さいころの$6$つの面の中から$2$面を選んで赤色に塗る．残った$4$面の中から$2$面を選んで黒色に塗る．最後に残った$2$面は白色に塗る．なお，色を塗っても，さいころの目は判別できるものとする．このとき次の問いに答えよ．

(1)上のような各面への色の塗り分け方は全部で何通りあるか．
(2)赤い面が向かい合うような，各面への色の塗り分け方は何通りあるか．
(3)赤い面が隣り合うような，各面への色の塗り分け方は何通りあるか．
(4)同じ色の面がすべて隣り合うような，各面への色の塗り分け方は何通りあるか．
(5)同じ色の面がすべて向かい合うような，各面への色の塗り分け方は何通りあるか．

$6$枚のカードに，$1$から$6$までの番号がつけられている．どのカードも一方の面が白色，もう一方の面が赤色である．はじめに，すべてのカードの白色の面を上にして番号順に並べる．次の操作をくり返し行う．

$1$個のさいころを投げる．出た目の数が$x$であるとき，
$x$の約数である番号のカードをすべて裏返す．

このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$1$回目の操作の後で，番号$2$のカードの赤色の面が上になっている確率を求めよ．
(2)$3$回目の操作の後で，赤色の面が上になっているカードが$2$枚である確率を求めよ．
(3)$n$回目の操作の後で，すべてのカードの赤色の面が上になっているとする．このような$n$の最小値を求めよ．

片方の面が白色，もう片方の面が黒色のカードを一枚用意する．さいころをひとつ投げ，目が$2$以下ならばカードを裏返し，$3$以上の場合はそのままにする．最初はカードの白色の面が表であるとし，さい ころを$n$回投げたあとでカードの表が白色である確率を$p_n$とする．

(1)$p_1$および$p_2$を求めよ．
(2)$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表せ．
(3)$p_n$を求めよ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} p_n$を求めよ．

$1$から$5$までの番号が$1$つずつ書かれた$5$枚の赤色のカードと，$1$から$5$までの番号が$1$つずつ書かれた$5$枚の白色のカードと，$1$から$5$までの番号が$1$つずつ書かれた$5$枚の青色のカードがある．これら$15$枚のカードをよくかきまぜた後，$3$枚のカードを取り出す．次の$[　]$を数値でうめよ．

(1)$3$枚とも赤色のカードである確率は$[$①$]$である．
(2)赤色，白色，青色のカードが$1$枚ずつある確率は$[$②$]$である．
(3)赤色，白色，青色のカードが$1$枚ずつあり，かつ$3$枚のカードの数字が異なっている確率は$[$③$]$である．
(4)$3$枚のカードの数字の積が$5$の倍数である確率は$[$④$]$である．
(5)$3$枚のカードの数字の積が$9$の倍数である確率は$[$⑤$]$である．