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私立 北海学園大学 2013年 第5問$12$人の生徒が$4$人ずつ$3$つのグループ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に分かれている．この$12$人の生徒のうち，$n$人（$1 \leqq n \leqq 12$）が横$1$列に並ぶことを考える．ただし，同じグループの生徒は隣り合わないように並ぶものとする．
(1)$n=2$のとき，このような並び方は何通りあるか．
(2)$n=3$のとき，このような並び方は何通りあるか．
(3)$n=4$のとき，このような並び方は何通りあるか．
(1)$n=2$のとき，このような並び方は何通りあるか．
(2)$n=3$のとき，このような並び方は何通りあるか．
(3)$n=4$のとき，このような並び方は何通りあるか．
私立 北海学園大学 2013年 第1問ある高校の写真部には，$1$年生が男子$3$名，女子$2$名の計$5$名，$2$年生が男子$(6-x)$名，女子$x$名の計$6$名，$3$年生が男子$1$名，女子$3$名の計$4$名，全員で$15$名が所属している．
(1)$15$名の部員から同時に$3$名の生徒を選んだとき，選ばれた生徒の中に$2$年生が含まれる確率を求めよ．
(2)$2$年生$6$名は，両端が女子生徒になるように$1$列に並ぶことができる．そのような並び方が$144$通りであるとき，$x$の値を求めよ．
(3)$x$が$(2)$で求めた値をとるとする．$15$名の部員から同時に$3$名の生徒を選んだとき，$3$名とも女子生徒で，かつ$3$名の学年がそれぞれ異なる確率を求めよ．
(1)$15$名の部員から同時に$3$名の生徒を選んだとき，選ばれた生徒の中に$2$年生が含まれる確率を求めよ．
(2)$2$年生$6$名は，両端が女子生徒になるように$1$列に並ぶことができる．そのような並び方が$144$通りであるとき，$x$の値を求めよ．
(3)$x$が$(2)$で求めた値をとるとする．$15$名の部員から同時に$3$名の生徒を選んだとき，$3$名とも女子生徒で，かつ$3$名の学年がそれぞれ異なる確率を求めよ．
私立 北海学園大学 2013年 第4問ある高校の写真部には，$1$年生が男子$3$名，女子$2$名の計$5$名，$2$年生が男子$(6-x)$名，女子$x$名の計$6$名，$3$年生が男子$1$名，女子$3$名の計$4$名，全員で$15$名が所属している．
(1)$15$名の部員から同時に$3$名の生徒を選んだとき，選ばれた生徒の中に$2$年生が含まれる確率を求めよ．
(2)$2$年生$6$名は，両端が女子生徒になるように$1$列に並ぶことができる．そのような並び方が$144$通りであるとき，$x$の値を求めよ．
(3)$x$が(2)で求めた値をとるとする．$15$名の部員から同時に$3$名の生徒を選んだとき，$3$名とも女子生徒で，かつ$3$名の学年がそれぞれ異なる確率を求めよ．
(1)$15$名の部員から同時に$3$名の生徒を選んだとき，選ばれた生徒の中に$2$年生が含まれる確率を求めよ．
(2)$2$年生$6$名は，両端が女子生徒になるように$1$列に並ぶことができる．そのような並び方が$144$通りであるとき，$x$の値を求めよ．
(3)$x$が(2)で求めた値をとるとする．$15$名の部員から同時に$3$名の生徒を選んだとき，$3$名とも女子生徒で，かつ$3$名の学年がそれぞれ異なる確率を求めよ．
私立 北里大学 2013年 第2問$6$人の生徒$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が横$1$列に並ぶ．次の$[ ]$にあてはまる答を求めよ．
(1)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が隣り合う並び方は$[ ]$通りある．
(2)$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$が隣り合わない並び方は$[ ]$通りある．
(3)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が隣り合い，かつ，$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$が隣り合わない並び方は$[ ]$通りある．
(1)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が隣り合う並び方は$[ ]$通りある．
(2)$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$が隣り合わない並び方は$[ ]$通りある．
(3)$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が隣り合い，かつ，$\mathrm{B}$と$\mathrm{C}$が隣り合わない並び方は$[ ]$通りある．
私立 北里大学 2013年 第1問次の各文の$[ ]$にあてはまる答を求めよ．
(1)$\displaystyle x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$のとき，$x^2+x$の値は$[ア]$であり，$x^4-x^3$の値は$[イ]$である．
(2)$10$人の生徒をいくつかのグループに分ける．このとき
(i) $2$人，$3$人，$5$人の$3$つのグループに分ける分け方は$[ウ]$通りある．
(ii) $3$人，$3$人，$4$人の$3$つのグループに分ける分け方は$[エ]$通りある．
(iii) $2$人，$2$人，$3$人，$3$人の$4$つのグループに分ける分け方は$[オ]$通りある．
(3)次の命題または式のうち正しいものの番号をすべてあげると$[カ]$となる．
\mon[$①$] $0 \leqq 0$
\mon[$②$] $\sqrt{(-3)^6}=(-3)^3$
\mon[$③$] 実数$x$が$\displaystyle \frac{9}{4}<x \leqq \frac{88}{39}$を満たすならば，$0<-12x^2+55x-63$である．
\mon[$④$] $a,\ b$が共に無理数であるならば，$a+b$と$a-b$の少なくとも一方は無理数である．
\mon[$⑤$] すべての実数$x$に対して，$\displaystyle -3x^2-2x+\frac{1}{3}<-2x^2-5x+\frac{31}{12}$である．
(1)$\displaystyle x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$のとき，$x^2+x$の値は$[ア]$であり，$x^4-x^3$の値は$[イ]$である．
(2)$10$人の生徒をいくつかのグループに分ける．このとき
(i) $2$人，$3$人，$5$人の$3$つのグループに分ける分け方は$[ウ]$通りある．
(ii) $3$人，$3$人，$4$人の$3$つのグループに分ける分け方は$[エ]$通りある．
(iii) $2$人，$2$人，$3$人，$3$人の$4$つのグループに分ける分け方は$[オ]$通りある．
(3)次の命題または式のうち正しいものの番号をすべてあげると$[カ]$となる．
\mon[$①$] $0 \leqq 0$
\mon[$②$] $\sqrt{(-3)^6}=(-3)^3$
\mon[$③$] 実数$x$が$\displaystyle \frac{9}{4}<x \leqq \frac{88}{39}$を満たすならば，$0<-12x^2+55x-63$である．
\mon[$④$] $a,\ b$が共に無理数であるならば，$a+b$と$a-b$の少なくとも一方は無理数である．
\mon[$⑤$] すべての実数$x$に対して，$\displaystyle -3x^2-2x+\frac{1}{3}<-2x^2-5x+\frac{31}{12}$である．
私立 北里大学 2013年 第1問次の各文の$[ ]$にあてはまる答を求めよ．
(1)$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AD}=3$である四角形$\mathrm{ABCD}$において，$2$本の対角線の交点$\mathrm{E}$は線分$\mathrm{BD}$を$3:2$に内分し，線分$\mathrm{AC}$を$1:4$に内分しているとする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{d}$とおく．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$は$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=[ア] \overrightarrow{b}+[イ] \overrightarrow{d}$と表せる．さらに，線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{BD}$が垂直に交わるとき，内積$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{d}$の値は$[ウ]$であり，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[エ]$である．
(2)$6$人の生徒$\mathrm{a}$，$\mathrm{b}$，$\mathrm{c}$，$\mathrm{d}$，$\mathrm{e}$，$\mathrm{f}$を$3$つの部屋$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$に入れる．各部屋は$6$人まで入れることができる．このとき，空室があってもよいとして，$3$つの部屋への生徒の入れ方は全部で$[オ]$通りある．また，各部屋に$2$人ずつ入るような生徒の入れ方は全部で$[カ]$通りあり，空室ができないような生徒の入れ方は全部で$[キ]$通りある．
(3)$x$の関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=\int_1^{2x} |t(t-x)| \, dt$により定める．このとき，$f(x) \geqq 0$となるための$x$の条件は$[ク]$である．また，$f(1)$の値は$f(1)=[ケ]$であり，$x>1$のときの$f(x)$を求めると$f(x)=[コ]$である．
(4)三角形$\mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$とし，三角形$\mathrm{ABC}$の外接円と直線$\mathrm{AI}$との交点で$\mathrm{A}$以外のものを$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=3$，$\mathrm{AD}=4$のとき，$\cos \angle \mathrm{BAD}=[サ]$であり，$\mathrm{BD}=[シ]$，$\mathrm{CD}=[ス]$，$\mathrm{BC}=[セ]$である．
(1)$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AD}=3$である四角形$\mathrm{ABCD}$において，$2$本の対角線の交点$\mathrm{E}$は線分$\mathrm{BD}$を$3:2$に内分し，線分$\mathrm{AC}$を$1:4$に内分しているとする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{d}$とおく．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$は$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=[ア] \overrightarrow{b}+[イ] \overrightarrow{d}$と表せる．さらに，線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{BD}$が垂直に交わるとき，内積$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{d}$の値は$[ウ]$であり，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[エ]$である．
(2)$6$人の生徒$\mathrm{a}$，$\mathrm{b}$，$\mathrm{c}$，$\mathrm{d}$，$\mathrm{e}$，$\mathrm{f}$を$3$つの部屋$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$に入れる．各部屋は$6$人まで入れることができる．このとき，空室があってもよいとして，$3$つの部屋への生徒の入れ方は全部で$[オ]$通りある．また，各部屋に$2$人ずつ入るような生徒の入れ方は全部で$[カ]$通りあり，空室ができないような生徒の入れ方は全部で$[キ]$通りある．
(3)$x$の関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=\int_1^{2x} |t(t-x)| \, dt$により定める．このとき，$f(x) \geqq 0$となるための$x$の条件は$[ク]$である．また，$f(1)$の値は$f(1)=[ケ]$であり，$x>1$のときの$f(x)$を求めると$f(x)=[コ]$である．
(4)三角形$\mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$とし，三角形$\mathrm{ABC}$の外接円と直線$\mathrm{AI}$との交点で$\mathrm{A}$以外のものを$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=3$，$\mathrm{AD}=4$のとき，$\cos \angle \mathrm{BAD}=[サ]$であり，$\mathrm{BD}=[シ]$，$\mathrm{CD}=[ス]$，$\mathrm{BC}=[セ]$である．
国立 宮崎大学 2012年 第5問5人の生徒が袋を1つずつ持っている．どの生徒の袋の中にも，赤球，青球，白球がそれぞれ1個ずつ計3個入っている．\\
5人同時に各自の袋の中から1個の球を取り出したとき，取り出した球の色が他の4人の取り出した球の色と異なっている人の数を$k$とする．ただし，どの色の球も同じ確率で取り出されるものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)赤球，青球，白球を取り出した人が，それぞれ1人，1人，3人である確率を求めよ．
(2)$k=2$である確率を求めよ．
(3)$k=1$である確率を求めよ．
(4)$k$の期待値を求めよ．
5人同時に各自の袋の中から1個の球を取り出したとき，取り出した球の色が他の4人の取り出した球の色と異なっている人の数を$k$とする．ただし，どの色の球も同じ確率で取り出されるものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)赤球，青球，白球を取り出した人が，それぞれ1人，1人，3人である確率を求めよ．
(2)$k=2$である確率を求めよ．
(3)$k=1$である確率を求めよ．
(4)$k$の期待値を求めよ．
国立 宮崎大学 2012年 第1問5人の生徒が袋を1つずつ持っている．どの生徒の袋の中にも，赤球，青球，白球がそれぞれ1個ずつ計3個入っている．\\
5人同時に各自の袋の中から1個の球を取り出したとき，取り出した球の色が他の4人の取り出した球の色と異なっている人の数を$k$とする．ただし，どの色の球も同じ確率で取り出されるものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)赤球，青球，白球を取り出した人が，それぞれ1人，1人，3人である確率を求めよ．
(2)$k=2$である確率を求めよ．
(3)$k=1$である確率を求めよ．
(4)$k$の期待値を求めよ．
5人同時に各自の袋の中から1個の球を取り出したとき，取り出した球の色が他の4人の取り出した球の色と異なっている人の数を$k$とする．ただし，どの色の球も同じ確率で取り出されるものとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)赤球，青球，白球を取り出した人が，それぞれ1人，1人，3人である確率を求めよ．
(2)$k=2$である確率を求めよ．
(3)$k=1$である確率を求めよ．
(4)$k$の期待値を求めよ．
私立 東北工業大学 2012年 第2問次の問いに答えよ．
(1)先生$2$人と生徒$4$人の合計$6$人が円形のテーブルに向かって座るとき，先生$2$人が隣り合うような座り方は全部で$[][]$通りある．
(2)赤球と白球が$3$個ずつ入っている袋から同時に$3$個の球を取りだすとき，赤球$2$個，白球$1$個である確率は$\displaystyle \frac{[][]}{20}$である．
(3)$2$つのベクトルを$\overrightarrow{a}=(\sqrt{3},\ 7)$，$\overrightarrow{b}=(-\sqrt{3},\ 1)$とし，$t$は実数とする．$\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$の大きさは$t=-[][]$のとき最小となり，最小値は$[][] \sqrt{3}$である．
(4)$n$を自然数とする．初項が$-2$，公差が$\displaystyle \frac{1}{12}$の等差数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とおくとき，$S_{24}=-[][]$である．
(1)先生$2$人と生徒$4$人の合計$6$人が円形のテーブルに向かって座るとき，先生$2$人が隣り合うような座り方は全部で$[][]$通りある．
(2)赤球と白球が$3$個ずつ入っている袋から同時に$3$個の球を取りだすとき，赤球$2$個，白球$1$個である確率は$\displaystyle \frac{[][]}{20}$である．
(3)$2$つのベクトルを$\overrightarrow{a}=(\sqrt{3},\ 7)$，$\overrightarrow{b}=(-\sqrt{3},\ 1)$とし，$t$は実数とする．$\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$の大きさは$t=-[][]$のとき最小となり，最小値は$[][] \sqrt{3}$である．
(4)$n$を自然数とする．初項が$-2$，公差が$\displaystyle \frac{1}{12}$の等差数列の初項から第$n$項までの和を$S_n$とおくとき，$S_{24}=-[][]$である．
国立 東北大学 2011年 第3問先生と3人の生徒A，B，Cがおり，玉の入った箱がある．箱の中には最初，赤玉3個，白玉7個，全部で10個の玉が入っている．先生がサイコロをふって，1の目が出たらAが，2または3の目が出たらBが，その他の目が出たらCが箱の中から1つだけ玉を取り出す操作を行う．取り出した玉は箱の中に戻さず，取り出した生徒のものとする．この操作を2回続けて行うものとして以下の問いに答えよ．\\
\quad ただし，サイコロの1から6の目の出る確率は等しいものとし，また，箱の中のそれぞれの玉の取り出される確率は等しいものとする．
(1)Aが2個の赤玉を手に入れる確率を求めよ．
(2)Bが少なくとも1個の赤玉を手に入れる確率を求めよ．
\quad ただし，サイコロの1から6の目の出る確率は等しいものとし，また，箱の中のそれぞれの玉の取り出される確率は等しいものとする．
(1)Aが2個の赤玉を手に入れる確率を求めよ．
(2)Bが少なくとも1個の赤玉を手に入れる確率を求めよ．