最初に袋の中に，赤球と白球が$3$個ずつ，合計$6$個入っている．この状態から次の$①$～$③$の一連の操作を行う．

\mon[$①$] 袋の中から無作為に$3$個の球を取り出す．
\mon[$②$] $①$で取り出した球は袋に戻さず，取り出した赤球の数だけ白球を袋に補充し，取り出した白球の数だけ赤球を袋に補充する．
\mon[$③$] $①,\ ②$の操作をもう一度繰り返す．

ただし，補充する赤球と白球は十分にあるものとする．$①$～$③$の操作の後に，袋の中にある赤球の個数を$a$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)$a=3$となる確率を求めよ．
(2)$a$の期待値を求めよ．

文字$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，数字$1,\ 2,\ 3$と書かれたカードをそれぞれ$1$枚ずつ，合計$6$枚を箱に入れる．箱から無作為にカードを$2$枚引いて，図のような列$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$行$1,\ 2,\ 3$とする$3 \times 3$のマス目に以下のルールに従って，石を置くか取り除く試行を行う．
（図は省略）
\begin{itemize}
引いた$2$枚のカードが文字同士，数字同士の組み合わせである場合何もしない．
引いた$2$枚のカードが文字と数字の組み合わせだった場合，もし，その文字と数字に対応するマス目に石が置かれていない場合，石を置く．もしそのマス目に石が置かれている場合，石を取り除く．
カードは試行ごとに箱に戻すとする．
\end{itemize}
例えば，下図の状態のあとカードを引いて，カードが$\mathrm{B}$，$1$の組み合わせの場合，$\mathrm{B}$列$1$行のマス目に石を置く．カードの組み合わせが$\mathrm{A}$，$2$の場合は，$\mathrm{A}$列$2$行のマス目には石が置かれているのでそれを取り除く．
（図は省略）

ただし，第$1$回目の試行を開始する前には，マス目には石は置かれていない．次の問いに答えよ．

(1)第$1$回目の試行のあと，石がマス目に置かれている確率を求めよ．
(2)第$2$回目の試行のあと，石がマス目に置かれている確率を求めよ．
(3)第$3$回目の試行のあと，マス目に置かれている石の数の期待値を求めよ．

$n$個のボールと，$1$から$n$までの番号がふられた$n$個の空の箱がある．また，$1$から$n$の番号が書かれた$n$枚のカードが袋の中に入っている．いま，以下の手順に従いボールを箱の中に入れていくことを考える．

手順$1$ \quad 袋からカードを$1$枚無作為に取り出して，手順$2$に進む．
手順$2$ \quad 手順$1$で取り出したカードに書かれている番号の箱が，
\begin{itemize}
空ならば，そこにボールを$1$つ入れて，手順$3$へ進む．
空でなければ，カードを袋に戻さず手元に置き，手順$1$に戻る．
\end{itemize}
手順$3$ \quad 手元のすべてのカードを袋に戻す．この時点で，
\begin{itemize}
すべての箱にボールが入っていれば終了する．
空の箱が$1$つでもあれば，手順$1$に戻る．
\end{itemize}

また，$1 \leqq k \leqq n$を満たす自然数$k$について，$k-1$個目のボールを箱に入れ終わった状態（ただし，$k=1$のときは，はじめの状態とする）の後に，
\begin{itemize}
次のボール，すなわち$k$個目のボールを箱に入れるまでにちょうど$i$枚のカードを袋から取り出す確率を$P_k(i)$とし，
$i$枚のカードを袋から取り出してもまだ次のボールを箱に入れることができない確率を$Q_k(i)$とする．ただし，$Q_k(0)=1$とする．
\end{itemize}
このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$n=4$のとき$P_3(1)$，$P_3(2)$，$Q_3(2)$をそれぞれ求めよ．
(2)$Q_k(i)$を$P_k(i+1)$，$P_k(i+2)$，$\cdots$，$P_k(k)$を用いて表せ．ただし，$0 \leqq i \leqq k-1$とする．
(3)$k-1$個目のボールを箱に入れてから$k$個目のボールを箱に入れるまでに袋から取り出すカードの枚数の期待値$E_k$は$Q_k(0)+Q_k(1)+\cdots +Q_k(k-1)$であることを示せ．
(4)不等式
\[ E_k \leqq \frac{n}{n-k+1} \]
が成り立つことを示せ．
(5)不等式
\[ E_1+E_2+\cdots +E_n \leqq n+n \log n \]
が成り立つことを示せ．

$1$から$8$までの番号が$1$つずつ重複せずに書かれた$8$個の玉が，箱の中に入っている．$1$回目の操作として，箱から$3$個の玉を同時に取り出し，最大番号と最小番号の玉は箱に戻さず，残り$1$個を箱に戻す．この状態から$2$回目の操作として，さらに箱から$3$個の玉を同時に取り出す．$1$回目の操作で取り出した$3$個の玉の最大番号と最小番号の差を$n_1$，$2$回目の操作で取り出した$3$個の玉の最大番号と最小番号の差を$n_2$とする．以下の問に答えよ．

(1)$n_1 \geqq 3$となる確率を求めよ．
(2)$2$回目の操作で取り出した$3$個の玉の中に，$5$の番号が書かれた玉が含まれる確率を求めよ．
(3)$n_1+n_2 \leqq 11$となる確率を求めよ．

赤色，青色，黄色の箱を各一箱，赤色，青色，黄色の球を各一個用意して，各球を球と同じ色の箱に入れる．この状態からはじめて，次の操作を$n$回（$n \geqq 1$）行う． \\
（操作） \ 三つの箱から二つの箱を任意に選び，その二つの箱の中の球を交換する．

(1)赤球の球が赤色の箱に入っている確率を求めよ．
(2)箱とその中の球の色が一致している箱の個数の期待値を求めよ．
(3)赤色の球が赤色の箱に入っている事象と，青色の球が青色の箱に入っている事象は，互いに独立かどうか，理由を付けて答えよ．

$1$から$8$までの番号が$1$つずつ重複せずに書かれた$8$個の玉が，箱の中に入っている．$1$回目の操作として，箱から$3$個の玉を同時に取り出し，最大番号と最小番号の玉は箱に戻さず，残り$1$個を箱に戻す．この状態から$2$回目の操作として，さらに箱から$3$個の玉を同時に取り出す．$1$回目の操作で取り出した$3$個の玉の最大番号と最小番号の差を$n_1$，$2$回目の操作で取り出した$3$個の玉の最大番号と最小番号の差を$n_2$とする．以下の問に答えよ．

(1)$n_1 \geqq 3$となる確率を求めよ．
(2)$2$回目の操作で取り出した$3$個の玉の中に，$5$の番号が書かれた玉が含まれる確率を求めよ．
(3)$n_1+n_2 \leqq 11$となる確率を求めよ．

箱$\mathrm{A}$には$1$から$9$までの数が書かれた札が$9$枚，箱$\mathrm{B}$には$0$から$9$までの数が書かれた札が$10$枚入っている．今，それぞれの箱から$1$枚ずつ札を取り出して$2$桁の数を作る．ただし，箱$\mathrm{A}$から取り出した札を十の位，箱$\mathrm{B}$から取り出した札を一の位に割り当てるものとし，取り出した札は数を記録した後で元の箱に戻す．今，下図のような数直線を考え，点$\mathrm{Q}$が初期状態で$3$の位置にあるものとする．$2$桁の数が$3$の倍数の場合は数直線上の点$\mathrm{Q}$を負の方向に$1$移動し，それ以外の場合は正の方向に$1$移動するものとして，以下の問いに答えよ．

(1)数直線上の点$\mathrm{Q}$を移動する試行を$3$回行ったとき，点$\mathrm{Q}$が原点$0$上にない確率を求めよ．
(2)数直線上の点$\mathrm{Q}$を移動する試行を$n$回（$n \geqq 3$）行ったときの点$\mathrm{Q}$の位置を$x(n)$とする．数直線上を負の方向に移動した回数を$k$として$x(n)$を$n$と$k$で表せ．また，点$\mathrm{Q}$が原点$0$上にあるときの$k$を求めよ．
(3)数直線上の点$\mathrm{Q}$の移動する試行を$n$回（$n \geqq 3$）行ったとき，点$\mathrm{Q}$が原点$0$上にある確率を求めよ．
（図は省略）

Aは$2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8$と書かれた札を，Bは$2,\ 4,\ 6,\ 8$と書かれた札を手元に持ち，札の数字が書かれた面$(\text{表})$はふせられた状態である．両者は札をよくかき混ぜた後$n$枚の札を引き，表にして数字を比べる．ただし，$n=1$のときは数字の大きい方が勝ちで，両者の数字が等しいときは引き分けとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$n=1$とする．

(2)引き分けとなる確率を求めよ．
(3)勝った者は自分が引いた札の数字が得点となり，その他の場合はそれぞれの得点が0となるとき，Aの得点の期待値を求めよ．

(4)$n=2$とする．Aの札の数字の合計と，Bの札の数字の合計が等しくなる確率を求めよ．
(5)$n=1$とする．数直線上にある点Pを，Aが勝ったときは正の方向に2だけ，Bが勝ったときは負の方向に1だけ動かす．ただし，引き分けのときは動かさない．こうした試行を4回繰り返すとき，最初に原点にあった点Pが4回の試行後に原点に位置する確率を求めよ．なお，AとBが引いた札は，試行が終わるごとに各々の手元に戻し，よくかき混ぜて次の試行を行うものとする．

以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．

$xy$平面上で点$\mathrm{P}$は$x$軸上に，点$\mathrm{Q}$は$y$軸上に置かれ，点$\mathrm{P}$の$x$座標と点$\mathrm{Q}$の$y$座標はそれぞれ$-2$以上$2$以下の整数であるとする．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$に対して次の操作を考える．
\begin{screen}
{\bf 操作} \\
点$\mathrm{P}$の座標が$(i,\ 0)$，点$\mathrm{Q}$の座標が$(0,\ j)$であるとき次の規則に従って$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を互いに独立に同時に処理する．

\mon[$(\mathrm{P}1)$] $-1 \leqq i \leqq 1$ならば点$\mathrm{P}$を$(i+1,\ 0)$または$(i-1,\ 0)$のどちらかに確率$\displaystyle \frac{1}{2}$ずつで移す．
\mon[$(\mathrm{P}2)$] $i=-2$ならば点$\mathrm{P}$を必ず$(-1,\ 0)$に移す．
\mon[$(\mathrm{P}3)$] $i=2$ならば点$\mathrm{P}$をそのままにしておく．
\mon[$(\mathrm{Q}1)$] $-1 \leqq j \leqq 1$ならば点$\mathrm{Q}$を$(0,\ j+1)$または$(0,\ j-1)$のどちらかに確率$\displaystyle \frac{1}{2}$ずつで移す．
\mon[$(\mathrm{Q}2)$] $j=-2$ならば点$\mathrm{Q}$を必ず$(0,\ -1)$に移す．
\mon[$(\mathrm{Q}3)$] $j=2$ならば点$\mathrm{Q}$をそのままにしておく．

\end{screen}
さて，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$がともに$(0,\ 0)$に置かれている状態から始め，上の操作を$3$回繰り返し行う．

(1)$3$回の操作の後，点$\mathrm{P}$が$(1,\ 0)$に置かれている確率は$[あ]$であり，$(-1,\ 0)$に置かれている確率は$[い]$である．
(2)$xy$平面上で不等式$y>x$の表す領域を$A$，不等式$y>-x$の表す領域を$B$とする．各回の操作後に点$\mathrm{P}$が常に$A \cup B$内に置かれているという事象を$U$とし，各回の操作後に点$\mathrm{Q}$が常に$A \cup B$内に置かれているという事象を$V$とすると，事象$U \cup V$の確率は$[う]$である．
$xy$平面上で$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を結ぶ線分の長さを$\mathrm{PQ}$とする．ただし$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$がともに$(0,\ 0)$に置かれている場合は$\mathrm{PQ}=0$とする．
(3)$3$回の操作を通じてちょうど$1$回だけ$\mathrm{PQ}=\sqrt{2}$となる確率は$[え]$である．
(4)$3$回の操作を通じた$\mathrm{PQ}$の最大値の期待値は$[お]$である．

数字の2を書いた玉が1個，数字の1を書いた玉が3個，数字の0を書いた玉が4個あり，これら合計8個の玉が袋に入っている．以下の(1)から(3)のそれぞれにおいて，この状態の袋から1度に1個ずつ玉を取り出し，取り出した玉は袋に戻さないものとする．

(1)玉を2度取り出すとき，取り出した玉に書かれた数字の合計が2である確率を求めよ．
(2)玉を4度取り出すとき，取り出した玉に書かれた数字の合計が4以下である確率を求めよ．
(3)玉を8度取り出すとき，次の条件が満たされる確率を求めよ．\\
\quad 条件 \ :\ すべての$n=1,\ 2,\ \cdots,\ 8$に対して，\\
\qquad \qquad 1個目から$n$個目までの玉に書かれた数字の合計は$n$以下である．