$\mathrm{A}$から$\mathrm{E}$までの移動と同じ向きを$\mathrm{AE}$の方向
と呼ぶ．例えば，$\mathrm{A}$を起点としたときに，点$\mathrm{M}$は，$\mathrm{AB}$の方向に$1$，$\mathrm{AD}$の方向に$1$，$\mathrm{AE}$の方向に$1$だけ離れた点であり，点$\mathrm{N}$は，$\mathrm{AB}$の方向に$2$，$\mathrm{AD}$の方向に$1$，$\mathrm{AE}$の方向に$3$だけ離れた点である．このとき，次の場合の$\mathrm{A}$から$\mathrm{G}$までの最短経路は全部で何通りあるか．
(1)点$\mathrm{M}$と$\mathrm{N}$の両方を通る．
(2)点$\mathrm{F}$を通らない．
(3)点$\mathrm{B}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$のいずれも通らない．
（図は省略）