「理由」について
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国立 三重大学 2016年 第4問$\log x$は$x$の自然対数とする．
(1)$2$と$\log 4$の大小関係を，理由をつけて述べよ．必要ならば$e=2.718 \cdots$を用いてよい．さらに$x>0$のとき$\sqrt{x}>\log x$を示せ．
(2)$x>1$のとき，$\displaystyle y=\frac{x}{\log x}$の増減，極値およびグラフの凹凸を調べ，このグラフの概形をかけ．
(3)$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{\log x}} (e \leqq x \leqq e^2)$と$\displaystyle y=\frac{1}{\log x} (e \leqq x \leqq e^2)$，および$x=e^2$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
(1)$2$と$\log 4$の大小関係を，理由をつけて述べよ．必要ならば$e=2.718 \cdots$を用いてよい．さらに$x>0$のとき$\sqrt{x}>\log x$を示せ．
(2)$x>1$のとき，$\displaystyle y=\frac{x}{\log x}$の増減，極値およびグラフの凹凸を調べ，このグラフの概形をかけ．
(3)$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{\log x}} (e \leqq x \leqq e^2)$と$\displaystyle y=\frac{1}{\log x} (e \leqq x \leqq e^2)$，および$x=e^2$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2016年 第1問$n$を自然数，$0<a<b$とする．$n+2$個の正の実数
\[ a,\ c_1,\ c_2,\ \cdots,\ c_n,\ b \]
がこの順に等差数列であり，$n+2$個の正の実数
\[ a,\ e_1,\ e_2,\ \cdots,\ e_n,\ b \]
がこの順に等比数列であるとする．
(1)$c_1c_n$と$e_1e_n$のどちらが大きいか理由とともに答えよ．
(2)$c_1+c_n$と$e_1+e_n$のどちらが大きいか理由とともに答えよ．
(3)$i=1,\ \cdots,\ n$について，$c_i$と$e_i$のどちらが大きいか理由とともに答えよ．
\[ a,\ c_1,\ c_2,\ \cdots,\ c_n,\ b \]
がこの順に等差数列であり，$n+2$個の正の実数
\[ a,\ e_1,\ e_2,\ \cdots,\ e_n,\ b \]
がこの順に等比数列であるとする．
(1)$c_1c_n$と$e_1e_n$のどちらが大きいか理由とともに答えよ．
(2)$c_1+c_n$と$e_1+e_n$のどちらが大きいか理由とともに答えよ．
(3)$i=1,\ \cdots,\ n$について，$c_i$と$e_i$のどちらが大きいか理由とともに答えよ．
国立 お茶の水女子大学 2016年 第1問$n$を自然数，$0<a<b$とする．$n+2$個の正の実数
\[ a,\ c_1,\ c_2,\ \cdots,\ c_n,\ b \]
がこの順に等差数列であり，$n+2$個の正の実数
\[ a,\ e_1,\ e_2,\ \cdots,\ e_n,\ b \]
がこの順に等比数列であるとする．
(1)$c_1c_n$と$e_1e_n$のどちらが大きいか理由とともに答えよ．
(2)$c_1+c_n$と$e_1+e_n$のどちらが大きいか理由とともに答えよ．
(3)$i=1,\ \cdots,\ n$について，$c_i$と$e_i$のどちらが大きいか理由とともに答えよ．
\[ a,\ c_1,\ c_2,\ \cdots,\ c_n,\ b \]
がこの順に等差数列であり，$n+2$個の正の実数
\[ a,\ e_1,\ e_2,\ \cdots,\ e_n,\ b \]
がこの順に等比数列であるとする．
(1)$c_1c_n$と$e_1e_n$のどちらが大きいか理由とともに答えよ．
(2)$c_1+c_n$と$e_1+e_n$のどちらが大きいか理由とともに答えよ．
(3)$i=1,\ \cdots,\ n$について，$c_i$と$e_i$のどちらが大きいか理由とともに答えよ．
国立 お茶の水女子大学 2016年 第1問$n$を自然数，$0<a<b$とする．$n+2$個の正の実数
\[ a,\ c_1,\ c_2,\ \cdots,\ c_n,\ b \]
がこの順に等差数列であり，$n+2$個の正の実数
\[ a,\ e_1,\ e_2,\ \cdots,\ e_n,\ b \]
がこの順に等比数列であるとする．
(1)$c_1c_n$と$e_1e_n$のどちらが大きいか理由とともに答えよ．
(2)$c_1+c_n$と$e_1+e_n$のどちらが大きいか理由とともに答えよ．
(3)$i=1,\ \cdots,\ n$について，$c_i$と$e_i$のどちらが大きいか理由とともに答えよ．
\[ a,\ c_1,\ c_2,\ \cdots,\ c_n,\ b \]
がこの順に等差数列であり，$n+2$個の正の実数
\[ a,\ e_1,\ e_2,\ \cdots,\ e_n,\ b \]
がこの順に等比数列であるとする．
(1)$c_1c_n$と$e_1e_n$のどちらが大きいか理由とともに答えよ．
(2)$c_1+c_n$と$e_1+e_n$のどちらが大きいか理由とともに答えよ．
(3)$i=1,\ \cdots,\ n$について，$c_i$と$e_i$のどちらが大きいか理由とともに答えよ．
私立 北星学園大学 2016年 第1問次の条件を満たす正の整数の組$(x,\ y)$を考える．
$(ⅰ)$ $2x^2+2xy+2y^2=2016$
$(ⅱ)$ $x$は$2$の倍数，$y$は$3$の倍数である．
以下の問いに答えよ．
(1)$2016$を素因数分解せよ．
(2)正の整数$n$について，$n^2$が$3$で割り切れれば，$n$も$3$で割り切れる．理由を述べよ．
(3)条件$(ⅰ)$と$(ⅱ)$を満たす$x,\ y$はともに$6$の倍数である．理由を述べよ．
(4)条件$(ⅰ)$と$(ⅱ)$を満たす$(x,\ y)$をすべて求めよ．
$(ⅰ)$ $2x^2+2xy+2y^2=2016$
$(ⅱ)$ $x$は$2$の倍数，$y$は$3$の倍数である．
以下の問いに答えよ．
(1)$2016$を素因数分解せよ．
(2)正の整数$n$について，$n^2$が$3$で割り切れれば，$n$も$3$で割り切れる．理由を述べよ．
(3)条件$(ⅰ)$と$(ⅱ)$を満たす$x,\ y$はともに$6$の倍数である．理由を述べよ．
(4)条件$(ⅰ)$と$(ⅱ)$を満たす$(x,\ y)$をすべて求めよ．
国立 山口大学 2015年 第4問次の問いに答えなさい．
(1)$a,\ b,\ c$を整数とする．$a+b+c$が偶数ならば$a,\ b,\ c$の少なくとも$1$つは偶数であることを示しなさい．
(2)整数$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots,\ a_{27}$を適当に並べ替えたものを$b_1,\ b_2,\ b_3,\ \cdots,\ b_{27}$とする．
(i) 積$(a_1+b_1) \cdot (a_2+b_2) \cdot (a_3+b_3) \cdot \cdots \cdot (a_{27}+b_{27})$は偶数であることを示しなさい．
(ii) $\displaystyle \sum_{k=1}^{27} a_k=S$とする．整数$p,\ q$が$p+q+1=S$を満たすとき，積
\[ (pa_1+qb_1) \cdot (pa_2+qb_2) \cdot (pa_3+qb_3) \cdot \cdots \cdot (pa_{27}+qb_{27}) \]
は偶数であるか奇数であるかを理由を付けて答えなさい．
(1)$a,\ b,\ c$を整数とする．$a+b+c$が偶数ならば$a,\ b,\ c$の少なくとも$1$つは偶数であることを示しなさい．
(2)整数$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots,\ a_{27}$を適当に並べ替えたものを$b_1,\ b_2,\ b_3,\ \cdots,\ b_{27}$とする．
(i) 積$(a_1+b_1) \cdot (a_2+b_2) \cdot (a_3+b_3) \cdot \cdots \cdot (a_{27}+b_{27})$は偶数であることを示しなさい．
(ii) $\displaystyle \sum_{k=1}^{27} a_k=S$とする．整数$p,\ q$が$p+q+1=S$を満たすとき，積
\[ (pa_1+qb_1) \cdot (pa_2+qb_2) \cdot (pa_3+qb_3) \cdot \cdots \cdot (pa_{27}+qb_{27}) \]
は偶数であるか奇数であるかを理由を付けて答えなさい．
私立 慶應義塾大学 2015年 第3問$\mathrm{M}$社はブドウを栽培し，それを原料にしたワインを醸造して世界中に販売している，としよう．一般には，企業の業績には，社内のさまざまな活動だけでなく，社外の要因も大きくかかわっている．しかしながら，ここでは，問題が複雑にならないように，一部の活動に限定して，$\mathrm{M}$社の醸造計画を考えてみよう．
栽培および醸造において，量と質には，醸造量が増えれば増えるほどワインの品質が低下する，という関係があると仮定する．この関係は，
\[ q=a-bx \]
という単純な式で表されるとする．ここで，$x$はワインの醸造量（リットル），$q$はワインの品質の高さを表す$\mathrm{M}$社が独自に定めた指標とし，$a$と$b$は正の実数とする．また，変数$x$のとり得る値の範囲は，$x$と$q$がともに正の値となる範囲とする．
醸造されるワインはすべて同一の品質で，同一の価格で販売されるものとし，その価格を$p$（円／リットル）で表す．市場において，品質の高いワインは希少性が増すため，その価格は非常に高いものになる．この関係は，
\[ p=cq^2 \]
で表されると仮定する．ただし，$c$は正の実数とする．また，醸造されたワインは，上記で定まる価格で，すべて残らずに販売されてしまうものとする．
$\mathrm{M}$社は，以上の諸条件を前提にして，その年の栽培および醸造を行う．すなわち，醸造量を$x$と決め，それに応じて適切な栽培および醸造を行うことにより，品質の指標が$q$となるワインを作り，その全量（すなわち$x$）を品質の指標$q$に応じた価格$p$で販売し，売上高$y=px$（円）を得る．
(1)売上高は，
\[ x=\frac{[$69$]}{[$70$]} \cdot \frac{a}{b} \ \text{（リットル）} \]
のとき，最大値
\[ \frac{[$71$]}{[$72$][$73$]} \cdot \frac{ca \!\!\! \raisebox{3mm}[5mm][1mm]{\mkakko{$74$}}}{b} \ \text{（円）} \]
をとる．
(2)次に，ワインを醸造するに際し，技術上の制約や販売上の都合などの理由で，醸造量の下限が設けられているとしよう．この下限を正の実数$m$（リットル）で表す．$x$の取り得る値の範囲には，$x$が$m$以上という条件が追加されることになる．このときの売上高の最大値を$\overline{y}$で表し，それを与える醸造量を$\overline{x}$で表す．$\overline{x}$は$m$の関数であるので，これを$\overline{x}=f(m)$で表す．関数$f(m)$の定義域を$\displaystyle 0<m<\frac{a}{b}$として，この関数のグラフを描きなさい．
同様に，$\overline{y}$も$m$の関数であるので，これを$\overline{y}=g(m)$で表す．関数$g(m)$の定義域を$\displaystyle 0<m<\frac{a}{b}$として，この関数のグラフを描きなさい．
栽培および醸造において，量と質には，醸造量が増えれば増えるほどワインの品質が低下する，という関係があると仮定する．この関係は，
\[ q=a-bx \]
という単純な式で表されるとする．ここで，$x$はワインの醸造量（リットル），$q$はワインの品質の高さを表す$\mathrm{M}$社が独自に定めた指標とし，$a$と$b$は正の実数とする．また，変数$x$のとり得る値の範囲は，$x$と$q$がともに正の値となる範囲とする．
醸造されるワインはすべて同一の品質で，同一の価格で販売されるものとし，その価格を$p$（円／リットル）で表す．市場において，品質の高いワインは希少性が増すため，その価格は非常に高いものになる．この関係は，
\[ p=cq^2 \]
で表されると仮定する．ただし，$c$は正の実数とする．また，醸造されたワインは，上記で定まる価格で，すべて残らずに販売されてしまうものとする．
$\mathrm{M}$社は，以上の諸条件を前提にして，その年の栽培および醸造を行う．すなわち，醸造量を$x$と決め，それに応じて適切な栽培および醸造を行うことにより，品質の指標が$q$となるワインを作り，その全量（すなわち$x$）を品質の指標$q$に応じた価格$p$で販売し，売上高$y=px$（円）を得る．
(1)売上高は，
\[ x=\frac{[$69$]}{[$70$]} \cdot \frac{a}{b} \ \text{（リットル）} \]
のとき，最大値
\[ \frac{[$71$]}{[$72$][$73$]} \cdot \frac{ca \!\!\! \raisebox{3mm}[5mm][1mm]{\mkakko{$74$}}}{b} \ \text{（円）} \]
をとる．
(2)次に，ワインを醸造するに際し，技術上の制約や販売上の都合などの理由で，醸造量の下限が設けられているとしよう．この下限を正の実数$m$（リットル）で表す．$x$の取り得る値の範囲には，$x$が$m$以上という条件が追加されることになる．このときの売上高の最大値を$\overline{y}$で表し，それを与える醸造量を$\overline{x}$で表す．$\overline{x}$は$m$の関数であるので，これを$\overline{x}=f(m)$で表す．関数$f(m)$の定義域を$\displaystyle 0<m<\frac{a}{b}$として，この関数のグラフを描きなさい．
同様に，$\overline{y}$も$m$の関数であるので，これを$\overline{y}=g(m)$で表す．関数$g(m)$の定義域を$\displaystyle 0<m<\frac{a}{b}$として，この関数のグラフを描きなさい．
国立 高知大学 2014年 第3問関数$f(x)$を
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
\displaystyle\frac{1}{2}(x+1)x & (-1 \leqq x \leqq 0 \text{のとき}) \\
-\displaystyle\frac{1}{2}x(x-1) & (0<x \leqq 1 \text{のとき}) \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$は$x=0$で微分可能であることを示せ．
(2)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．
(3)$y=f^\prime(x)$のグラフを$-1<x<1$の範囲でかき，$f^\prime(x)$が$x=0$で微分可能かどうかを理由をつけて述べよ．
(4)$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた部分を，$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
\displaystyle\frac{1}{2}(x+1)x & (-1 \leqq x \leqq 0 \text{のとき}) \\
-\displaystyle\frac{1}{2}x(x-1) & (0<x \leqq 1 \text{のとき}) \phantom{\frac{[ ]}{2}}
\end{array} \right. \]
とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)$f(x)$は$x=0$で微分可能であることを示せ．
(2)関数$y=f(x)$のグラフをかけ．
(3)$y=f^\prime(x)$のグラフを$-1<x<1$の範囲でかき，$f^\prime(x)$が$x=0$で微分可能かどうかを理由をつけて述べよ．
(4)$y=f(x)$のグラフと$x$軸で囲まれた部分を，$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．
私立 慶應義塾大学 2014年 第5問次の設問に答えなさい．
(1)有理数の定義を書きなさい．
(2)次のそれぞれの命題の真偽を記入し，真の場合はそれを証明し，偽の場合はその理由を述べなさい．
(i) $\sqrt{5}$は無理数である．
(ii) $r,\ s$がともに有理数ならば，積$rs$は有理数である．
(iii) $\alpha$が無理数で，$r$が$0$でない有理数ならば，積$\alpha r$は無理数である．
\mon[$\tokeishi$] $\alpha,\ \beta$がともに無理数ならば，積$\alpha \beta$は無理数である．
(1)有理数の定義を書きなさい．
(2)次のそれぞれの命題の真偽を記入し，真の場合はそれを証明し，偽の場合はその理由を述べなさい．
(i) $\sqrt{5}$は無理数である．
(ii) $r,\ s$がともに有理数ならば，積$rs$は有理数である．
(iii) $\alpha$が無理数で，$r$が$0$でない有理数ならば，積$\alpha r$は無理数である．
\mon[$\tokeishi$] $\alpha,\ \beta$がともに無理数ならば，積$\alpha \beta$は無理数である．
公立 大阪府立大学 2014年 第4問以下の問いに答えよ．
(1)関数$f(x)=|x|$が$x=0$において微分可能でないことを微分の定義に基づいて示せ．
(2)$y=x |x|$のグラフの概形を描け．
(3)$m$は自然数とする．関数$g(x)=x^m |x|$が$x=0$において微分可能であるか微分可能でないかを理由をつけて答えよ．
(1)関数$f(x)=|x|$が$x=0$において微分可能でないことを微分の定義に基づいて示せ．
(2)$y=x |x|$のグラフの概形を描け．
(3)$m$は自然数とする．関数$g(x)=x^m |x|$が$x=0$において微分可能であるか微分可能でないかを理由をつけて答えよ．