以下の設問に答えよ．

(1)初項$a$，公比$r$の無限等比級数は$|\,r\,|<1$のとき収束し，その和が$\displaystyle \frac{a}{1-r}$となることを示せ．
(2)座標平面上で，動点Pが点$(1,\ 1)$から$x$軸の負の向きに1だけ進み，次に$y$軸の負の向きに$\displaystyle \frac{1}{3}$だけ進み，次に$x$軸の負の向きに$\displaystyle \frac{1}{3^2}$だけ進み，次に$y$軸の負の向きに$\displaystyle \frac{1}{3^3}$だけ進む．以下，動点Pがこのような運動を続けるとき，動点Pが限りなく近づく点の座標を求めよ．

三角形$\mathrm{A}_0 \mathrm{B}_0 \mathrm{C}$は辺$\mathrm{A}_0 \mathrm{B}_0$の長さが$a$，$\angle \mathrm{A}_0=60^\circ$，$\angle \mathrm{B}_0=90^\circ$の直角三角形であり，三角形${\mathrm{A}_0}^\prime {\mathrm{B}_0}^\prime \mathrm{C}^\prime$は辺${\mathrm{A}_0}^\prime {\mathrm{B}_0}^\prime$の長さが$a$，$\angle {\mathrm{A}_0}^\prime=45^\circ$，$\angle {\mathrm{B}_0}^\prime=90^\circ$の直角三角形である．右図に示すように三角形$\mathrm{A}_0 \mathrm{B}_0 \mathrm{C}$の$3$つの辺上にそれぞれ点$\mathrm{D}_1$，$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{B}_1$をとり，正方形$\mathrm{B}_0 \mathrm{D}_1 \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1$を作る．次に，三角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}$の$3$つの辺上に点$\mathrm{D}_2$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{B}_2$をとり，正方形$\mathrm{B}_1 \mathrm{D}_2 \mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2$を作る．これを繰り返し，正方形$\mathrm{B}_{j-1} \mathrm{D}_j \mathrm{A}_j \mathrm{B}_j$を作る．その正方形の面積を$S_j$とおく．ただし，$j=1,\ 2,\ \cdots$である．同様な操作で，三角形${\mathrm{A}_0}^\prime {\mathrm{B}_0}^\prime \mathrm{C}^\prime$にも正方形${\mathrm{B}_{j-1}}^\prime {\mathrm{D}_j}^\prime {\mathrm{A}_j}^\prime {\mathrm{B}_j}^\prime$を作り，その正方形の面積を${S_j}^\prime$とおく．これらの図形について以下の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)$S_1$を$a$を用いた式で示せ．
(2)$S_j$を$a$と$j$を用いた式で示せ．
(3)三角形$\mathrm{A}_0 \mathrm{B}_0 \mathrm{C}$内に正方形を描くことを無限に繰り返すとき，正方形の面積の総和$S_\mathrm{T}$が三角形$\mathrm{A}_0 \mathrm{B}_0 \mathrm{C}$の面積$S_0$に占める割合を求めよ．
(4)$\displaystyle c_j=\frac{S_{j+2}}{{S_j}^\prime}$で定義される一般項$c_j$を持つ無限級数は，収束するか発散するかを，根拠を式で示した上で答えよ．

$xy$平面上で$x$座標と$y$座標がともに整数である点を格子点と呼ぶ．

(1)$\displaystyle y=\frac{1}{3}x^2+\frac{1}{2}x$のグラフ上に無限個の格子点が存在することを示せ．
(2)$a,\ b$は実数で$a \neq 0$とする．$y=ax^2+bx$のグラフ上に，点$(0,\ 0)$以外に格子点が2つ存在すれば，無限個存在することを示せ．