$\displaystyle a=\frac{\sqrt{3}}{6},\ b=\tan \frac{\pi}{12}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$x$を実数（ただし$\displaystyle 0 \leqq x<\frac{\pi}{4}$）とするとき，$\tan 2x$を$\tan x$の式で表せ．
(2)$a$と$b$の大小を，理由をつけて答えよ．

$3$個のさいころを同時に投げる試行において，出る目の和を$S$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．答えのみではなく，理由も述べなさい．

(1)$S=7$となる確率を求めなさい．
(2)$S \geqq 7$となる確率を求めなさい．
(3)$S \leqq 5$または$S \geqq 16$なら$3000$円，$6 \leqq S \leqq 15$なら$300$円の賞金が得られるものとする．このとき，得られる賞金額の期待値を求めなさい．

実数$a,\ b,\ c,\ d$に対し$x$の3次の整式$P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$を考える．ただし，$ad \neq 0$とする．方程式$P(x) = 0$の3つの解を$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とすると$P(x) =a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$であることが知られている．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)積$\alpha \beta \gamma$，和$\alpha+ \beta + \gamma$，$\displaystyle \frac{1}{\alpha}+ \frac{1}{\beta}+ \frac{1}{\gamma}$を，それぞれ$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表しなさい．
(2)もし$\alpha$が実数でないならば，方程式$P(x) = 0$は$\alpha$の共役な複素数$\overline{\alpha}$を解に持つことを証明しなさい．
(3)解$\alpha,\ \beta,\ \gamma$のうち実数となるものの個数は$0,\ 1,\ 2,\ 3$のどれか，考えられる可能性をすべて，理由も述べて答えなさい．
(4)もし$ad > 0$ならば，解$\alpha,\ \beta,\ \gamma$のうち正の実数となるものの個数は$0,\ 1,\ 2,\ 3$のどれか．考えられる可能性をすべて，理由も述べて答えなさい．

行列$A = \left(
\begin{array}{cc}
4 & 1 \\
-1 & 2
\end{array}
\right)$に対して，以下の問いに答えなさい．

(1)行列$P = \left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
-1 & 1
\end{array}
\right)$に対して，$P^{-1}AP$を求めなさい．
(2)$a$を実数とし，$T = \left(
\begin{array}{cc}
a & 1 \\
0 & a
\end{array}
\right)$としたとき，任意の自然数$n$に対して，行列$T^n$を求め，その理由も述べなさい．
(3)任意の自然数$n$に対して，行列$A^n$を求めなさい．