ある病気にかかっているかどうかを判定するための簡易検査法がある．この検査法は，
\begin{itemize}
病気にかかっているのに，病気にかかっていないと誤って判定してしまう確率が$\displaystyle \frac{1}{4}$
病気にかかっていないのに，病気にかかっていると誤って判定してしまう確率が$\displaystyle \frac{1}{13}$
\end{itemize}
と言われている．

全体の$\displaystyle \frac{1}{14}$が病気にかかっているとされる集団の中から$1$人を選んで検査する．このとき，病気にかかっていると判定される確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}$である．また，病気にかかっていると判定されたときに，実際には病気にかかっていない確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．

ある病気$\mathrm{X}$にかかっている人が$4 \, \%$いる集団$\mathrm{A}$がある．病気$\mathrm{X}$を診断する検査で，病気$\mathrm{X}$にかかっている人が正しく陽性と判定される確率は$80 \, \%$である．また，この検査で病気$\mathrm{X}$にかかっていない人が誤って陽性と判定される確率は$10 \, \%$である．次の問いに答えよ．

(1)集団$\mathrm{A}$のある人がこの検査を受けたところ陽性と判定された．この人が病気$\mathrm{X}$にかかっている確率はいくらか．
(2)集団$\mathrm{A}$のある人がこの検査を受けたところ陰性と判定された．この人が実際には病気$\mathrm{X}$にかかっている確率はいくらか．

ある病気に関する$3$つの検査，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$があり，$3$つの検査の結果はどれも陽性か陰性のどちらかである．$n$人に上記の$3$つの検査を行う．陽性になった検査の数が$k$個であった者の人数を$n_k$とする（$k=0,\ 1,\ 2,\ 3$）．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$n=10$のとき，起こり得る$n_0,\ n_1,\ n_2,\ n_3$の組$(n_0,\ n_1,\ n_2,\ n_3)$は全部で何通りあるか．
(2)$n=15$のとき，起こり得る$n_0,\ n_1$の組$(n_0,\ n_1)$のうち，下記の条件$1,\ 2,\ 3$のすべてを満たすものは全部で何通りあるか．
条件$1$：検査$\mathrm{A}$で陽性となった者は$5$人
条件$2$：検査$\mathrm{A}$で陰性となり，検査$\mathrm{B}$で陽性となった者は$6$人
条件$3$：検査$\mathrm{B}$で陽性となり，検査$\mathrm{C}$で陰性となった者はいない
(3)$n=2m$のとき，起こり得る$n_0,\ n_1,\ n_3$の組$(n_0,\ n_1,\ n_3)$のうち，下記の条件$4,\ 5$の両方を満たすものは全部で何通りあるか．
条件$4$：検査$\mathrm{A}$で陽性となった者は$m$人，陰性になった者も$m$人
条件$5$：検査$\mathrm{B}$で陽性となり，検査$\mathrm{C}$で陰性となった者はいない．