放物線$C:y=x^2+2ax+b$について次の問いに答えよ．ただし，$a,\ b$は実数とする．

(1)放物線$C$上の点$(t,\ t^2+2at+b)$を通る接線の方程式を求めよ．
(2)平面上の点$\mathrm{P}(p,\ q)$から$C$に相異なる$2$本の接線$\ell_1,\ \ell_2$が引けるとする．

(i) $p,\ q$は$q<p^2+2ap+b$を満たすことを示せ．
(ii) $\ell_1$と$\ell_2$が直交するとき，$q$を$a$と$b$を用いて表せ．

放物線$C:y=x^2+2ax+b$について次の問いに答えよ．ただし，$a,\ b$は実数とする．

(1)放物線$C$上の点$(t,\ t^2+2at+b)$を通る接線の方程式を求めよ．
(2)平面上の点$\mathrm{P}(p,\ q)$から$C$に相異なる$2$本の接線$\ell_1,\ \ell_2$が引けるとする．

(i) $p,\ q$は$q<p^2+2ap+b$を満たすことを示せ．
(ii) $\ell_1$と$\ell_2$が直交するとき，$q$を$a$と$b$を用いて表せ．

四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$のどの$2$辺も互いに直交し，長さがすべて$1$である．$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面上に点$\mathrm{D}$を
\[ \mathrm{OD}=1,\quad 0^\circ<\angle \mathrm{BOD}<{90}^\circ,\quad 0^\circ<\angle \mathrm{COD}<{90}^\circ \]
となるようにとり，$\angle \mathrm{BOD}=\theta$，$\cos \theta=x$とおく．線分$\mathrm{AB}$を$(x+2):x$に外分する点を$\mathrm{E}$，線分$\mathrm{AC}$を$x:(1-x)$に内分する点を$\mathrm{F}$，三角形$\mathrm{DEF}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を，$x,\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．また，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を，$x,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{G}$が$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面上にあるような$x$の値を求めよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DF}}$の内積の最小値と，そのときの$x$の値を求めよ．

$2$つの関数$f(x)=x^3-x^2-x+c$，$g(x)=4x+1$がある．$x$は$0 \leqq x \leqq a$を満たす．ただし，$a$は整数，$c$は実数とする．

$xy$平面上の曲線$y=f(x)$上の異なる$2$点$(0,\ f(0))$，$(a,\ f(a))$を結ぶ直線は，$\displaystyle x=\frac{a}{3}$における$y=f(x)$の接線と直交する．このとき，


(1)$a=[$24$]$である．
(2)$c=0$のとき，関数$f(x)$の最大値は$[$25$]$である．
(3)方程式$f(x)=g(x)$が$2$つの異なる実数解を持つような$c$の値の範囲は
\[ [$26$] \leqq c<\frac{[$27$][$28$][$29$]}{[$30$][$31$]} \]
である．

次の問に答えよ．

(1)直線$-2x+4y+5=0$を$\ell$とする．点$\mathrm{A}(2,\ 4)$を通り，直線$\ell$に垂直な直線を$m$とし，同じく点$\mathrm{A}$を通り，$x$軸に平行な直線を$n$とする．直線$\ell$と直線$m$の交点を$\mathrm{B}$とし，直線$\ell$と直線$n$の交点を$\mathrm{C}$とするとき，次の各問いに答えよ．

(i) 点$\mathrm{B}$の座標は$([ア],\ [イ])$である．
(ii) 線分$\mathrm{AB}$の長さは$[ウ]$である．
(iii) 直線$\ell$上で線分$\mathrm{CB}$を$2:1$に外分する点を$\mathrm{D}$とし，直線$m$上で線分$\mathrm{AB}$を$3:2$に外分する点を$\mathrm{E}$とするとき，四角形$\mathrm{ACED}$の面積は$[エ]$である．

(2)座標平面上に定点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$と$\mathrm{B}(1,\ 0)$が与えられているとし，動点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は，それぞれ$\mathrm{A}$および$\mathrm{B}$とは一致しないところを動くものとするとき，次の各問いに答えよ．

(i) 点$\mathrm{P}(x,\ y)$が$\angle \mathrm{APB}={90}^\circ$を満たすように動くとき，点$\mathrm{P}$の$y$座標の最大値は$[オ]$である．
(ii) 点$\mathrm{Q}(x,\ y)$が$\angle \mathrm{AQB}={120}^\circ$を満たすように動くとき，点$\mathrm{Q}$の$y$座標の最大値は$[カ]$であり，また，点$\mathrm{Q}$が動いてできる曲線に$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を付け加えた曲線を$C$とすると，曲線$C$が囲む部分の面積は$[キ]$である．

(3)$a$を正の実数とし，$\displaystyle a \neq \frac{1}{2}$であるとする．曲線$C:y=x^2-2x$上の$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を考える．点$\mathrm{P}$の座標を$\displaystyle \left( \frac{3}{2},\ -\frac{3}{4} \right)$とし，点$\mathrm{Q}$の座標を$(a+1,\ a^2-1)$とする．点$\mathrm{P}$を通り$\mathrm{P}$における$C$の接線に直交する直線を$\ell$とし，点$\mathrm{Q}$を通り$\mathrm{Q}$における$C$の接線に直交する直線を$m$とする．$2$直線$\ell$と$m$の交点が曲線$C$上にあるとき，次の各問いに答えよ．

(i) $a$の値は$[ク]$である．
(ii) $2$直線$\ell$，$m$と曲線$C$とで囲まれた領域で$x \geqq 0$を満たす部分の面積は$[ケ]$である．

三角形$\mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とおく．また，$\mathrm{C}$を通り$\mathrm{AD}$と平行な直線と辺$\mathrm{BA}$の延長との交点を$\mathrm{E}$とおく．

ベクトルを$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{c}$，辺の長さを$\mathrm{AC}=b$，$\mathrm{AB}=c$，角を$\angle \mathrm{BAC}=\theta$として，次の問に答えよ．


(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CE}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ b,\ c$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \cos \frac{\theta}{2}=p$とおく．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CE}}$の絶対値$f=|\overrightarrow{\mathrm{CE|}}$を$b,\ c,\ p$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{BCE}$の重心を$\mathrm{G}$とおく．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BG}}$を$\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ b,\ c$を用いて表せ．
(4)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$が互いに直交するとき，$\cos \theta$を$b,\ c$を用いて表せ．

$a$を正の定数とし，放物線$C:y=ax^2$上の点$\mathrm{P}(t,\ at^2)$における接線を$\ell_1$とする．ただし，$t>0$である．

(1)$\ell_1$と$x$軸との交点を通り$\ell_1$と直交する直線を$\ell_2$とする．$\ell_2$は$\mathrm{P}$によらない定点を通ることを示せ．
(2)$x$軸に関して$\ell_1$と対称な直線を$\ell_3$とする．$\ell_3$と$C$の$2$つの交点のうち$x$座標が大きい方を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{Q}$から$x$軸に下ろした垂線の足を$\mathrm{R}$とするとき，$C$と直線$\mathrm{QR}$と$x$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．

平面上に等間隔に並ぶ$6$本の平行線があり，さらにそれらに直交し，それらと同じ間隔で並ぶ$6$本の平行線があるとき，次の設問に答えよ．

(1)これら$2$組の平行線で作られる長方形は何個あるか．
(2)そのうち正方形ではないものは何個あるか．

放物線$C:y=x^2$上の点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$を通り，$\mathrm{P}$における$C$の接線と直交する直線を$L$とする．ただし，$t$は正の実数とする．

(1)$L$の方程式を求めよ．
(2)$L$と$C$とで囲まれた部分の面積を$S$とする．$t$が正の実数全体を動くとき，$S$の最小値と，最小値を与える$t$の値を求めよ．

次の空欄に当てはまる$0$から$9$までの数字を入れよ．ただし，空欄$[サシ]$は$2$桁の数をあらわす．

(1)$k$を自然数とすると
\[ \int_0^\pi \sin^k x \cos x \, dx=[ア] \]
である．
(2)直線$y=\sqrt{3}x$を$\ell$とし，曲線$y=\sqrt{3}x+\sin^2 x$を$C$とする．直線$\ell$上に点$\mathrm{A}$をとり，点$\mathrm{A}$において直線$\ell$と直交する直線を$L$とする．関数$y=\sqrt{3}x+\sin^2 x$は$x$に関する単調増加関数であるので，直線$L$と曲線$C$の共有点は$1$点のみである．その共有点を$\mathrm{B}(t,\ \sqrt{3}t+\sin^2 t)$とする．点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の距離を$h$とおくと，
\[ h=\frac{1}{[イ]} \sin^2 t \]
となる．また，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{A}$の距離を$p$とする．点$\mathrm{A}$の$x$座標が$0$以上であるときは
\[ p=[ウ]t+\frac{\sqrt{[エ]}}{[オ]} \sin^2 t \]
となる．この等式の右辺を$f(t)$とおく．
$0 \leqq x \leqq \pi$の範囲で曲線$C$と直線$\ell$で囲まれた図形を考え，その図形を直線$\ell$の周りに$1$回転させてできる立体の体積を$V$とすると，$\displaystyle V=\pi \int_0^{\mkakko{カ} \pi} h^2 \, dp$となる．ここで，$p=f(t)$とおいて置換積分すれば，
\[ V=\frac{\pi}{[キ]} \int_0^{\pi} \sin^4 t \, dt \]
が成り立つ．$\displaystyle \int_0^{\pi} \sin^4 t \, dt=\frac{[ク]}{[ケ]} \pi$より，$\displaystyle V=\frac{[コ]}{[サシ]} \pi^2$である．