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慶應義塾大学 私立 慶應義塾大学 2015年 第4問
ボタンを$1$回押すたびに$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$のいずれかの数字が$1$つ画面に表示される機械がある.このうちの$1$つの数字$Q$が表示される確率は$\displaystyle \frac{1}{k}$であり,$Q$以外の数字が表示される確率はいずれも等しいとする.ただし,$k$は$k>6$を満たす自然数とする.

ボタンを$1$回押して表示された数字を確認する試行を繰り返すとき,$1$回目に$4$の数字,$2$回目に$5$の数字が表示される確率は,$1$回目に$5$の数字,$2$回目に$6$の数字が表示される確率の$\displaystyle \frac{8}{5}$倍である.このとき,

(1)$Q$は$[$59$]$であり,$k$は$[$60$]$である.
(2)この試行を$3$回繰り返すとき,表示された$3$つの数字の和が$16$となる確率は
\[ \frac{[$61$][$62$][$63$]}{\kakkofour{$64$}{$65$}{$66$}{$67$}} \]
である.
(3)この試行を$500$回繰り返すとき,そのうち$Q$の数字が$n$回表示される確率を$P_n$とおくと,$P_n$の値が最も大きくなる$n$の値は$[$68$][$69$]$である.
横浜市立大学 公立 横浜市立大学 2013年 第1問
以下の問いに答えよ.

(1)$a,\ b,\ c$を実数として,$A,\ B,\ C$を
\[ A=a+b+c,\quad B=a^2+b^2+c^2,\quad C=a^3+b^3+c^3 \]
とおく.このとき$abc$を$A,\ B,\ C$を用いて表せ.
(2)$n$を自然数とする.このとき
\[ \sum_{k=0}^{n-1} \frac{\comb{2n}{2k+1}}{2k+2} \]
を求めよ.
(3)ボタンを押すと$\mathrm{X}$,$\mathrm{Y}$,$\mathrm{Z}$いずれかの文字が画面に表示される機械がある.その機械では,$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$が表示される確率は,等しくかつ$\mathrm{Z}$が表示される確率の$2$倍である,とする.いま,ボタンを$5$回続けて押す.このとき,($\mathrm{XYZYX}$のように)$\mathrm{X}$,$\mathrm{Y}$,$\mathrm{Z}$すべての文字が少なくとも$1$回表示される確率を求めよ.
(4)逆行列をもつ$2$次の正方行列$A$が表す$1$次変換が,円$C:(x-1)^2+(y-\sqrt{3})^2=3^2$上の点を$C$上の点に移すとき,$A$を求めよ.ただし,$A$は単位行列と異なる行列とする.
(5)定積分
\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{2}}{\sin x+\cos x} \, dx \]
を求めよ.
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