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鳥取環境大学 公立 鳥取環境大学 2013年 第4問
次のようなゲームについて以下の問に答えよ.

カードが$5$枚伏せてある.$1$回の試行ではカードをかき混ぜて$1$枚をでたらめに選んでめくり,出たカードの番号に対応する賞品がもらえる.$5$種類の賞品をすべてあつめるのが目的である.ただし,めくったカードはその都度戻すものとする.
ここで,すでに$k$種類の賞品を持っている状況で試行を$1$回行ってまだ持っていない賞品がもらえる確率を$P_k$で表すとする($0 \leqq k \leqq 4$).$P_0=1$である.

(1)$P_1$の値を求めよ.
(2)$P_k$を$k$を用いた式で表せ.
(3)$5$回の試行で賞品が全種類そろう確率を求めよ.その際,考え方を説明し,確率を求める式も示せ.
(4)試行を$5$回行った時点で得られている賞品が$4$種類だけである確率を求めよ.その際,考え方を説明し,確率を求める式も示せ.
(5)ある事象が起きる確率が$x$であるとき,その事象が起きるまで繰り返し試行を行うならば,必要な試行回数の期待値は$\displaystyle \frac{1}{x}$だと知られている.ここで,賞品を$k$種類($0 \leqq k \leqq 4$)持っている状況から始めてまだ持っていない賞品のいずれか$1$つが得られるまでの試行回数の期待値を$Q_k$で表すとする($0 \leqq k \leqq 4$).$Q_k$を$P_k$を用いた式で表せ.さらに$k$を用いた($P_k$を使わない)形で式を表せ.
(6)賞品を$n$種類持っている状況から始めて賞品が$m$種類そろうまでの試行回数の期待値は$\displaystyle \sum_{k=n}^{m-1} Q_k$となる.ただし,$0 \leqq n<m \leqq 4$である.賞品を$1$つも持っていない状況から$4$種類そろうまでと,$4$種類そろった状況から最後の$1$種類が出るまでと,試行回数の期待値はどちらが大きいか.計算して求めよ.
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「目的」とは・・・

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