片方の面が白色，もう片方の面が黒色のカードを一枚用意する．さいころをひとつ投げ，目が$2$以下ならばカードを裏返し，$3$以上の場合はそのままにする．最初はカードの白色の面が表であるとし，さい ころを$n$回投げたあとでカードの表が白色である確率を$p_n$とする．

(1)$p_1$および$p_2$を求めよ．
(2)$p_{n+1}$を$p_n$を用いて表せ．
(3)$p_n$を求めよ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} p_n$を求めよ．

両面が赤色のカードが$3$枚，片方の面が赤，もう片方の面が青のカードが$3$枚，片方の面が赤，もう片方の面が黄色のカードが$4$枚ある．この$10$枚のカードを袋に入れ，無作為に$1$枚を取り出しテーブルの上に置いたとき，以下の問に答えよ．ただし，カードをテーブルの上に置いたとき，見えている面をカードの表とする．


(1)カードの表が赤である確率は，$\displaystyle \frac{[サシ]}{[スセ]}$である．

(2)カードの表が赤であるとき，裏も赤である確率は，$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タチ]}$である．

(3)カードの表が赤であるとき，裏が黄色でない確率は，$\displaystyle \frac{[ツ]}{[テト]}$である．

以下の問いの空欄$[ア]$～$[ス]$に適する数値，式などを記せ．

(1)直線$\displaystyle y=\frac{x}{\sqrt{3}}+1$と$x$軸の正の向きとのなす角は$[ア]$であり，この直線と放物線$\displaystyle y=\frac{x^2}{4}$の共有点の座標は$([イ],\ [ウ])$と$([エ],\ [オ])$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \frac{\sin A}{9}=\frac{\sin B}{7}=\frac{\sin C}{5}$が成り立つとき，この三角形の最も大きい角の余弦の値は$[カ]$である．この三角形の最も大きい辺の長さを$9$とすると，三角形の面積は$[キ]$である．
(3)同じ$2$つの箱と，同じ$4$つの球がある．$2$つの箱にすべての球を分配するときの組み合わせは$[ク]$通りである．また，大小の$2$つの箱と，$1$から$4$までの数が書かれた$4$つの球があるとき，すべての球を分配するときの組み合わせは$[ケ]$通りである．ただし，片方の箱のみに球が入っている場合も含む．
(4)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}},\ y=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$のとき，$x^2+y^2$の値は$[コ]$，$x^3-y^3$の値は$[サ]$となる．
(5)大小の$2$個のさいころを投げ，出た目が同じ場合は$10$点，大のさいころの目のほうが大きい場合は$5$点，それ以外の場合には得点は得られないとするとき，点数を得られる目が出る確率は$[シ]$で，得点の期待値は$[ス]$点である．

以下の問いに答えよ．

(1)式$(a+b)^6$を展開したときの$a^3b^3$の項の係数を求めよ．
(2)$6$個の引き出しがあり，そのすべてに書類$a$と書類$b$が$1$部ずつ入っている．書類$a$を$4$部と書類$b$を$2$部取り出したい．

(i) $1$個の引き出しから，書類$a$または書類$b$のどちらかしか取り出せないとき，取り出し方は何通りあるか．
(ii) $1$個の引き出しから，書類$a$と書類$b$の両方を取り出してもよいし，片方のみを取り出してもよいし，どちらも取り出さなくてもよいとき，取り出し方は何通りあるか．

(3)(2)$ \ (ⅱ)$における書類の取り出し方の場合の数は，式
\[ (ab+a+b+1)^6 \]
を展開したときの$a^4b^2$の項の係数に等しくなる．その理由をのべよ．