四面体$\mathrm{OABC}$において，次が満たされているとする．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}} \]
点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面を$\alpha$とする．点$\mathrm{O}$を通り平面$\alpha$と直交する直線と，平面$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$は垂直であることを示せ．
(2)点$\mathrm{H}$は$\triangle \mathrm{ABC}$の垂心であること，すなわち$\overrightarrow{\mathrm{AH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BC}},\ \overrightarrow{\mathrm{BH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{CA}},\ \overrightarrow{\mathrm{CH}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AB}}$を示せ．
(3)$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=2,\ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=1$とする．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の各辺の長さおよび線分$\mathrm{OH}$の長さを求めよ．

$xy$平面上の楕円$4x^2+9y^2=36$を$C$とする．

(1)直線$y=ax+b$が楕円$C$に接するための条件を$a$と$b$の式で表せ．
(2)楕円$C$の外部の点$\mathrm{P}$から$C$に引いた$2$本の接線が直交するような点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

$\angle \text{BAC}=90^\circ$である直角三角形ABCにおいて，辺ABの中点をMとする．また，辺BCを$s:(1-s)$に内分する点をPとし，線分APとCMとの交点をRとする．ただし，$0<s<1$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を$s,\ \overrightarrow{a}$および$\overrightarrow{b}$で表せ．
(2)$|\overrightarrow{a}|=1,\ |\overrightarrow{b}|=\sqrt{2}$とする．線分APとCMが直交するときの$s$の値を求めよ．また，このときの$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$の大きさを求めよ．

$\angle \text{BAC}=90^\circ$である直角三角形ABCにおいて，辺ABの中点をMとする．また，辺BCを$s:(1-s)$に内分する点をPとし，線分APとCMとの交点をRとする．ただし，$0<s<1$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を$s,\ \overrightarrow{a}$および$\overrightarrow{b}$で表せ．
(2)$|\overrightarrow{a}|=1,\ |\overrightarrow{b}|=\sqrt{2}$とする．線分APとCMが直交するときの$s$の値を求めよ．また，このときの$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$の大きさを求めよ．

極方程式$\displaystyle r=\frac{a}{2+\cos \theta}$で与えられる2次曲線がある．ただし，$a$は正の定数とする．このとき次の各問いに答えよ．

(1)この2次曲線を直交座標$(x,\ y)$に関する方程式で表せ．
(2)(1)で求めた2次曲線を$x$軸方向に$\displaystyle \frac{a}{3}$だけ平行移動した2次曲線を$C$で表す．$C$を直交座標$x,\ y$の方程式で表せ．また，この2次曲線$C$は$x$軸と2点AとBで交わる．この2点A，Bの座標を求めよ．ただし，Bの$x$座標は正とする．
(3)(2)で求めた2次曲線$C$上の$x$軸上にない点P$(\alpha,\ \beta)$から$x$軸に下ろした垂線をPHとする．さらにPと$x$軸に関して対称な点をQとするとき，次の値は定数であることを証明せよ．
\[ \frac{\text{PH} \cdot \text{QH}}{\text{AH} \cdot \text{BH}} \]

$\angle$AOBが直角，$\text{OA}:\text{OB}=2:1$である三角形OABがある．$s$は$0<s<1$とし，辺ABを$s:(1-s)$に内分する点をPとし，OPを$s:(1-s)$に内分する点をQとする．また，線分AQの延長とOBの交点をRとする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BQ}}$が直交するとき，以下の問いに答えよ．

(1)$s$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AR}}=t\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$とおくとき，$t$の値を求めよ．
(3)三角形OQRの面積と三角形BPQの面積の比を，最も簡単な整数の比で表せ．

半径2の円板が$x$軸上を正の方向に滑らずに回転するとき，円板上の点Pの描く曲線$C$を考える．円板の中心の最初の位置を$(0,\ 2)$，点Pの最初の位置を$(0,\ 1)$とする．

(1)円板がその中心のまわりに回転した角を$\theta$とするとき，Pの座標は
\[ (2\theta-\sin \theta,\ 2-\cos \theta) \]
で与えられることを示せ．
(2)点P$(2\theta-\sin \theta,\ 2-\cos \theta) \ (0<\theta<2\pi)$における曲線$C$の法線と$x$軸との交点をQとする．線分PQの長さが最大となるような点Pを求めよ．ここで，Pにおいて接線に直交する直線を法線という．
(3)曲線$C$と$x$軸，2直線$x=0,\ x=4\pi$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．

四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{AC}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$はいずれも$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$に直交し，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角は$60$度であり，
\[ \mathrm{AC} = \mathrm{OB} = 2,\quad \mathrm{OA}=3 \]
である．このとき，三角形$\mathrm{ABC}$の面積は[オ]$\sqrt{[カ]}$であり，四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$\sqrt{[キ]}$である．ただし，[カ]はできるだけ小さい自然数で答えることとする．

半径$1$の球が平面の上に接している．平面との接点を$\mathrm{O}$とし，$\mathrm{O}$を球の南極点とみなしたときの球の北極点を$\mathrm{N}$とする．平面上に点$\mathrm{A}$を$\mathrm{OA}=3$となるようにとる．また点$\mathrm{B}$を$\mathrm{OB}=4$であり，直線$\mathrm{OA}$と直線$\mathrm{OB}$が直交するようにとる．\\
\quad 点$\mathrm{N}$と平面上の点$\mathrm{P}$を結ぶ直線が球面と交わる$2$点の内，$\mathrm{N}$と異なる点を$\mathrm{P}^{\prime}$とする．このとき$\mathrm{N}$と$\mathrm{A}^{\prime}$，$\mathrm{B}^{\prime}$の距離はそれぞれ
\[ \mathrm{NA}^{\prime}= \frac{[$1$][$2$]}{\sqrt{[$3$][$4$]}},\quad \text{NB}^{\prime}=\frac{[$5$][$6$]}{\sqrt{[$7$][$8$]}} \]
である．点$\mathrm{P}$が直線$\mathrm{AB}$上を動くとき，$\mathrm{P}^{\prime}$は直径
\[ \frac{[$9$][$10$]}{\sqrt{[$11$][$12$]}} \]
の円を動く．

曲線上の点$\mathrm{P}$を通り，$\mathrm{P}$におけるこの曲線の接線$\ell$と直交する直線$m$をこの曲線の法線とよぶ．$a,\ b>0$とし，$2$次曲線$x^2 = 4a(y+b)$の法線が$(0,\ 2a)$を通るとき，接点$\mathrm{P}(p,\ q)$は
\[ p^2 = [(41)]ab, \quad q= [(42)] \]
をみたす．したがって条件をみたす接線と法線の組$(\ell,\ m)$は$2$組ある．この$4$本の直線で囲まれる$4$角形$S$の面積は$[(43)][(44)](a+b)\sqrt{ab}$である．また$2$本の法線と$2$次曲線で囲まれる部分で$S$に含まれる部分の面積は
\[ \left( \frac{[(45)][(46)]a+[(47)][(48)]b}{[49]} \right) \sqrt{ab} \]
である．