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千葉大学 国立 千葉大学 2016年 第4問
$2$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$,$\mathrm{A}(0,\ 2)$を直径とする円周から$\mathrm{O}$を除いた部分を点$\mathrm{Q}$が動く.点$\mathrm{A}$を通り$x$軸に平行な直線と直線$\mathrm{OQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする.点$\mathrm{Q}$を通り$x$軸と平行な直線と,点$\mathrm{R}$を通り$y$軸と平行な直線との交点を$\mathrm{P}$とする.点$\mathrm{P}$の軌跡を$C$とする.

(1)$C$の方程式を求めよ.
(2)正の実数$a$に対して,$C$と$x$軸と$2$直線$x=a$,$x=-a$によって囲まれる図形を,$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積を$V(a)$とする.このとき,$\displaystyle \lim_{a \to \infty}V(a)$を求めよ.
千葉大学 国立 千葉大学 2016年 第5問
$2$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$,$\mathrm{A}(0,\ 2)$を直径とする円周から$\mathrm{O}$を除いた部分を点$\mathrm{Q}$が動く.点$\mathrm{A}$を通り$x$軸に平行な直線と直線$\mathrm{OQ}$の交点を$\mathrm{R}$とする.点$\mathrm{Q}$を通り$x$軸と平行な直線と,点$\mathrm{R}$を通り$y$軸と平行な直線との交点を$\mathrm{P}$とする.点$\mathrm{P}$の軌跡を$C$とする.

(1)$C$の方程式を求めよ.
(2)正の実数$a$に対して,$C$と$x$軸と$2$直線$x=a$,$x=-a$によって囲まれる図形を,$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積を$V(a)$とする.このとき,$\displaystyle \lim_{a \to \infty}V(a)$を求めよ.
愛媛大学 国立 愛媛大学 2016年 第1問
空間内の$2$点$\mathrm{A}(4,\ -2,\ 2)$,$\mathrm{B}(2,\ -4,\ 4)$に対して,線分$\mathrm{AB}$を直径とする球$S$の中心を$\mathrm{C}$とする.

(1)球$S$の方程式を求めよ.
(2)$xy$平面と平行な平面$\alpha$のうち$S$と$\alpha$が交わってできる円の半径が最大となるような$\alpha$の方程式を求めよ.
(3)原点$\mathrm{O}$から最も近い$S$上の点$\mathrm{D}$,および最も遠い点$\mathrm{E}$の座標をそれぞれ求めよ.
(4)$(2)$で求めた$\alpha$と$S$が交わってできる円上を動く点$\mathrm{P}$に対して,$\triangle \mathrm{CDP}$の面積を最大とする$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ.ただし,$\mathrm{D}$は$(3)$で求めた点である.
愛媛大学 国立 愛媛大学 2016年 第4問
空間内の$2$点$\mathrm{A}(4,\ -2,\ 2)$,$\mathrm{B}(2,\ -4,\ 4)$に対して,線分$\mathrm{AB}$を直径とする球$S$の中心を$\mathrm{C}$とする.

(1)球$S$の方程式を求めよ.
(2)$xy$平面と平行な平面$\alpha$のうち$S$と$\alpha$が交わってできる円の半径が最大となるような$\alpha$の方程式を求めよ.
(3)原点$\mathrm{O}$から最も近い$S$上の点$\mathrm{D}$,および最も遠い点$\mathrm{E}$の座標をそれぞれ求めよ.
(4)$(2)$で求めた$\alpha$と$S$が交わってできる円上を動く点$\mathrm{P}$に対して,$\triangle \mathrm{CDP}$の面積を最大とする$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ.ただし,$\mathrm{D}$は$(3)$で求めた点である.
愛媛大学 国立 愛媛大学 2016年 第4問
空間内の$2$点$\mathrm{A}(4,\ -2,\ 2)$,$\mathrm{B}(2,\ -4,\ 4)$に対して,線分$\mathrm{AB}$を直径とする球$S$の中心を$\mathrm{C}$とする.

(1)球$S$の方程式を求めよ.
(2)$xy$平面と平行な平面$\alpha$のうち$S$と$\alpha$が交わってできる円の半径が最大となるような$\alpha$の方程式を求めよ.
(3)原点$\mathrm{O}$から最も近い$S$上の点$\mathrm{D}$,および最も遠い点$\mathrm{E}$の座標をそれぞれ求めよ.
(4)$(2)$で求めた$\alpha$と$S$が交わってできる円上を動く点$\mathrm{P}$に対して,$\triangle \mathrm{CDP}$の面積を最大とする$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ.ただし,$\mathrm{D}$は$(3)$で求めた点である.
早稲田大学 私立 早稲田大学 2016年 第2問
座標空間において,原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}(0,\ 0,\ 2)$を直径の両端とする球面を$\mathrm{S}$とする.また$xy$平面上に放物線$\mathrm{C}:y=x^2-2$を描き,$\mathrm{C}$上に点$\mathrm{R}$をとる.線分$\mathrm{PR}$と球面$\mathrm{S}$の交点を$\mathrm{Q}$とし,$\mathrm{Q}$から$xy$平面に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする.このとき,以下の問に答えよ.

(1)原点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{R}$までの距離を$r$とするとき,線分$\mathrm{QR}$の長さを$r$を用いて表せ.
(2)線分$\mathrm{QH}$の長さを$h$,点$\mathrm{R}$の座標を$(x,\ y,\ 0)$とするとき,$h \geqq 1$である場合に$x$がとる値の範囲を求めよ.
(3)点$\mathrm{R}$が放物線$\mathrm{C}$上のすべての点を動くとき,$h$を最小にする$\mathrm{R}$の座標を求めよ.
(図は省略)
青山学院大学 私立 青山学院大学 2016年 第2問
四角形$\mathrm{ABCD}$が円に内接しており,$4$辺の長さが
\[ \mathrm{AB}=2,\quad \mathrm{BC}=1,\quad \mathrm{CD}=\mathrm{DA}=\sqrt{6} \]
である.

(1)$\angle \mathrm{BAD}=\theta$とおくと,$\angle \mathrm{BCD}=\pi-\theta$であることから
\[ \mathrm{BD}=[$10$] \sqrt{[$11$]},\quad \cos \theta=\frac{\sqrt{[$12$]}}{[$13$][$14$]} \]
となる.さらに,$\overrightarrow{\mathrm{BA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BD}}$の内積は$\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BD}}=[$15$]$である.
(2)$\mathrm{E}$を$\mathrm{BE}$が直径となる円周上の点とすると,
\[ \overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BE}}=[$16$],\quad \overrightarrow{\mathrm{BD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BE}}=[$17$] \]
である.したがって,
\[ \overrightarrow{\mathrm{BE}}=\frac{[$18$]}{[$19$][$20$]} \overrightarrow{\mathrm{BA}}+\frac{[$21$][$22$]}{[$23$][$24$]} \overrightarrow{\mathrm{BD}} \]
である.
広島工業大学 私立 広島工業大学 2016年 第2問
中心$\mathrm{O}$,半径$2$の円に内接する$\triangle \mathrm{ABC}$において,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする.また,$\mathrm{CD}$をこの円の直径とし,$\overrightarrow{\mathrm{DA}}+\overrightarrow{\mathrm{CB}}=\overrightarrow{p}$とするとき,次の問いに答えよ.

(1)$\overrightarrow{p}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(2)$\overrightarrow{c}=-\overrightarrow{p}$が成り立つとき,内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を求め,$\angle \mathrm{AOB}$を求めよ.
(3)$k$が実数で$\overrightarrow{c}=k \overrightarrow{p}$が成り立つとき,$\mathrm{AC}=\mathrm{BC}$であることを証明せよ.
東京経済大学 私立 東京経済大学 2016年 第2問
長さ$3$の線分$\mathrm{AB}$を直径とする半円周上を点$\mathrm{P}$が動いている.$\angle \mathrm{PAB}={15}^\circ$のとき,$\displaystyle \mathrm{BP}=\frac{[キ] \left( \sqrt{[ク]}-\sqrt{[ケ]} \right)}{[コ]}$である.また,$\angle \mathrm{PAB}=\theta$とおくとき,$\sqrt{3} \mathrm{AP}+\mathrm{BP}$の値が最大となるのは,$\displaystyle \theta=\frac{[サ]}{[シ]} \pi$のときで,最大値は$[ス]$である.
近畿大学 私立 近畿大学 2016年 第2問
次の問いに答えよ.

(1)方程式$x^3-3x^2-9x-k=0$が異なる$3$個の実数解を持つように,定数$k$の範囲を定めよ.
(2)辺の長さが$\mathrm{AB}=4$,$\mathrm{BC}=6$,$\mathrm{AC}=5$の三角形$\mathrm{ABC}$がある.$\cos A$の値を求めよ.$\angle \mathrm{A}$の$2$等分線と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とすると,三角形$\mathrm{ABD}$の外接円の直径を求めよ.
(3)三角形$\mathrm{ABC}$がある.辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{P}$,線分$\mathrm{BP}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{Q}$,直線$\mathrm{CQ}$と辺$\mathrm{AB}$の交点を$\mathrm{R}$とする.$\displaystyle \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{CR}}$を$t$の式で表せ.また三角形$\mathrm{BQR}$と三角形$\mathrm{CQP}$の面積が等しくなるように$t$の値を定めよ.
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