「用意」について
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私立 安田女子大学 2012年 第3問$1$辺の長さが$1$の正方形の紙を用意し，頂点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$とする．次の図のように，正方形の各辺を底辺とする高さ$x$の$4$つの二等辺三角形$\triangle \mathrm{ABE}$，$\triangle \mathrm{BCF}$，$\triangle \mathrm{CDG}$，$\triangle \mathrm{DAH}$を正方形から切り取り，残りを図の$4$本の線分$\mathrm{EF}$，$\mathrm{FG}$，$\mathrm{GH}$，$\mathrm{HE}$にそって折り曲げて，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$が$1$点になるように辺を合わせて四角錐を作るとする．ただし，$\displaystyle 0<x<\frac{1}{2}$とする．このとき，次の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)この四角錐の底面となる正方形$\mathrm{EFGH}$の面積を求めよ．
(2)この四角錐の表面積となる図の斜線部分の面積を求めよ．
(3)$(2)$で求めた四角錐の表面積が$\displaystyle \frac{1}{2}$のとき，この四角錐の体積を求めよ．
（図は省略）
(1)この四角錐の底面となる正方形$\mathrm{EFGH}$の面積を求めよ．
(2)この四角錐の表面積となる図の斜線部分の面積を求めよ．
(3)$(2)$で求めた四角錐の表面積が$\displaystyle \frac{1}{2}$のとき，この四角錐の体積を求めよ．
国立 北海道大学 2011年 第4問$n$を$2$以上の自然数，$q$と$r$を自然数とする．$1$から$nq$までの番号がついた$nq$個の白玉，$1$から$nr$までの番号がついた$nr$個の赤玉を用意する．これら白玉と赤玉を，$1$番から$n$番まで番号づけられた$n$個の箱それぞれに，小さい番号から順に白玉は$q$個ずつ，赤玉は$r$個ずつ配分しておく．たとえば，$1$番目の箱には番号$1$から$q$の白玉と番号$1$から$r$までの赤玉が入っている．これら$n(q+r)$個の玉を$n$個の箱に以下のように再配分する．$1$番の箱から$1$個の玉を取り出して$2$番の箱に移し，次に$2$番の箱から$1$個の玉を取り出して$3$番の箱に移す．同様の操作を順次繰り返し最後に$n$番の箱に$1$個の玉を移して終了する．このようにして実現され得る再配分の総数を$s_n$とし，$n$番の箱の白玉が$q+1$個であるような再配分の総数を$a_n$とする．
(1)$s_2$を求めよ．
(2)$s_3$と$a_3$を求めよ．
(3)$s_4$と$a_4$を求めよ．
(1)$s_2$を求めよ．
(2)$s_3$と$a_3$を求めよ．
(3)$s_4$と$a_4$を求めよ．
国立 北海道大学 2011年 第4問$n$を2以上の自然数，$q$と$r$を自然数とする．1から$nq$までの番号がついた$nq$個の白玉，1から$nr$までの番号がついた$nr$個の赤玉を用意する．これら白玉と赤玉を，1番から$n$番まで番号づけられた$n$個の箱それぞれに，小さい番号から順に白玉は$q$個ずつ，赤玉は$r$個ずつ配分しておく．たとえば，1番目の箱には番号1から$q$の白玉と番号1から$r$までの赤玉が入っている．これら$n(q+r)$個の玉を$n$個の箱に以下のように再配分する．1番の箱から1個の玉を取り出して2番の箱に移し，次に2番の箱から1個の玉を取り出して3番の箱に移す．同様の操作を順次繰り返し最後に$n$番の箱に1個の玉を移して終了する．このようにして実現され得る再配分の総数を$s_n$とし，$n$番の箱の白玉が$q+1$個であるような再配分の総数を$a_n$とする．
(1)$a_3$と$a_3$を求めよ．
(2)$s_n$を求めよ．
(3)$a_{n+1}-a_n$を求めよ．
(4)$a_n$を求めよ．
(1)$a_3$と$a_3$を求めよ．
(2)$s_n$を求めよ．
(3)$a_{n+1}-a_n$を求めよ．
(4)$a_n$を求めよ．
国立 福井大学 2011年 第3問表の出る確率が$p$，裏の出る確率が$1-p$のコイン8枚と，1つの箱が用意されている．最初，箱には8枚のコインのうちの1枚が入っており，次の操作を繰り返し行う．
(操作) \quad 箱の中のコインをすべて取り出し同時に投げる．裏の出たコインはそのまま箱に戻す．表の出たコインはその枚数を数え，同数のコインを新たに追加して箱に戻す．
例えば，箱の中に3枚のコインがあり，それらを投げた結果，表が2枚，裏が1枚出たとすると，操作の結果，箱の中のコインは，2枚追加されて5枚になる．以下の問いに答えよ．
(1)2回目の操作の終了時，箱の中にあるコインが2枚である確率を$p$を用いて表せ．
(2)2回目の操作の終了時，箱の中にあるコインの枚数の期待値を$p$を用いて表せ．
(3)3回目の操作の終了時，箱の中にあるコインが6枚以下である確率を$p$を用いて表せ．
(操作) \quad 箱の中のコインをすべて取り出し同時に投げる．裏の出たコインはそのまま箱に戻す．表の出たコインはその枚数を数え，同数のコインを新たに追加して箱に戻す．
例えば，箱の中に3枚のコインがあり，それらを投げた結果，表が2枚，裏が1枚出たとすると，操作の結果，箱の中のコインは，2枚追加されて5枚になる．以下の問いに答えよ．
(1)2回目の操作の終了時，箱の中にあるコインが2枚である確率を$p$を用いて表せ．
(2)2回目の操作の終了時，箱の中にあるコインの枚数の期待値を$p$を用いて表せ．
(3)3回目の操作の終了時，箱の中にあるコインが6枚以下である確率を$p$を用いて表せ．
国立 愛知教育大学 2011年 第2問$1$辺の長さが$2$の正方形の紙を用意し，頂点を$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_3$， \\
$\mathrm{A}_4$と名づける．右図のように，正方形の各辺を底辺とする高さ \\
$1-t \ (0<t<1)$の$4$つの二等辺三角形$\triangle \mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{B}_1$， \\
$\triangle \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3 \mathrm{B}_2$，$\triangle \mathrm{A}_3 \mathrm{A}_4 \mathrm{B}_3$，$\triangle \mathrm{A}_4 \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_4$を正方形から切り離す． \\
そして，4本の線分$\mathrm{B}_1 \mathrm{B}_2$，$\mathrm{B}_2 \mathrm{B}_3$，$\mathrm{B}_3 \mathrm{B}_4$，$\mathrm{B}_4 \mathrm{B}_1$で紙を折り， \\
点$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_3$，$\mathrm{A}_4$が1点になるように辺を貼り合わせて四角すいを作る．このとき，以下の問いに答えよ．
\img{409_2566_2011_1}{55}
(1)この四角すいの表面積$S$を$t$の式で表せ．
(2)この四角すいの体積$V$を$t$の式で表せ．
(3)$\displaystyle \left( \frac{V}{S} \right)^2$を$f(t)$とおくとき，$f(t)$が3次関数になることを示し，$f(t)$の最大値とそのときの$t$の値を求めよ．
$\mathrm{A}_4$と名づける．右図のように，正方形の各辺を底辺とする高さ \\
$1-t \ (0<t<1)$の$4$つの二等辺三角形$\triangle \mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2 \mathrm{B}_1$， \\
$\triangle \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3 \mathrm{B}_2$，$\triangle \mathrm{A}_3 \mathrm{A}_4 \mathrm{B}_3$，$\triangle \mathrm{A}_4 \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_4$を正方形から切り離す． \\
そして，4本の線分$\mathrm{B}_1 \mathrm{B}_2$，$\mathrm{B}_2 \mathrm{B}_3$，$\mathrm{B}_3 \mathrm{B}_4$，$\mathrm{B}_4 \mathrm{B}_1$で紙を折り， \\
点$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_3$，$\mathrm{A}_4$が1点になるように辺を貼り合わせて四角すいを作る．このとき，以下の問いに答えよ．
\img{409_2566_2011_1}{55}
(1)この四角すいの表面積$S$を$t$の式で表せ．
(2)この四角すいの体積$V$を$t$の式で表せ．
(3)$\displaystyle \left( \frac{V}{S} \right)^2$を$f(t)$とおくとき，$f(t)$が3次関数になることを示し，$f(t)$の最大値とそのときの$t$の値を求めよ．
国立 東京大学 2010年 第3問$2$つの箱LとR，ボール$30$個，コイン投げで表と裏が等確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で出るコイン1枚を用意する．$x$を$0$以上$30$以下の整数とする．Lに$x$個，Rに$30-x$個のボールを入れ，次の操作$(\sharp)$を繰り返す．
\mon[$(\sharp)$] 箱Lに入っているボールの個数を$z$とする．コインを投げ，表が出れば箱Rから箱Lに，裏が出れば箱Lから箱Rに，$K(z)$個のボールを移す．ただし，$0 \leqq z \leqq 15$のとき$K(z)=z$，$16 \leqq z \leqq 30$のとき$K(z)=30-z$とする．
$m$回の操作の後，箱Lのボールの個数が$30$である確率を$P_m(x)$とする．たとえば$\displaystyle P_1(15)=P_2(15)=\frac{1}{2}$となる．以下の問(1)，(2)，(3)に答えよ．
(1)$m \geqq 2$のとき，$x$に対してうまく$y$を選び，$P_m(x)$を$P_{m-1}(y)$で表せ．
(2)$n$を自然数とするとき，$P_{2n}(10)$を求めよ．
(3)$n$を自然数とするとき，$P_{4n}(6)$を求めよ．
\mon[$(\sharp)$] 箱Lに入っているボールの個数を$z$とする．コインを投げ，表が出れば箱Rから箱Lに，裏が出れば箱Lから箱Rに，$K(z)$個のボールを移す．ただし，$0 \leqq z \leqq 15$のとき$K(z)=z$，$16 \leqq z \leqq 30$のとき$K(z)=30-z$とする．
$m$回の操作の後，箱Lのボールの個数が$30$である確率を$P_m(x)$とする．たとえば$\displaystyle P_1(15)=P_2(15)=\frac{1}{2}$となる．以下の問(1)，(2)，(3)に答えよ．
(1)$m \geqq 2$のとき，$x$に対してうまく$y$を選び，$P_m(x)$を$P_{m-1}(y)$で表せ．
(2)$n$を自然数とするとき，$P_{2n}(10)$を求めよ．
(3)$n$を自然数とするとき，$P_{4n}(6)$を求めよ．
国立 東京大学 2010年 第3問2つの箱LとR，ボール30個，コイン投げで表と裏が等確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で出るコイン1枚を用意する．$x$を0以上30以下の整数とする．Lに$x$個，Rに$30-x$個のボールを入れ，次の操作$(\sharp)$を繰り返す．
\mon[$(\sharp)$] 箱Lに入っているボールの個数を$z$とする．コインを投げ，表が出れば箱Rから箱Lに，裏が出れば箱Lから箱Rに，$K(z)$個のボールを移す．ただし，$0 \leqq z \leqq 15$のとき$K(z)=z$，$16 \leqq z \leqq 30$のとき$K(z)=30-z$とする．
$m$回の操作の後，箱Lのボールの個数が30である確率を$P_m(x)$とする．たとえば$\displaystyle P_1(15)=P_2(15)=\frac{1}{2}$となる．以下の問(1)，(2)に答えよ．
(1)$m \geqq 2$のとき，$x$に対してうまく$y$を選び，$P_m(x)$を$P_{m-1}(y)$で表せ．
(2)$n$を自然数とするとき，$P_{2n}(10)$を求めよ．
\mon[$(\sharp)$] 箱Lに入っているボールの個数を$z$とする．コインを投げ，表が出れば箱Rから箱Lに，裏が出れば箱Lから箱Rに，$K(z)$個のボールを移す．ただし，$0 \leqq z \leqq 15$のとき$K(z)=z$，$16 \leqq z \leqq 30$のとき$K(z)=30-z$とする．
$m$回の操作の後，箱Lのボールの個数が30である確率を$P_m(x)$とする．たとえば$\displaystyle P_1(15)=P_2(15)=\frac{1}{2}$となる．以下の問(1)，(2)に答えよ．
(1)$m \geqq 2$のとき，$x$に対してうまく$y$を選び，$P_m(x)$を$P_{m-1}(y)$で表せ．
(2)$n$を自然数とするとき，$P_{2n}(10)$を求めよ．