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宮城大学 公立 宮城大学 2015年 第3問
ともに目盛りのない$3 \, \ell$の容器$\mathrm{A}$と$5 \, \ell$の容器$\mathrm{B}$を一つずつ用いるとき,次の問いに答えなさい.

(1)$4 \, \ell$の水を量る手順を,次の例にならって説明しなさい.
(例)$\mathrm{A}$に$3 \, \ell$,$\mathrm{B}$に$0 \, \ell$の水が入っている状態を$\mathrm{AB}(3,\ 0)$で表す.また,はじめに$\mathrm{A}$に$3 \, \ell$の水を入れ,次に,$\mathrm{B}$に$5 \, \ell$の水を入れていくとき,
\[ \mathrm{AB}(0,\ 0) \to \mathrm{AB}(3,\ 0) \to \mathrm{AB}(3,\ 5) \]
のように表すものとする.
(2)$n \, \ell$以上の水が量れることを,数学的帰納法を用いて証明しなさい.ただし,$n$は$9$以上の自然数とする.
高知大学 国立 高知大学 2013年 第1問
座標平面において,点$(0,\ 5)$を通り,直線$y=x$と点$(a,\ a)$で接する円$C$について,次の問いに答えよ.

(1)点$(0,\ 5)$と直線$y=x$と点$(a,\ a)$がかかれているとき,コンパスと目盛りのない定規を用いて,円$C$を作図する手順を説明せよ.
(2)円$C$の方程式を求めよ.
(3)円$C$の中心の座標を$(s,\ t)$とするとき,$\displaystyle x=\frac{\sqrt{2}}{2}(s+t)$,$\displaystyle y=\frac{\sqrt{2}}{2}(-s+t)$とおく.このとき,$a$の値が変化するときの点$(x,\ y)$の軌跡を座標平面に図示せよ.
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