$1$から$10$までの番号がひとつずつ書かれた$10$個の白い球と$1$から$10$までの番号がひとつずつ書かれた$10$個の赤い球が入った箱がある．この箱から$1$個ずつ順に球を$4$個取り出す．ただし，一度取り出した球は箱に戻さない．次の問に答えよ．

(1)$3$番目の球を取り出したときに，初めて同じ番号の白い球と赤い球がそろう確率を求めよ．
(2)$4$番目の球を取り出したときに，初めて同じ番号の白い球と赤い球がそろう確率を求めよ．
(3)$1$番目に取り出した球の番号より$3$番目に取り出した球の番号が小さい確率を求めよ．
(4)取り出した$4$個の球のなかに，同じ番号の白い球と赤い球の組がちょうど$1$組だけ含まれる確率を求めよ．

白い正三角形$\mathrm{ABC}$がある．$1$回目の操作としてこの正三角形の各辺の中点を互いに結んでできる$4$つの正三角形のうち，中央の正三角形を赤く塗る．次に，$2$回目の操作として残りすべての白い三角形それぞれについて，各辺の中点を互いに結んでできる$4$つの正三角形のうち，中央の正三角形を赤く塗る．以下同様に$n$回目までこの操作を繰り返す．

正三角形$\mathrm{ABC}$からこの操作を$n$回繰り返したとき，以下の問いに答えよ．

(1)赤い正三角形の数を求めよ．
(2)白い正三角形の数を求めよ．
(3)正三角形$\mathrm{ABC}$の一辺の長さを$1$としたとき，赤い正三角形の面積の和を求めよ．

赤球$2$個，青球$3$個，緑球$1$個が入った白い箱がある．この白い箱から無作為に$1$個の球を取り出し，球の色を確認後，球を白い箱に戻す作業を試行$\mathrm{A}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)試行$\mathrm{A}$を$5$回繰り返すときに，取り出される$5$個の球のうち，$3$個が青球である確率を求めよ．
(2)試行$\mathrm{A}$を$4$回繰り返すときに，少なくとも赤球が$2$個出る確率を求めよ．
次に，赤い箱，青い箱，緑の箱に数字の書かれたカードが$4$枚ずつ入っていて，それぞれの箱のカードに書かれた数字と枚数は次の通りとする．
\begin{itemize}
赤い箱：$1$が$2$枚，$2$が$1$枚，$3$が$1$枚
青い箱：$1$が$1$枚，$2$が$2$枚，$3$が$1$枚
緑の箱：$1$が$2$枚，$2$が$2$枚
\end{itemize}
試行$\mathrm{A}$を$1$回実施し，取り出した球と同じ色の箱から無作為に$1$枚のカードを取り出し，カードに書かれた数字を確認後，カードを元の箱に戻す作業を試行$\mathrm{B}$とする．
(3)試行$\mathrm{B}$を$1$回実施するときに，出る数字の期待値を求めよ．
(4)試行$\mathrm{B}$を$2$回繰り返すときに，出る$2$個の数字の合計が偶数である確率を求めよ．
(5)動点$\mathrm{P}$は数直線上の原点から出発し，奇数回目の試行$\mathrm{B}$で出た数字の分だけ正の方向に動き，偶数回目の試行$\mathrm{B}$で出た数字の分だけ負の方向に動くこととする．試行$\mathrm{B}$を$4$回繰り返したとき，動点$\mathrm{P}$の座標が$3$である確率を求めよ．