$p$を定数とする．初項$a_1=1$の数列$\{a_n\} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を次のように定める．
\[ a_{n+1}-\frac{a_n}{2} \text{は整数，かつ} -\frac{1}{2}<a_{n+1}-p \leqq \frac{1}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]

(1)$p=0$のとき，数列$\{a_n\}$の極限$\lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
(2)$p=1$のとき，$b_n=a_{2n} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定まる数列$\{b_n\}$の極限$\lim_{n \to \infty}b_n$を求めよ．
(3)$p=1$のとき，数列$\{a_n\}$は収束するかどうか，理由を付けて答えよ．

赤色，青色，黄色の箱を各一箱，赤色，青色，黄色の球を各一個用意して，各球を球と同じ色の箱に入れる．この状態からはじめて，次の操作を$n$回（$n \geqq 1$）行う． \\
（操作） \ 三つの箱から二つの箱を任意に選び，その二つの箱の中の球を交換する．

(1)赤球の球が赤色の箱に入っている確率を求めよ．
(2)箱とその中の球の色が一致している箱の個数の期待値を求めよ．
(3)赤色の球が赤色の箱に入っている事象と，青色の球が青色の箱に入っている事象は，互いに独立かどうか，理由を付けて答えよ．

実数$x,\ y$が連立不等式
\[ \left\{
\begin{array}{ll}
10^{10}<2^x3^y<10^{11} & \cdots\cdots (\mathrm{A}) \\
10^9<3^x2^y<10^{10} & \cdots\cdots (\mathrm{B})
\end{array}
\right. \]
を満たすとき，次の問いに答えよ．

(1)連立不等式$(\mathrm{A})$，$(\mathrm{B})$が表す$xy$平面上の領域は，どのような図形であるか答えよ．また，その理由を述べよ．
(2)連立不等式$(\mathrm{A})$，$(\mathrm{B})$を満たす実数$x,\ y$において，$x+y$がとりうる値の範囲，および$y-x$がとりうる値の範囲をそれぞれ求めよ．
(3)連立不等式$(\mathrm{A})$，$(\mathrm{B})$を満たす整数$x,\ y$を考える．このとき，$y-x$が最大となる整数$x,\ y$を求めよ．ただし，$\log_{10}2=0.3010,\ \log_{10}3=0.4771$として計算してよい．

各辺の長さが0でない三角形ABCに対し，
\[ P(A) = \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}, \quad P(B) = \overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BA}}, \quad P(C) = \overrightarrow{\mathrm{CA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}} \]
とおく．このとき以下の問いに，それぞれ理由をつけて答えなさい．

(1)$P(B) = P(C)$をみたすとき，この三角形はどのような三角形か．
(2)$P(A)P(B) = P(C)P(A)$をみたすとき，この三角形はどのような三角形か．

四角形ABCDに対して次の各問に答えよ．

(1)点Pを$\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BP}}+\overrightarrow{\mathrm{CP}}+\overrightarrow{\mathrm{DP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$となる点とする．$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}$を用いて表せ．
(2)線分ACと線分BDが交わり，その交点が(1)の点Pと一致するとき，四角形ABCDの形状を理由をつけて述べよ．

次の条件を満たす三角形$\mathrm{ABC}$はどのような三角形か．(1)，(2)，(3)それぞれの場合について，理由をつけて答えよ．ただし，三角形$\mathrm{ABC}$において，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に向い合う辺$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$の長さをそれぞれ$a,\ b,\ c$で表す．また，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさをそれぞれ$A,\ B,\ C$で表す．

(1)$\displaystyle \frac{b}{\sin A}=\frac{a}{\sin B}$
(2)$\displaystyle \frac{a}{\cos A}=\frac{b}{\cos B}$
(3)$\displaystyle \frac{b}{\cos A}=\frac{a}{\cos B}$

$2$つの放物線
\[ \begin{array}{l}
C_1:y=ax^2-2bx+c \\
C_2:y=(a+1)x^2-2(b+3)x+c+5
\end{array} \]
がある．そのうち，一方のグラフは下の図の点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通り，他方は点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$を通る．次の問に答えよ．
（図は省略）

(1)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る放物線は$C_1$，$C_2$のうちどちらか．理由をつけて答えよ．
(2)点$\mathrm{Q}$および$\mathrm{R}$の$x$座標を求めよ．
(3)$\mathrm{PO}=\mathrm{OQ}$，$\mathrm{QR}=\mathrm{RS}$であるとき，$C_1$，$C_2$の方程式を求めよ．

平面上に一辺の長さが1の正五角形があり，その頂点を順にA，B，C，D，Eとする．次の問いに答えよ．

(1)辺BCと線分ADは平行であることを示せ．
(2)線分ACと線分BDの交点をFとする．四角形AFDEはどのような形であるか，その名称と理由を答えよ．
(3)線分AFと線分CFの長さの比を求めよ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．

平面上に一辺の長さが1の正五角形があり，その頂点を順にA，B，C，D，Eとする．次の問いに答えよ．

(1)辺BCと線分ADは平行であることを示せ．
(2)線分ACと線分BDの交点をFとする．四角形AFDEはどのような形であるか，その名称と理由を答えよ．
(3)線分AFと線分CFの長さの比を求めよ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．

平面上に一辺の長さが1の正五角形があり，その頂点を順にA，B，C，D，Eとする．次の問いに答えよ．

(1)辺BCと線分ADは平行であることを示せ．
(2)線分ACと線分BDの交点をFとする．四角形AFDEはどのような形であるか，その名称と理由を答えよ．
(3)線分AFと線分CFの長さの比を求めよ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{b}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$で表せ．