放物線$\displaystyle C:y=\frac{x^2}{2}$を考える．$0<a<\sqrt{2}$を満たす定数$a$に対して，点$\displaystyle \left(a^3,\ \frac{3a^2}{2}+1 \right)$をPで表す．

(1)点Pと$C$上の点$\displaystyle \left( t,\ \frac{t^2}{2}\right)$との距離が最小となる$t$を$a$を用いて表せ．
(2)(1)で求めた$t$に対して，点$\displaystyle \left( t,\ \frac{t^2}{2}\right)$をQとおく．点Qにおける$C$の接線と，直線PQは直交することを示せ．
(3)点Pと点Qとの距離が最大となるように$a$を定めよ．

曲線$C:y=e^x$上の点P$(t,\ e^t)$における接線を$\ell$とし，$\ell$と$x$軸との交点をQとする．さらに，Qを通り$\ell$に直交する直線と$C$との交点をRとする．以下の問いに答えよ．

(1)点Qの$x$座標を$t$を用いて表せ．
(2)$\triangle$PQRの外心が$y$軸上にあるときの$t$の値を求めよ．
(3)$t$を(2)で求めた値とするとき，直線PQ，QRと$C$とで囲まれる部分を$x$軸の周りに1回転して得られる回転体の体積を求めよ．

座標空間の原点を$\mathrm{O}$とし，$2$点$\mathrm{A}(2,\ -1,\ 4)$，$\mathrm{B}(k,\ -k,\ 2)$について，線分$\mathrm{AB}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{P}$とする．このとき，次の問いに答えよ．ただし，$k$は定数で$k>0$とする．

(1)点$\mathrm{P}$の座標を$k$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{OP}$が直交するとき，$k$の値を求めよ．
(3)(2)で求めた$k$について，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を求めよ．

座標平面上に，点$\mathrm{P}(p,\ q)$を中心とする楕円がある．長軸，短軸がそれぞれ$x$軸，$y$軸に平行であり，それぞれの長さは$4,\ 2$である．このとき，以下の問に答えよ．

(1)この楕円の方程式を求めよ．
(2)原点から，この楕円に異なる$2$本の接線が引けるような，点$\mathrm{P}(p,\ q)$の存在範囲を求めて，図示せよ．
(3)さらに，原点から，この楕円に$2$本の直交する接線が引けるような，点$\mathrm{P}(p,\ q)$の存在範囲を求めて，図示せよ．

$y=x^2$を平行移動してできる放物線$C$は点$\mathrm{Q}(1,\ 1)$を通り，その軸の方程式は$x=p$で，$p<1$であるとする．点$\mathrm{Q}$における放物線$C$の接線を$\ell_1$，点$\mathrm{Q}$において$\ell_1$に直交する直線を$\ell_2$とし，$\ell_1$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}$，$\ell_2$と$x$軸との交点を$\mathrm{B}$とする．また，点$\mathrm{Q}$の位置ベクトルを$\overrightarrow{q}=(1,\ 1)$で表し，直線$\ell_1,\ \ell_2$の方向ベクトルをそれぞれ$\overrightarrow{a}=(1,\ m),\ \overrightarrow{b}=(1,\ n)$とする．

(1)放物線$C$の方程式を$p$を使って表せ．
(2)$m$および$n$をそれぞれ$p$で表せ．
(3)$\triangle \mathrm{QAB}$の内部および周上の点を表す位置ベクトルを，実数$s,\ t$を用いて$\overrightarrow{v}=\overrightarrow{q}+s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$と表すとき，点$(s,\ t)$の存在する領域を図示せよ．

空間上に相異なる$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$があり，線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$は互いに直交している．次の問いに答えよ．

(1)$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$からの距離が全て等しくなる点がただ一つ存在する．この点を$\mathrm{G}$とする．線分$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{MG}}$が直交することを用いて，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^2 \]
となることを示せ．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OG}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$の内積とする．
(2)(1)を用いて，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OG}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}) \]
が成り立つことを示せ．
(3)$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{P}(1,\ \sqrt{3},\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{Q} \left( -\frac{\sqrt{6}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2},\ \sqrt{2} \right)$，$\displaystyle \mathrm{R} \left( \frac{\sqrt{6}}{4},\ -\frac{\sqrt{2}}{4},\ \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$とする．このとき線分$\mathrm{OP}$，$\mathrm{OQ}$，$\mathrm{OR}$は互いに直交していることを示せ．また，$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る球面の半径を求めよ．

図に示す点$\mathrm{O}$を原点とする直交座標空間に点$\mathrm{P}(1,\ 0,\ 0)$をとる．点$\mathrm{P}$を，$xy$平面内で原点$\mathrm{O}$を中心として図に示す矢印の方向に角度$\theta$回転させた位置に点$\mathrm{Q}$をとる．さらに，点$\mathrm{Q}$および$z$軸を含む平面内で，点$\mathrm{O}$を中心として点$\mathrm{Q}$を矢印の方向に角度$\theta$回転させた位置に点$\mathrm{R}$をとる．ただし，角度$\theta$の範囲は$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．以下の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)点$\mathrm{R}$の座標$(x_\mathrm{R},\ y_\mathrm{R},\ z_\mathrm{R})$を，角度$\theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \angle \mathrm{ORP}=\frac{\pi}{3}$であるとき，角度$\theta$の値を求めよ．
(3)点$\mathrm{R}$から平面$x+y=0$に下ろした垂線の長さ$l$を，角度$\theta$の関数で表せ．
(4)(3)で求めた垂線の長さ$l$が最大となるときの角度$\theta$の値とそのときの$l$の値を求めよ．

関数
\[ f(x)=\frac{5}{8}x^2+|x| \left( \frac{1}{2}+\frac{3}{8}x \right) \]
に対し，$xy$平面上のグラフ$C:y=f(x)$を考える．$a$を正の実数とし，$y$軸上の点$\mathrm{P}(0,\ -a^2)$から$C$に$2$本の接線$\ell_1$，$\ell_2$を引く．このとき，以下の設問に答えよ．

(1)$C$と$\ell_1$の接点を$\mathrm{S}(s,\ f(s))$とする．$s<0$のとき，$a$を用いて$s$を表せ．
(2)$C$と$\ell_2$の接点を$\mathrm{T}(t,\ f(t))$とする．$t>0$のとき，$a$を用いて$t$を表せ．
(3)$\ell_1$と$\ell_2$が直交するような$a$の値を求めよ．

曲線$C:y=e^x$と直線$\ell:y=x$について，次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)曲線$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ e^t)$を通り，直線$\ell$と直交する直線の方程式を求めよ．
(2)$(1)$で求めた直線と直線$\ell$との交点$\mathrm{Q}$の座標を$t$で表せ．
(3)点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の距離を$t$で表せ．
(4)$(3)$で求めた距離の最小値を求めよ．

放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2$について，次の問いに答えよ．

(1)点P$\displaystyle \left(1,\ \frac{1}{2} \right)$における接線$\ell_1$の方程式を求めよ．
(2)点Pを通り直線$\ell_1$に直交する直線を$\ell_2$とする．直線$\ell_2$と$x$軸との交点Aの座標を求めよ．
(3)点Aを中心とし，直線$\ell_1$に接する円の方程式を求めよ．
(4)(3)の円と$x$軸との交点のうち原点に近い方の点Bの座標を求めよ．
(5)放物線，円弧BPおよび$x$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．