次の問いに答えなさい．

(1)定積分
\[ \int_0^{2\pi} \sin \frac{7x}{3} \cos \frac{2x}{3} \, dx \]
を求めなさい．
(2)次の無限級数の収束，発散について調べ，収束する場合はその和を求めなさい．
\[ \frac{1}{2^2-1}+\frac{1}{4^2-1}+\frac{1}{6^2-1}+\cdots +\frac{1}{(2n)^2-1}+\cdots \]
(3)$a$を定数とする．$x$についての方程式
\[ 1-4 \cos^2 x=a \quad (0 \leqq x<\pi) \]
の異なる解の個数を調べなさい．

次の問いに答えなさい．

(1)次の連立不等式を解きなさい．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2+2x>1 \\
|x-1| \leqq 1
\end{array} \right. \]
(2)無限級数
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} \sin \frac{n\pi}{2}=\frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{2}+\frac{1}{2^2} \sin \frac{2\pi}{2}+\frac{1}{2^3} \sin \frac{3\pi}{2}+\cdots \]
の和を求めなさい．
(3)関数$f(x)=e^x \cos x$の導関数$f^\prime(x)$を求めなさい．また，実数$\alpha,\ \beta$を使って，$f^\prime(x)=\alpha e^x \cos (x+\beta)$の形に表しなさい．ただし，$\alpha>0$，$0 \leqq \beta<2\pi$とする．

次の問いに答えよ．

(1)関数$y=\sqrt{3} \cos^2 \theta+(1-\sqrt{3}) \cos \theta \sin \theta-\sin^2 \theta$の最大値，最小値を求めよ．ただし，最大値，最小値をとる$\theta$の値は求めなくてよい．
(2)無限級数$\displaystyle \sum_{n=3}^\infty \frac{1}{n^2-4}$の和を求めよ．

数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$を
\[ a_n=\int_{n-\frac{1}{4}}^{n+\frac{1}{4}} e^{-4x} \cos (2\pi x) \, dx,\quad b_n=\int_{n-\frac{1}{4}}^{n+\frac{1}{4}} e^{-4x} \sin (2\pi x) \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定める．ただし，$e$は自然対数の底を表す．

(1)$a_n$を定める定積分に対して部分積分を行うことにより，
\[ a_n=-\frac{\pi}{[ア]}b_n \]
がわかる．
一方，$b_n$を定める定積分に対して部分積分を行うことにより，
\[ b_n=\frac{\pi}{[イ]}a_n-\frac{e^{\mkakko{ウ}}+[エ]}{[オ]e^{\mkakko{カ}n+\mkakko{キ}}} \]
がわかる．
これらの関係式より，$a_n$は
\[ a_n=\frac{\pi \left( e^{\mkakko{ク}}+[ケ] \right)}{[コ] \left( \pi^{\mkakko{サ}}+[シ] \right) e^{\mkakko{ス}n+\mkakko{セ}}} \]
となることがわかる．
(2)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$の和は$\displaystyle \frac{\pi}{[ソ] \left( \pi^{\mkakko{タ}}+[チ] \right) \left( e^{\mkakko{ツ}}-e \right)}$となる．

$\displaystyle a_n=\frac{1}{2^n} \tan \frac{1}{2^n} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$のとき，等式$\displaystyle \frac{1}{2}\tan \theta=\frac{1}{2 \tan \theta}-\frac{1}{\tan 2\theta}$を示せ．
(2)(1)を用いて，和$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を求めよ．
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty a_k$の和を求めよ．

$\displaystyle a_n=\frac{1}{2^n} \tan \frac{1}{2^n} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$のとき，等式$\displaystyle \frac{1}{2}\tan \theta=\frac{1}{2 \tan \theta}-\frac{1}{\tan 2\theta}$を示せ．
(2)(1)を用いて，和$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$を求めよ．
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty a_k$の和を求めよ．

$xy$平面上の曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} \ (x>0)$を考える．$0<p<q$のとき，$C$上の$2$点$\displaystyle \mathrm{P} \left( p,\ \frac{1}{p} \right)$，$\displaystyle \mathrm{Q} \left( q,\ \frac{1}{q} \right)$を通る直線と$C$で囲まれる図形の面積を$S$とし，その図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V$とする．

(1)$\displaystyle r=\frac{q}{p}$とおくとき，$S$および$V$の値を$p,\ r$を用いて表せ．
(2)自然数$n$に対して，$p=3^{n-1}$，$q=3^{n}$のときの$V$の値を$V_n$とおく．無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty V_n$の和を求めよ．

$a,\ b$を正の定数とする．曲線$y=e^{-ax}\sin bx \ (x \geqq 0)$と$x$軸とで囲まれた図形で$x$軸の下側にある部分の面積を，$y$軸に近い方から順に$S_1,\ S_2,\ S_3,\ \cdots$とするとき，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$を求めよ．

$\displaystyle I=\int e^{-x}\sin x \, dx,\ J=\int e^{-x}\cos x \, dx$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)次の関係式が成り立つことを証明せよ．
\[ I=J-e^{-x}\sin x,\quad J=-I-e^{-x}\cos x \]
(2)$I,\ J$を求めよ．
(3)曲線$y=e^{-x}\sin x \ (x \geqq 0)$と$x$軸とで囲まれた図形で$x$軸の下側にある部分の面積を，$y$軸に近い方から順に$S_1,\ S_2,\ S_3,\ \cdots$とするとき，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$を求めよ．

実数を成分とする行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$は，
\[ A^3-3A+2E=O,\quad A \neq -2E \text{かつ}a+d \neq 2 \]
を満たすとする．ただし，$E$は単位行列$\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$，$O$は零行列$\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$を表すとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$A$は単位行列$E$の実数倍ではないことを示せ．
(2)$a+d,\ ad-bc$の値を求めよ．
(3)$A$の逆行列を$A^{-1}$として，自然数$n$に対して，実数$p_n,\ q_n$を等式$(A^{-1})^n=p_nA+q_nE$で定める．さらに，$r_n=q_n-2p_n$とするとき，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty r_n$の和を求めよ．