「状態」について
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公立 兵庫県立大学 2015年 第5問\begin{mawarikomi}{45mm}{
（図は省略）
}
図に示すように，ある円の周上に$4$つの円板$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$が置かれ，円の中心には円板$\mathrm{K}$が置かれている．当初$\mathrm{A}$には$\bullet$で示される小石が置かれている．この状態から，順次サイコロを振り以下の手順で小石を移動し小石の位置取りを繰り返す．
(i) 現在$\mathrm{K}$に小石がある場合は，出た目の数にかかわらず，新たな位置取りはそのまま$\mathrm{K}$とする．
(ii) 出た目の数が$1$または$2$の場合，小石を現在の場所から$\mathrm{K}$に移動する．
(iii) 出た目の数が$3$の場合，小石を現在の場所から反時計回り，すなわち，$\mathrm{A} \to \mathrm{B} \to \mathrm{C} \to \mathrm{D} \to \mathrm{A}$の向きで，隣接する円板に移動する．
\mon[$\tokeishi$] 出た目の数が$4$以上の場合，小石を現在の場所から時計回り，すなわち，$\mathrm{A} \to \mathrm{D} \to \mathrm{C} \to \mathrm{B} \to \mathrm{A}$の向きで，隣接する円板に移動する．
\end{mawarikomi}
次の問に答えなさい．
(1)$n$回目の位置取り後，小石が$\mathrm{K}$にある確率を$k_n$と表す．$k_n$を求めなさい．
(2)偶数回位置取りを行った場合，小石は$\mathrm{K}$になければ$\mathrm{A}$または$\mathrm{C}$にあることを示しなさい．
(3)$n$回目の位置取り後，小石が$\mathrm{A}$にある確率を$a_n$と表す．$a_2$を求めなさい．また，$a_{2n+2}$を$a_{2n}$および$k_{2n}$を用いて表しなさい．
(4)$a_n$を求めなさい．
（図は省略）
}
図に示すように，ある円の周上に$4$つの円板$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$が置かれ，円の中心には円板$\mathrm{K}$が置かれている．当初$\mathrm{A}$には$\bullet$で示される小石が置かれている．この状態から，順次サイコロを振り以下の手順で小石を移動し小石の位置取りを繰り返す．
(i) 現在$\mathrm{K}$に小石がある場合は，出た目の数にかかわらず，新たな位置取りはそのまま$\mathrm{K}$とする．
(ii) 出た目の数が$1$または$2$の場合，小石を現在の場所から$\mathrm{K}$に移動する．
(iii) 出た目の数が$3$の場合，小石を現在の場所から反時計回り，すなわち，$\mathrm{A} \to \mathrm{B} \to \mathrm{C} \to \mathrm{D} \to \mathrm{A}$の向きで，隣接する円板に移動する．
\mon[$\tokeishi$] 出た目の数が$4$以上の場合，小石を現在の場所から時計回り，すなわち，$\mathrm{A} \to \mathrm{D} \to \mathrm{C} \to \mathrm{B} \to \mathrm{A}$の向きで，隣接する円板に移動する．
\end{mawarikomi}
次の問に答えなさい．
(1)$n$回目の位置取り後，小石が$\mathrm{K}$にある確率を$k_n$と表す．$k_n$を求めなさい．
(2)偶数回位置取りを行った場合，小石は$\mathrm{K}$になければ$\mathrm{A}$または$\mathrm{C}$にあることを示しなさい．
(3)$n$回目の位置取り後，小石が$\mathrm{A}$にある確率を$a_n$と表す．$a_2$を求めなさい．また，$a_{2n+2}$を$a_{2n}$および$k_{2n}$を用いて表しなさい．
(4)$a_n$を求めなさい．
国立 島根大学 2014年 第1問$3$つの箱$X,\ Y,\ Z$と$3$つの玉$a,\ b,\ c$があり，$1$つの箱には$1$つの玉が入るとする．箱$X$には$a$が，箱$Y$には$b$が，箱$Z$には$c$が入っている状態から始めて，次の操作を繰り返し行う．
「数字$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の中から無作為に$1$つの数字$m$を選ぶ．$m=1$ならば，箱$Y,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Z,\ Y$に移す．$m=2$ならば，箱$X,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Z,\ X$に移す．$m=3$ならば，箱$X,\ Y$にある玉をそれぞれ箱$Y,\ X$に移す．$m=4$ならば，箱$X,\ Y,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Y,\ Z,\ X$に移す．$m=5$ならば，箱$X,\ Y,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Z,\ X,\ Y$に移す．」
この操作を$n$回繰り返したあとに$3$つの玉が最初の状態に戻っている確率を$p_n$とする．箱$X,\ Y,\ Z$にそれぞれ玉$x,\ y,\ z$が入っている状態を$(x,\ y,\ z)$と表す．たとえば，最初の状態は$(a,\ b,\ c)$である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$1$回目の操作を行ったあとの起こりうる状態をすべて挙げ，$p_1$，$p_2$を求めよ．
(2)$n$回目の操作を行ったあとの状態が最初の状態$(a,\ b,\ c)$となっていない確率を$q_n$とする．$n \geqq 1$のとき，$\displaystyle p_{n+1}=\frac{1}{5}q_n$が成り立つことを示せ．
(3)$p_n$を求めよ．
「数字$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の中から無作為に$1$つの数字$m$を選ぶ．$m=1$ならば，箱$Y,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Z,\ Y$に移す．$m=2$ならば，箱$X,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Z,\ X$に移す．$m=3$ならば，箱$X,\ Y$にある玉をそれぞれ箱$Y,\ X$に移す．$m=4$ならば，箱$X,\ Y,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Y,\ Z,\ X$に移す．$m=5$ならば，箱$X,\ Y,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Z,\ X,\ Y$に移す．」
この操作を$n$回繰り返したあとに$3$つの玉が最初の状態に戻っている確率を$p_n$とする．箱$X,\ Y,\ Z$にそれぞれ玉$x,\ y,\ z$が入っている状態を$(x,\ y,\ z)$と表す．たとえば，最初の状態は$(a,\ b,\ c)$である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$1$回目の操作を行ったあとの起こりうる状態をすべて挙げ，$p_1$，$p_2$を求めよ．
(2)$n$回目の操作を行ったあとの状態が最初の状態$(a,\ b,\ c)$となっていない確率を$q_n$とする．$n \geqq 1$のとき，$\displaystyle p_{n+1}=\frac{1}{5}q_n$が成り立つことを示せ．
(3)$p_n$を求めよ．
国立 島根大学 2014年 第1問$3$つの箱$X,\ Y,\ Z$と$3$つの玉$a,\ b,\ c$があり，$1$つの箱には$1$つの玉が入るとする．箱$X$には$a$が，箱$Y$には$b$が，箱$Z$には$c$が入っている状態から始めて，次の操作を繰り返し行う．
「数字$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の中から無作為に$1$つの数字$m$を選ぶ．$m=1$ならば，箱$Y,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Z,\ Y$に移す．$m=2$ならば，箱$X,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Z,\ X$に移す．$m=3$ならば，箱$X,\ Y$にある玉をそれぞれ箱$Y,\ X$に移す．$m=4$ならば，箱$X,\ Y,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Y,\ Z,\ X$に移す．$m=5$ならば，箱$X,\ Y,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Z,\ X,\ Y$に移す．」
この操作を$n$回繰り返したあとに$3$つの玉が最初の状態に戻っている確率を$p_n$とする．箱$X,\ Y,\ Z$にそれぞれ玉$x,\ y,\ z$が入っている状態を$(x,\ y,\ z)$と表す．たとえば，最初の状態は$(a,\ b,\ c)$である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$1$回目の操作を行ったあとの起こりうる状態をすべて挙げ，$p_1$，$p_2$を求めよ．
(2)$n$回目の操作を行ったあとの状態が最初の状態$(a,\ b,\ c)$となっていない確率を$q_n$とする．$n \geqq 1$のとき，$\displaystyle p_{n+1}=\frac{1}{5}q_n$が成り立つことを示せ．
(3)$p_n$を求めよ．
「数字$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の中から無作為に$1$つの数字$m$を選ぶ．$m=1$ならば，箱$Y,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Z,\ Y$に移す．$m=2$ならば，箱$X,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Z,\ X$に移す．$m=3$ならば，箱$X,\ Y$にある玉をそれぞれ箱$Y,\ X$に移す．$m=4$ならば，箱$X,\ Y,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Y,\ Z,\ X$に移す．$m=5$ならば，箱$X,\ Y,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Z,\ X,\ Y$に移す．」
この操作を$n$回繰り返したあとに$3$つの玉が最初の状態に戻っている確率を$p_n$とする．箱$X,\ Y,\ Z$にそれぞれ玉$x,\ y,\ z$が入っている状態を$(x,\ y,\ z)$と表す．たとえば，最初の状態は$(a,\ b,\ c)$である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$1$回目の操作を行ったあとの起こりうる状態をすべて挙げ，$p_1$，$p_2$を求めよ．
(2)$n$回目の操作を行ったあとの状態が最初の状態$(a,\ b,\ c)$となっていない確率を$q_n$とする．$n \geqq 1$のとき，$\displaystyle p_{n+1}=\frac{1}{5}q_n$が成り立つことを示せ．
(3)$p_n$を求めよ．
私立 上智大学 2014年 第3問$1$から$10$までの数字を$1$つずつ書いた$10$枚のカードを数字の小さい順に左から右に並べる．この中から$3$枚を無作為に選び，いずれのカードも元の位置と異なる位置に置くという操作を考える．この操作を$2$回以上続けて行う場合，$2$回目以降はカードの並びを一番最初の状態に戻すことはせず，$1$回前の操作で置き換えられた状態から$3$枚を無作為に選ぶ．また，選んだ$3$枚のカードについて元の位置と異なる位置への置き方が複数あるとき，いずれの置き方も等しい確率で選ばれるものとする．置き換えの操作を$n$回続けて行ったとき，一番左のカードが$10$である確率を$P_n$で表す．
(1)$\displaystyle P_1=\frac{[ハ]}{[ヒ]}$である．
(2)$n$回の操作の後で一番左のカードが$10$であり，$(n+1)$回目の操作の後も一番左のカードが$10$となる確率を$P_n$の式で表すと$\displaystyle \frac{[フ]}{[ヘ]}P_n$となる．
(3)$n$回の操作の後で一番左のカードが$10$ではなく，$(n+1)$回目の操作の後で一番左のカードが$10$となる確率を$P_n$の式で表すと$\displaystyle \frac{[ホ]P_n+[マ]}{[ミ]}$となる．
(4)$P_{n+1}$を$P_n$の式で表すと
\[ P_{n+1}=\frac{[ム]}{[メ]}P_n+\frac{[モ]}{[ヤ]} \]
となる．
(5)$\displaystyle P_n=\frac{[ユ]}{[ヨ]} \left( \frac{[ラ]}{[リ]} \right)^n+\frac{[ル]}{[レ]}$である．
(1)$\displaystyle P_1=\frac{[ハ]}{[ヒ]}$である．
(2)$n$回の操作の後で一番左のカードが$10$であり，$(n+1)$回目の操作の後も一番左のカードが$10$となる確率を$P_n$の式で表すと$\displaystyle \frac{[フ]}{[ヘ]}P_n$となる．
(3)$n$回の操作の後で一番左のカードが$10$ではなく，$(n+1)$回目の操作の後で一番左のカードが$10$となる確率を$P_n$の式で表すと$\displaystyle \frac{[ホ]P_n+[マ]}{[ミ]}$となる．
(4)$P_{n+1}$を$P_n$の式で表すと
\[ P_{n+1}=\frac{[ム]}{[メ]}P_n+\frac{[モ]}{[ヤ]} \]
となる．
(5)$\displaystyle P_n=\frac{[ユ]}{[ヨ]} \left( \frac{[ラ]}{[リ]} \right)^n+\frac{[ル]}{[レ]}$である．
私立 学習院大学 2014年 第1問大小$2$つのコインを投げたとき，次の（ルール）に従って，平面上の点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を動かす．
\mon[（ルール）] $\mathrm{P}$が$(a,\ b)$にいるとき，大きなコインが表なら$\mathrm{P}$を$(a+1,\ b)$に動かし，裏なら$(a,\ b+1)$に動かす．また，$\mathrm{Q}$が$(c,\ d)$にいるとき，小さいコインが表なら$\mathrm{Q}$を$(c-1,\ d)$に動かし，裏なら$(c,\ d-1)$に動かす．
最初に，$\mathrm{P}$は$(0,\ 0)$にいて，$\mathrm{Q}$は$(4,\ 4)$にいるとする．この状態から，大小$2$つのコインを同時に投げて（ルール）に従って$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を動かす試行を$4$回繰り返したときの$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の位置について，次の問いに答えよ．ただし，大小どちらのコインについても，表と裏の出る確率はともに$\displaystyle \frac{1}{2}$に等しいとする．
(1)$\mathrm{P}$が$(1,\ 3)$にいる確率を求めよ．
(2)$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が同じ点にいる確率を求めよ．
\mon[（ルール）] $\mathrm{P}$が$(a,\ b)$にいるとき，大きなコインが表なら$\mathrm{P}$を$(a+1,\ b)$に動かし，裏なら$(a,\ b+1)$に動かす．また，$\mathrm{Q}$が$(c,\ d)$にいるとき，小さいコインが表なら$\mathrm{Q}$を$(c-1,\ d)$に動かし，裏なら$(c,\ d-1)$に動かす．
最初に，$\mathrm{P}$は$(0,\ 0)$にいて，$\mathrm{Q}$は$(4,\ 4)$にいるとする．この状態から，大小$2$つのコインを同時に投げて（ルール）に従って$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を動かす試行を$4$回繰り返したときの$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の位置について，次の問いに答えよ．ただし，大小どちらのコインについても，表と裏の出る確率はともに$\displaystyle \frac{1}{2}$に等しいとする．
(1)$\mathrm{P}$が$(1,\ 3)$にいる確率を求めよ．
(2)$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が同じ点にいる確率を求めよ．
国立 東京海洋大学 2013年 第3問$n$人でじゃんけんを$1$回する．ただし，どの人もグー，チョキ，パーを出す確率は等しくそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{3}$とする．また，「あいこ」とはじゃんけんで勝者が$1$人もいない状態のこととする．このとき次の問に答えよ．
(1)$n=3$のとき，「あいこ」となる確率を求めよ．
(2)$n=4$のとき，勝者が$1$人である確率および勝者が$2$人である確率をそれぞれ求めよ．
(3)$n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots$のとき「あいこ」となる確率を$n$を用いて表せ．
(1)$n=3$のとき，「あいこ」となる確率を求めよ．
(2)$n=4$のとき，勝者が$1$人である確率および勝者が$2$人である確率をそれぞれ求めよ．
(3)$n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots$のとき「あいこ」となる確率を$n$を用いて表せ．
国立 九州大学 2013年 第3問横一列に並んだ6枚の硬貨に対して，以下の操作$\mathrm{L}$と操作$\mathrm{R}$を考える．
\mon[$\mathrm{L}:$] さいころを投げて，出た目と同じ枚数だけ左端から順に硬貨の表と裏を反転する．
\mon[$\mathrm{R}:$] さいころを投げて，出た目と同じ枚数だけ右端から順に硬貨の表と裏を反転する．
たとえば，表表裏表裏表と並んだ状態で操作$\mathrm{L}$を行うときに，3の目が出た場合は，裏裏表表裏表となる．以下，「最初の状態」とは硬貨が6枚とも表であることとする．
(1)最初の状態から操作$\mathrm{L}$を2回続けて行うとき，表が1枚となる確率を求めよ．
(2)最初の状態から$\mathrm{L},\ \mathrm{R}$の順に操作を行うとき，表の枚数の期待値を求めよ．
(3)最初の状態から$\mathrm{L},\ \mathrm{R},\ \mathrm{L}$の順に操作を行うとき，すべての硬貨が表となる確率を求めよ．
\mon[$\mathrm{L}:$] さいころを投げて，出た目と同じ枚数だけ左端から順に硬貨の表と裏を反転する．
\mon[$\mathrm{R}:$] さいころを投げて，出た目と同じ枚数だけ右端から順に硬貨の表と裏を反転する．
たとえば，表表裏表裏表と並んだ状態で操作$\mathrm{L}$を行うときに，3の目が出た場合は，裏裏表表裏表となる．以下，「最初の状態」とは硬貨が6枚とも表であることとする．
(1)最初の状態から操作$\mathrm{L}$を2回続けて行うとき，表が1枚となる確率を求めよ．
(2)最初の状態から$\mathrm{L},\ \mathrm{R}$の順に操作を行うとき，表の枚数の期待値を求めよ．
(3)最初の状態から$\mathrm{L},\ \mathrm{R},\ \mathrm{L}$の順に操作を行うとき，すべての硬貨が表となる確率を求めよ．
国立 九州大学 2013年 第3問横一列に並んだ6枚の硬貨に対して，以下の操作$\mathrm{L}$と操作$\mathrm{R}$を考える．
\mon[$\mathrm{L}:$] さいころを投げて，出た目と同じ枚数だけ左端から順に硬貨の表と裏を反転する．
\mon[$\mathrm{R}:$] さいころを投げて，出た目と同じ枚数だけ右端から順に硬貨の表と裏を反転する．
たとえば，表表裏表裏表と並んだ状態で操作$\mathrm{L}$を行うときに，3の目が出た場合は，裏裏表表裏表となる．以下，「最初の状態」とは硬貨が6枚とも表であることとする．
(1)最初の状態から操作$\mathrm{L}$を2回続けて行うとき，表が1枚となる確率を求めよ．
(2)最初の状態から$\mathrm{L},\ \mathrm{R}$の順に操作を行うとき，表の枚数の期待値を求めよ．
(3)最初の状態から$\mathrm{L},\ \mathrm{R},\ \mathrm{L}$の順に操作を行うとき，すべての硬貨が表となる確率を求めよ．
\mon[$\mathrm{L}:$] さいころを投げて，出た目と同じ枚数だけ左端から順に硬貨の表と裏を反転する．
\mon[$\mathrm{R}:$] さいころを投げて，出た目と同じ枚数だけ右端から順に硬貨の表と裏を反転する．
たとえば，表表裏表裏表と並んだ状態で操作$\mathrm{L}$を行うときに，3の目が出た場合は，裏裏表表裏表となる．以下，「最初の状態」とは硬貨が6枚とも表であることとする．
(1)最初の状態から操作$\mathrm{L}$を2回続けて行うとき，表が1枚となる確率を求めよ．
(2)最初の状態から$\mathrm{L},\ \mathrm{R}$の順に操作を行うとき，表の枚数の期待値を求めよ．
(3)最初の状態から$\mathrm{L},\ \mathrm{R},\ \mathrm{L}$の順に操作を行うとき，すべての硬貨が表となる確率を求めよ．
国立 宮崎大学 2013年 第4問最初に袋の中に，赤球と白球が$3$個ずつ，合計$6$個入っている．この状態から次の$①$～$③$の一連の操作を行う．
\mon[$①$] 袋の中から無作為に$3$個の球を取り出す．
\mon[$②$] $①$で取り出した球は袋に戻さず，取り出した赤球の数だけ白球を袋に補充し，取り出した白球の数だけ赤球を袋に補充する．
\mon[$③$] $①,\ ②$の操作をもう一度繰り返す．
ただし，補充する赤球と白球は十分にあるものとする．$①$～$③$の操作の後に，袋の中にある赤球の個数を$a$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$a=3$となる確率を求めよ．
(2)$a$の期待値を求めよ．
\mon[$①$] 袋の中から無作為に$3$個の球を取り出す．
\mon[$②$] $①$で取り出した球は袋に戻さず，取り出した赤球の数だけ白球を袋に補充し，取り出した白球の数だけ赤球を袋に補充する．
\mon[$③$] $①,\ ②$の操作をもう一度繰り返す．
ただし，補充する赤球と白球は十分にあるものとする．$①$～$③$の操作の後に，袋の中にある赤球の個数を$a$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$a=3$となる確率を求めよ．
(2)$a$の期待値を求めよ．
国立 長崎大学 2013年 第7問半径$1$の円と長さ$2$の線分がある．この線分の一方の端点を，円の中心に合わせて円上に固定した図形を考える．線分の端点で，円の中心とは異なるものを$\mathrm{P}$とする．この図形を下の図$1$のように$xy$平面上に置く．すなわち，中心が点$(0,\ 1)$，$\mathrm{P}$が点$(0,\ -1)$と一致するように置く．次に，$x$軸上で正の方向に，すべらないように円を半回転させる．下の図$2$は円が$\theta$だけ回転したときの状態を表している．$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で，点$\mathrm{P}$が描く曲線$C$について考察する．次の問いに答えよ．
（図は省略）
(1)図$2$における点$\mathrm{P}$の$x$座標と$y$座標を，それぞれ$\theta$を用いて表せ．
(2)曲線$C$上にあって，$x$座標が最小となる点，最大となる点，$y$座標が最小となる点，最大となる点について，それぞれの座標を求めよ．
(3)曲線$C$と$2$直線$y=-1$および$x=\pi$によって囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
（図は省略）
(1)図$2$における点$\mathrm{P}$の$x$座標と$y$座標を，それぞれ$\theta$を用いて表せ．
(2)曲線$C$上にあって，$x$座標が最小となる点，最大となる点，$y$座標が最小となる点，最大となる点について，それぞれの座標を求めよ．
(3)曲線$C$と$2$直線$y=-1$および$x=\pi$によって囲まれた図形の面積$S$を求めよ．