放物線$C:y^2=4px (p>0)$の焦点$\mathrm{F}(p,\ 0)$を通る$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$は互いに直交し，$C$と$\ell_1$は$2$点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$で，$C$と$\ell_2$は$2$点$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_2$で交わるとする．次の問に答えよ．

(1)$\ell_1$の方程式を$x=ay+p$と置き，$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$の座標をそれぞれ$(x_1,\ y_1)$，$(x_2,\ y_2)$とする．$y_1+y_2$，$y_1y_2$を$a$と$p$で表せ．
(2)$\displaystyle \frac{1}{\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2}+\frac{1}{\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2}$は$\ell_1$，$\ell_2$のとり方によらず一定であることを示せ．

中心$\mathrm{A}(1,\ 1)$，半径$1$の円を$C$とする．原点を通り円$C$と異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わる直線を$\ell$とする．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$における円$C$の$2$本の接線が直交するとき，次の問に答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{APQ}$の面積$S$を求めよ．
(2)直線$\ell$の傾きを求めよ．
(3)$2$本の接線の交点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

曲線$C:y=x^3-tx$上の点$\mathrm{P}(a,\ a^3-ta) (a<0)$における接線$\ell$が$C$と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$a$を用いて表すと$x=[アイ]a$である．
(2)点$\mathrm{Q}$における$C$の接線が直線$\mathrm{PQ}$と直交するとき$([ウ]a^2-t)([エオ]a^2-t)=-1$である．
(3)$(2)$を満たす$a$の値がただ$1$つ決まるとき，$\displaystyle t=\frac{[カ]}{[キ]}$である．

放物線$C_1:y=2x^2$と放物線$C_2:y=(x-a)^2+b$を考える．ただし，$a,\ b$は定数で，$a>0$とする．放物線$C_1$と$C_2$がともにある点$\mathrm{P}$を通り，点$\mathrm{P}$において共通の接線$\ell$をもつとする．また，点$\mathrm{P}$で$\ell$と直交する直線を$m$とし，$m$と放物線$C_1$，$C_2$との$\mathrm{P}$以外の交点を，それぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．次の問いに答えよ．

(1)$b$を$a$を用いて表せ．
(2)直線$m$の方程式，および，点$\mathrm{Q}$，点$\mathrm{R}$の$x$座標を$a$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle a=\frac{1}{4}$のとき，放物線$C_1$と直線$m$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

四面体の$4$つの頂点を$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_3$，$\mathrm{A}_4$とし，空間のある点$\mathrm{P}$に関するそれぞれの位置ベクトルを$\overrightarrow{a_1}$，$\overrightarrow{a_2}$，$\overrightarrow{a_3}$，$\overrightarrow{a_4}$とする．いま$\triangle \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3 \mathrm{A}_4$，$\triangle \mathrm{A}_1 \mathrm{A}_3 \mathrm{A}_4$，$\triangle \mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_4$，$\triangle \mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3$を順に$\mathrm{T}_1$，$\mathrm{T}_2$，$\mathrm{T}_3$，$\mathrm{T}_4$で表しその重心をそれぞれ$\mathrm{G}_1$，$\mathrm{G}_2$，$\mathrm{G}_3$，$\mathrm{G}_4$とする．

(1)点$\mathrm{H}$を$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PH}}=\frac{\overrightarrow{a_1}+\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_3}+\overrightarrow{a_4}}{4}$を満たす点とすると，$4$つの直線$\mathrm{A}_i \mathrm{G}_i (i=1,\ 2,\ 3,\ 4)$は$\mathrm{H}$で交わることを示せ．
(2)「直線$\mathrm{A}_i \mathrm{H}$は$\mathrm{T}_i$を含む平面に直交する（$i=1,\ 2,\ 3,\ 4$）」という条件が成り立つと仮定する．このとき$\mathrm{P}$として$\mathrm{H}$を選べば，$\overrightarrow{a_j}$と$\overrightarrow{a_k}$の内積$\overrightarrow{a_j} \cdot \overrightarrow{a_k} (j,\ k=1,\ 2,\ 3,\ 4)$の値は$j \neq k$を満たすどの$j,\ k$に対しても同じであることを示せ．
(3)(2)の条件が成り立てば，四面体$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3 \mathrm{A}_4$は正四面体であることを示せ．

$a \neq c$とする．座標平面上で，焦点$\mathrm{F}(0,\ c)$と準線$y=a$とから等距離にある点$(x,\ y)$の軌跡は放物線であり，その式を$x^2=4p(y-q)$とおくとき，$\displaystyle q=\frac{a+c}{2}$となる．以下の問に答えなさい．

(1)この放物線と直線$y=c$の交点は，焦点$\mathrm{F}$と準線$y=a$とから等距離にあることに着目して，$p$を$a$と$c$の式で表しなさい．
(2)$a>c>b$とする．焦点$\mathrm{F}$，準線$y=a$の放物線を$L$で表し，焦点$\mathrm{F}$，準線$y=b$の放物線を$L^\prime$で表す．$L$と$L^\prime$の交点$\mathrm{T}$の$y$座標を$a,\ b$を用いて表しなさい．
(3)$(2)$で求めた交点$\mathrm{T}$における$L$の接線と$L^\prime$の接線は，直交することを示しなさい．

$x \geqq 0$とする．関数$f(x)=-x^3+x$と関数$g(x)=x^3-x^2$がある．$xy$平面上に曲線$C_1:y=f(x)$および曲線$C_2:y=g(x)$を定めるとき，以下の問いに答えよ．

(1)曲線$C_1$上の点$(1,\ 0)$における曲線$C_1$の接線の方程式を求めよ．
(2)$(1)$で得られた曲線$C_1$の接線と曲線$C_2$の接線が直交するとき，曲線$C_2$の接線の方程式を求めよ．
(3)$0 \leqq x \leqq 1$において，$f(x) \geqq g(x)$が成り立つことを示せ．
(4)原点を通り，曲線$C_1$と曲線$C_2$とで囲まれる図形の面積を二等分する直線の方程式を求めよ．

定数$a,\ b,\ c,\ d$に対して，平面上の点$(p,\ q)$を点$(ap+bq,\ cp+dq)$に移す操作を考える．ただし，$(a,\ b,\ c,\ d) \neq (1,\ 0,\ 0,\ 1)$である．$k$を0でない定数とする．放物線$C:y=x^2-x+k$上のすべての点は，この操作によって$C$上に移る．

(1)$a,\ b,\ c,\ d$を求めよ．
(2)$C$上の点Aにおける$C$の接線と，点Aをこの操作によって移した点A$^\prime$における$C$の接線は，原点で直交する．このときの$k$の値および点Aの座標をすべて求めよ．

$a$を正の実数とし，$\displaystyle a \neq \frac{1}{2}$とする．曲線$C:y=x^2$上の$2$点$\mathrm{P} \left( \frac{1}{2},\ \frac{1}{4} \right)$と$\mathrm{Q}(a,\ a^2)$をとる．点$\mathrm{P}$を通り$\mathrm{P}$における$C$の接線と直交する直線を$\ell$とし，点$\mathrm{Q}$を通り$\mathrm{Q}$における$C$の接線と直交する直線を$m$とする．$\ell$と$m$の交点が$C$上にあるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)$2$直線$\ell,\ m$と曲線$C$で囲まれた図形のうちで$y$軸の右側の部分の面積を求めよ．

$xy$平面上に$n$個の点P$_k(x_k,\ y_k) (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n)$がある．
\[ a=\sum_{k=1}^n x_k^2, \quad b=\sum_{k=1}^n y_k^2, \quad c= \sum_{k=1}^n x_ky_k \]
とおく．さらに，P$_k$と直線$\ell: x\cos \theta + y\sin \theta = 0$の距離を$d_k$とし，
\[ L = \sum_{k=1}^n d_k^2 \]
とおく．次の問いに答えよ．

(1)$L$を$a,\ b,\ c,\ \theta$を用いて表せ．
(2)$\theta$が$0 \leqq \theta < \pi$の範囲を動くとき，$L$の最大値と最小値を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(3)$a \neq b$または$c \neq 0$のとき，$L$を最大にする$\ell$を$\ell_1$，最小にする$\ell$を$\ell_2$とする．$\ell_1$と$\ell_2$は直交することを示せ．