「球面」について
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国立 北海道大学 2016年 第5問空間の$2$点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 2)$，$\mathrm{B}(0,\ 1,\ 3)$を通る直線を$\ell$とし，$2$点$\mathrm{C}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{D}(1,\ 0,\ 1)$を通る直線を$m$とする．$a$を定数として，$\ell$上にも$m$上にもない点$\mathrm{P}(s,\ t,\ a)$を考える．
(1)$\mathrm{P}$から$\ell$に下ろした垂線と$\ell$の交点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{P}$から$m$に下ろした垂線と$m$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の座標をそれぞれ$s,\ t,\ a$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{P}$を中心とし，$\ell$と$m$がともに接するような球面が存在するための条件を$s,\ t,\ a$の関係式で表せ．
(3)$s,\ t$と定数$a$が$(2)$の条件をみたすとき，平面上の点$(s,\ t)$の軌跡が放物線であることを示し，その焦点と準線を$a$を用いて表せ．
(1)$\mathrm{P}$から$\ell$に下ろした垂線と$\ell$の交点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{P}$から$m$に下ろした垂線と$m$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の座標をそれぞれ$s,\ t,\ a$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{P}$を中心とし，$\ell$と$m$がともに接するような球面が存在するための条件を$s,\ t,\ a$の関係式で表せ．
(3)$s,\ t$と定数$a$が$(2)$の条件をみたすとき，平面上の点$(s,\ t)$の軌跡が放物線であることを示し，その焦点と準線を$a$を用いて表せ．
国立 岡山大学 2016年 第2問座標空間内に，原点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$を中心とする半径$1$の球面$S$と$2$点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{B}(0,\ 0,\ -1)$がある．$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{P}(s,\ t,\ 0)$に対し，直線$\mathrm{AP}$と球面$S$の交点で$\mathrm{A}$と異なる点を$\mathrm{Q}$とする．さらに直線$\mathrm{BQ}$と$xy$平面の交点を$\mathrm{R}(u,\ v,\ 0)$とする．このとき以下の問いに答えよ．
(1)ふたつの線分$\mathrm{OP}$と$\mathrm{OR}$の長さの積を求めよ．
(2)$s,\ t$をそれぞれ$u,\ v$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$が$xy$平面内の直線$ax+by=1 (a^2+b^2 \neq 0)$上を動くとき，対応する点$\mathrm{R}$は$xy$平面内の同一円周上にあることを証明せよ．
(1)ふたつの線分$\mathrm{OP}$と$\mathrm{OR}$の長さの積を求めよ．
(2)$s,\ t$をそれぞれ$u,\ v$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$が$xy$平面内の直線$ax+by=1 (a^2+b^2 \neq 0)$上を動くとき，対応する点$\mathrm{R}$は$xy$平面内の同一円周上にあることを証明せよ．
国立 岡山大学 2016年 第4問座標空間内に，原点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$を中心とする半径$1$の球面$S$と$2$点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{B}(0,\ 0,\ -1)$がある．$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{P}(s,\ t,\ 0)$に対し，直線$\mathrm{AP}$と球面$S$の交点で$\mathrm{A}$と異なる点を$\mathrm{Q}$とする．さらに直線$\mathrm{BQ}$と$xy$平面の交点を$\mathrm{R}(u,\ v,\ 0)$とする．このとき以下の問いに答えよ．
(1)ふたつの線分$\mathrm{OP}$と$\mathrm{OR}$の長さの積を求めよ．
(2)$s$を$u,\ v$を用いて表せ．
(3)$\ell$は$xy$平面内の直線で，原点$\mathrm{O}$を通らないものとする．直線$\ell$上を点$\mathrm{P}$が動くとき，対応する点$\mathrm{R}$は$xy$平面内の同一円周上にあることを証明せよ．
(1)ふたつの線分$\mathrm{OP}$と$\mathrm{OR}$の長さの積を求めよ．
(2)$s$を$u,\ v$を用いて表せ．
(3)$\ell$は$xy$平面内の直線で，原点$\mathrm{O}$を通らないものとする．直線$\ell$上を点$\mathrm{P}$が動くとき，対応する点$\mathrm{R}$は$xy$平面内の同一円周上にあることを証明せよ．
国立 筑波大学 2016年 第3問四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．このとき等式
\[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}=1 \]
が成り立つとする．$t$は実数の定数で，$0<t<1$を満たすとする．線分$\mathrm{OA}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{BC}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．また，線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{M}$とする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$と$t$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{OM}$と線分$\mathrm{BM}$の長さが等しいとき，線分$\mathrm{OB}$の長さを求めよ．
(3)$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が点$\mathrm{M}$を中心とする同一球面上にあるとする．このとき，$\triangle \mathrm{OAB}$と$\triangle \mathrm{OCB}$は合同であることを示せ．
\[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}=1 \]
が成り立つとする．$t$は実数の定数で，$0<t<1$を満たすとする．線分$\mathrm{OA}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{P}$とし，線分$\mathrm{BC}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．また，線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{M}$とする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$と$t$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{OM}$と線分$\mathrm{BM}$の長さが等しいとき，線分$\mathrm{OB}$の長さを求めよ．
(3)$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が点$\mathrm{M}$を中心とする同一球面上にあるとする．このとき，$\triangle \mathrm{OAB}$と$\triangle \mathrm{OCB}$は合同であることを示せ．
国立 東京学芸大学 2016年 第2問空間において，同一平面上にない$4$点を$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とする．線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$を$2$辺とする平行四辺形を$\mathrm{OADB}$，線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OC}$を$2$辺とする平行四辺形を$\mathrm{OAEC}$，線分$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$を$2$辺とする平行四辺形を$\mathrm{OBFC}$とする．下の問いに答えよ．
(1)$\triangle \mathrm{ODE}$を含む平面と直線$\mathrm{AF}$の交点を$\mathrm{G}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=1$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=x$とする．点$\mathrm{O}$を中心とし，点$\mathrm{G}$を含む球面と$\triangle \mathrm{ABE}$を含む平面の交わりで得られる円の半径の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
(1)$\triangle \mathrm{ODE}$を含む平面と直線$\mathrm{AF}$の交点を$\mathrm{G}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=1$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=x$とする．点$\mathrm{O}$を中心とし，点$\mathrm{G}$を含む球面と$\triangle \mathrm{ABE}$を含む平面の交わりで得られる円の半径の最小値とそのときの$x$の値を求めよ．
国立 電気通信大学 2016年 第3問座標空間に$3$点$\mathrm{A}(-1,\ -1,\ 2)$，$\mathrm{B}(1,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{C}(1,\ -1,\ -2)$をとる．線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，原点$\mathrm{O}$を中心として$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る球面を$S$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$，$\overrightarrow{\mathrm{CM}}$をそれぞれ成分で表せ．
(2)$\angle \mathrm{AMC}$の大きさ$\theta$を$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(4)原点$\mathrm{O}$から三角形$\mathrm{ABC}$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．線分$\mathrm{OH}$の長さを求めよ．
(5)点$\mathrm{P}$が球面$S$上を動くとき，四面体$\mathrm{ABCP}$の体積の最大値を求めよ．
(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OM}}$，$\overrightarrow{\mathrm{CM}}$をそれぞれ成分で表せ．
(2)$\angle \mathrm{AMC}$の大きさ$\theta$を$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で求めよ．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(4)原点$\mathrm{O}$から三角形$\mathrm{ABC}$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．線分$\mathrm{OH}$の長さを求めよ．
(5)点$\mathrm{P}$が球面$S$上を動くとき，四面体$\mathrm{ABCP}$の体積の最大値を求めよ．
私立 南山大学 2016年 第3問$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$4$点$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 4)$，$\mathrm{B}(0,\ 4,\ 0)$，$\mathrm{C}(3,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{D}(-1,\ 0,\ 1)$がある．
(1)$\angle \mathrm{BCD}$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{BCD}$の面積$S$を求めよ．
(3)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$を通る球面の半径と中心の座標を求めよ．
(1)$\angle \mathrm{BCD}$を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{BCD}$の面積$S$を求めよ．
(3)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$を通る球面の半径と中心の座標を求めよ．
私立 東邦大学 2016年 第2問空間において，方程式$x^2+y^2+z^2-2x-8y-4z-28=0$で表される曲面を$C$とする．このとき，$C$は中心$([ウ],\ [エ],\ [オ])$，半径$[カ]$の球面である．また，$C$上の点$(-5,\ 6,\ 5)$で接する平面と$z$軸との交点の座標は$(0,\ 0,\ [キク])$である．
私立 慶應義塾大学 2016年 第3問球面$S:x^2-8x+y^2-4y+z^2+6z+20=0$は点$\mathrm{A}([$24$],\ [$25$],\ [$26$])$で$xy$平面と接し，球面$S$と$zx$平面との交わりは中心$\mathrm{B}([$27$],\ [$28$],\ [$29$][$30$])$，半径$\sqrt{[$31$]}$の円である．
球面$S$の中心を$\mathrm{C}$，線分$\mathrm{AB}$を$\sqrt{3}:2$に外分する点を$\mathrm{P}$とすると，$\mathrm{P}$の座標は
\[ \left( [$32$],\ [$33$]+[$34$] \sqrt{[$35$]},\ [$36$]+[$37$] \sqrt{[$38$]} \right) \]
であり，$\displaystyle \angle \mathrm{ACP}=\frac{[$39$]}{[$40$]} \pi$（ただし$0 \leqq \angle \mathrm{ACP} \leqq \pi$）である．また，三角形$\mathrm{BPC}$の辺および内部が球面$S$と交わってできる図形は，長さ$\displaystyle \frac{[$41$]}{[$42$]} \pi$の円弧である．
球面$S$の中心を$\mathrm{C}$，線分$\mathrm{AB}$を$\sqrt{3}:2$に外分する点を$\mathrm{P}$とすると，$\mathrm{P}$の座標は
\[ \left( [$32$],\ [$33$]+[$34$] \sqrt{[$35$]},\ [$36$]+[$37$] \sqrt{[$38$]} \right) \]
であり，$\displaystyle \angle \mathrm{ACP}=\frac{[$39$]}{[$40$]} \pi$（ただし$0 \leqq \angle \mathrm{ACP} \leqq \pi$）である．また，三角形$\mathrm{BPC}$の辺および内部が球面$S$と交わってできる図形は，長さ$\displaystyle \frac{[$41$]}{[$42$]} \pi$の円弧である．
私立 早稲田大学 2016年 第2問座標空間において，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}(0,\ 0,\ 2)$を直径の両端とする球面を$\mathrm{S}$とする．また$xy$平面上に放物線$\mathrm{C}:y=x^2-2$を描き，$\mathrm{C}$上に点$\mathrm{R}$をとる．線分$\mathrm{PR}$と球面$\mathrm{S}$の交点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{Q}$から$xy$平面に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．このとき，以下の問に答えよ．
(1)原点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{R}$までの距離を$r$とするとき，線分$\mathrm{QR}$の長さを$r$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{QH}$の長さを$h$，点$\mathrm{R}$の座標を$(x,\ y,\ 0)$とするとき，$h \geqq 1$である場合に$x$がとる値の範囲を求めよ．
(3)点$\mathrm{R}$が放物線$\mathrm{C}$上のすべての点を動くとき，$h$を最小にする$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
（図は省略）
(1)原点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{R}$までの距離を$r$とするとき，線分$\mathrm{QR}$の長さを$r$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{QH}$の長さを$h$，点$\mathrm{R}$の座標を$(x,\ y,\ 0)$とするとき，$h \geqq 1$である場合に$x$がとる値の範囲を求めよ．
(3)点$\mathrm{R}$が放物線$\mathrm{C}$上のすべての点を動くとき，$h$を最小にする$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
（図は省略）