下図のように太陽が雲間から見えた．観察された太陽を半径$r$の円と仮定し，図のように見えた太陽の円周上の$2$点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とし，線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{C}$，円周上に一点$\mathrm{D}$を線分$\mathrm{CD}$と$\mathrm{AB}$が互いに直交するようにとる．$\mathrm{AB}=a$，$\mathrm{CD}=c$とおくとき，$r$と$a,\ c$の関係を式で表わすと$[$8$]$となる．このとき$r$の最小値を$c$を用いて表わすと，$[$9$]$である．また$c<r$の場合，観察された太陽の中心を$\mathrm{O}$とする．この円を$\mathrm{OD}$を通る直径を軸に回転させてできる球において$\mathrm{AB}$を通り$\mathrm{OD}$に垂直な平面で$2$つの図形に分けたとき，点$\mathrm{D}$を含む部分の体積を$a,\ c$を用いて表すと$[$10$]$である．
（図は省略）

下記の式に従う二つの円，円$\mathrm{A}$および円$\mathrm{B}$がある．

円$\mathrm{A}:x^2+y^2-4x+4 \sqrt{3}y+12=0$
円$\mathrm{B}:(x+1)^2+(y-\sqrt{3})^2=r^2$

$r$は正の定数とする．このとき，以下の各問いに答えなさい．

(1)円$\mathrm{A}$と円$\mathrm{B}$が外接するときの円$\mathrm{B}$の半径$r$の値を求めよ．
(2)円$\mathrm{A}$と円$\mathrm{B}$が内接するときの円$\mathrm{B}$の半径$r$の値を求めよ．
(3)円$\mathrm{A}$と円$\mathrm{B}$が直角に交わるとき，すなわち円$\mathrm{A}$と円$\mathrm{B}$の交点におけるそれぞれの接線が直交するとき，円$\mathrm{B}$の半径$r$の値を求めよ．

座標平面において曲線$\displaystyle y=\frac{3}{x^2+3}$を$C_1$，曲線$y=x^2+k$（$k$は定数）を$C_2$とする．$C_1$と$C_2$のすべての共有点において互いの接線が直交しているとき，以下の問いに答えなさい．

(1)定数$k$の値を求めなさい．また，$C_1$と$C_2$のすべての共有点の座標を求めなさい．
(2)$C_1$と$C_2$で囲まれる部分の面積$S$を求めなさい．

次の問いに答えなさい．

(1)平面上で，互いに平行な$5$本の直線とこれらに直交する$6$本の直線について，互いに隣り合う平行線どうしの間の距離がすべて等しく，その距離を$d (d>0)$とするとき，これらの平行線を使ってできるすべての長方形の個数を求めなさい．また，これら長方形のうち，正方形でない長方形の個数を求めなさい．
(2)$\log_{10}2<0.31$が成り立つことを示しなさい．

放物線$C:y=x^2$上の点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$における$C$の接線$\ell_T$，さらに，点$\mathrm{A}$を通り，$\ell_T$に直交する直線（法線）$\ell_N$を考える．また，法線$\ell_N$に関して直線$x=a$と対称な直線を$\ell_R$とする．次の問に答えなさい．

(1)接線$\ell_T$と$x$軸のなす角を$\theta$とする．ただし，$a>0$の範囲では$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．$a>0$のとき，$\displaystyle \tan \left( \frac{\pi}{2}+2\theta \right)$を$a$を用いて表しなさい．
(2)直線$\ell_R$は$a$の値によらず定点を通ることを示しなさい．

$t$を正の実数とする．三角形$\mathrm{OAB}$の辺$\mathrm{OA}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{M}$，辺$\mathrm{OB}$を$t:1$に内分する点を$\mathrm{N}$とする．線分$\mathrm{AN}$と線分$\mathrm{BM}$の交点を$\mathrm{P}$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$および$t$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{OP}$は線分$\mathrm{BM}$と直交し，かつ$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線であるとする．このとき，辺$\mathrm{OA}$と辺$\mathrm{OB}$の長さの比と$t$の値を求めよ．

$xy$平面上に楕円
\[ C_1:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{9}=1 \quad (a>\sqrt{13}) \]
および双曲線
\[ C_2:\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}=1 \quad (b>0) \]
があり，$C_1$と$C_2$は同一の焦点をもつとする．また$C_1$と$C_2$の交点
\[ \mathrm{P} \left( 2 \sqrt{1+\frac{t^2}{b^2}},\ t \right) \quad (t>0) \]
における$C_1$，$C_2$の接線をそれぞれ$\ell_1$，$\ell_2$とする．

(1)$a$と$b$の間に成り立つ関係式を求め，点$\mathrm{P}$の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$\ell_1$と$\ell_2$が直交することを示せ．
(3)$a$が$a>\sqrt{13}$を満たしながら動くときの点$\mathrm{P}$の軌跡を図示せよ．

次の各問いに答えよ．

(1)$3$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(2,\ s,\ t)$，$\overrightarrow{c}=(p,\ q,\ 2)$が次の条件をみたすような，$s,\ t,\ p,\ q$の値を求めよ．

(i) $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$
(ii) $\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角は$60^\circ$
(iii) $\overrightarrow{c}$は$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の両方に直交する．

(2)$n$を$0$以上の整数とする．$n+1$個の自然数$2^0,\ 2^1,\ \cdots,\ 2^n$の中に，最上位の桁の数字が$1$であるものはいくつあるか．ただし，$x$を超えない最大の整数を表す記号$[x]$を用いて解答してよい．

注：例えば$2014$の最上位の桁の数字は$2$であり，$14225$の最上位の桁の数字は$1$である．

関数$f(x)=\log (1+x^2)$について，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \int_0^1 \log (1+x^2) \, dx$を求めよ．
(2)導関数$f^\prime(x)$の増減を調べ，$y=f^\prime(x)$のグラフの概形をかけ．
(3)曲線$C:y=f(x)$と曲線$C$の互いに直交している$2$本の接線とで囲まれる図形の面積$S$を求めよ．

$\displaystyle 0<a<\frac{\pi}{4}$とする．曲線$y=\sin 2x$上の点$(a,\ \sin 2a)$における接線$\ell_1$と点$\displaystyle \left( \frac{\pi}{2}-a,\ \sin 2 \left( \frac{\pi}{2}-a \right) \right)$における接線$\ell_2$が直交しているとする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)$\ell_1$と$\ell_2$および曲線$\displaystyle y=\sin 2x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$とで囲まれた図形の面積を求めよ．