「無限級数」について
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国立 宮城教育大学 2015年 第1問$p,\ q$を自然数として，$p>q$とする．等差数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき，$\displaystyle S_p=\frac{p}{q}$，$\displaystyle S_q=\frac{q}{p}$が成り立つとする．次の問に答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$の初項と公差を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)自然数$m$に対して，数列$\{a_n\}$の初項から第$2^m$項までの和の逆数を$b_m$とする．このとき，数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和を求めよ．
(3)$(2)$の数列$\{b_n\}$について無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty b_n$の和が$48$であり，数列$\{a_n\}$の第$p+q$項が$\displaystyle \frac{17}{48}$であるとき，$p$と$q$を求めよ．
(1)数列$\{a_n\}$の初項と公差を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)自然数$m$に対して，数列$\{a_n\}$の初項から第$2^m$項までの和の逆数を$b_m$とする．このとき，数列$\{b_n\}$の初項から第$n$項までの和を求めよ．
(3)$(2)$の数列$\{b_n\}$について無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty b_n$の和が$48$であり，数列$\{a_n\}$の第$p+q$項が$\displaystyle \frac{17}{48}$であるとき，$p$と$q$を求めよ．
国立 信州大学 2015年 第4問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin nx \, dx (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくと，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n^2$は収束し，その和は$\displaystyle \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^2 \, dx$であることが知られている．これを用いて，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$の和を求めよ．
(2)等式$\displaystyle \frac{1}{x^2(x+1)}=\frac{a}{x}+\frac{b}{x^2}+\frac{c}{x+1}$が$x$についての恒等式となるように，定数$a,\ b,\ c$の値を定めよ．
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2(n+1)}$の収束，発散について調べ，収束するときはその和を求めよ．
(1)$\displaystyle a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin nx \, dx (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくと，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n^2$は収束し，その和は$\displaystyle \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^2 \, dx$であることが知られている．これを用いて，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$の和を求めよ．
(2)等式$\displaystyle \frac{1}{x^2(x+1)}=\frac{a}{x}+\frac{b}{x^2}+\frac{c}{x+1}$が$x$についての恒等式となるように，定数$a,\ b,\ c$の値を定めよ．
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2(n+1)}$の収束，発散について調べ，収束するときはその和を求めよ．
私立 同志社大学 2015年 第4問$f(x)=2^{-x} \cos x$とし，曲線$C:y=f(x)$と正整数$n$に対して，次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{P}(n \pi,\ f(n \pi))$における$C$の接線と$x$軸の交点を$\mathrm{A}$とする．$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}(n \pi,\ f(n \pi))$における$C$の法線と$x$軸の交点を$\mathrm{B}$とする．$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(3)上の$(1)$と$(2)$で求めた点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$と点$\mathrm{P}$の$3$点でできる$\triangle \mathrm{ABP}$の面積$T_n$を$n$を用いて表せ．
(4)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty T_n$の和を求めよ．
(1)点$\mathrm{P}(n \pi,\ f(n \pi))$における$C$の接線と$x$軸の交点を$\mathrm{A}$とする．$\mathrm{A}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}(n \pi,\ f(n \pi))$における$C$の法線と$x$軸の交点を$\mathrm{B}$とする．$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(3)上の$(1)$と$(2)$で求めた点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$と点$\mathrm{P}$の$3$点でできる$\triangle \mathrm{ABP}$の面積$T_n$を$n$を用いて表せ．
(4)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty T_n$の和を求めよ．
公立 岡山県立大学 2015年 第2問数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$が
\[ S_n=\frac{a_n}{n+1}+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1)$a_1$を求めよ．
(2)一般項$a_n$を求めよ．
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$の和を求めよ．
\[ S_n=\frac{a_n}{n+1}+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1)$a_1$を求めよ．
(2)一般項$a_n$を求めよ．
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$の和を求めよ．
国立 徳島大学 2014年 第4問次の問いに答えよ．
(1)$2$次方程式$x^2+2mx+m^2+2m-8=0$が異なる$2$つの負の解をもつとき，定数$m$の範囲を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$は初項$1$，公比$r (0<r<1)$の等比数列である．数列$\{b_n\}$は$\displaystyle a_{n+1}=\frac{(a_n)^{\frac{4}{3}}}{\sqrt{b_n}}$を満たす．数列$\{b_n\}$の一般項および無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty b_n$の和を求めよ．
(1)$2$次方程式$x^2+2mx+m^2+2m-8=0$が異なる$2$つの負の解をもつとき，定数$m$の範囲を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$は初項$1$，公比$r (0<r<1)$の等比数列である．数列$\{b_n\}$は$\displaystyle a_{n+1}=\frac{(a_n)^{\frac{4}{3}}}{\sqrt{b_n}}$を満たす．数列$\{b_n\}$の一般項および無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty b_n$の和を求めよ．
国立 徳島大学 2014年 第4問$x_0=1$，$y_0=0$とする．$n$が自然数のとき，座標平面上の点$\mathrm{P}_{n-1}(x_{n-1},\ y_{n-1})$は行列$\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{1}{2} & -\displaystyle\frac{2}{3} \\
\displaystyle\frac{2}{3} & \displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right)$の表す$1$次変換によって点$\mathrm{P}_n(x_n,\ y_n)$に移されるとする．点$\mathrm{P}_{n-1}$と点$\mathrm{P}_n$の距離を$l_n$とする．
（図は省略）
(1)$l_1$を求めよ．
(2)$l_n$を$x_{n-1},\ y_{n-1}$の式で表せ．
(3)$\displaystyle \frac{l_{n+1}}{l_n}$の値を求めよ．
(4)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty l_n$の和を求めよ．
\displaystyle\frac{1}{2} & -\displaystyle\frac{2}{3} \\
\displaystyle\frac{2}{3} & \displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right)$の表す$1$次変換によって点$\mathrm{P}_n(x_n,\ y_n)$に移されるとする．点$\mathrm{P}_{n-1}$と点$\mathrm{P}_n$の距離を$l_n$とする．
（図は省略）
(1)$l_1$を求めよ．
(2)$l_n$を$x_{n-1},\ y_{n-1}$の式で表せ．
(3)$\displaystyle \frac{l_{n+1}}{l_n}$の値を求めよ．
(4)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty l_n$の和を求めよ．
国立 京都工芸繊維大学 2014年 第3問関数$f(x)=e^{-\sqrt{3}x}(1-\cos x)$を考える．自然数$n$に対し，区間$2(n-1) \pi \leqq x \leqq 2n \pi$における関数$f(x)$の最大値を$A_n$とする．
(1)$A_1$を求めよ．
(2)自然数$n$に対し，$A_n$を$n$を用いて表せ．
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty A_n$の和を求めよ．
(1)$A_1$を求めよ．
(2)自然数$n$に対し，$A_n$を$n$を用いて表せ．
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty A_n$の和を求めよ．
国立 静岡大学 2014年 第4問$\alpha$を実数とする．$2$つの関数$f(x)=e^{-x}(\sin x-\cos x)$と$g(x)=\alpha e^{-x}$について，次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \int f(x) \, dx=-e^{-x} \sin x+C$であることを示せ．ただし，$C$は積分定数である．
(2)すべての$x \geqq 0$について$f(x) \leqq g(x)$が成り立つような$\alpha$の値の最小値を求めよ．
(3)$\alpha$を$(2)$で求めた最小値とする．曲線$y=f(x) (x \geqq 0)$と曲線$y=g(x) (x \geqq 0)$との共有点の$x$座標を小さい方から順に$a_0,\ a_1,\ a_2,\ \cdots$とし，$n$が自然数であるとき，
\[ S_n=\int_{a_{n-1}}^{a_n} \left\{ g(x)-\frac{|f(x)|+f(x)}{2} \right\} \, dx \]
とする．このとき，$S_n$を求めよ．
(4)$(3)$で求めた$S_n$について，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$の和を求めよ．
(1)$\displaystyle \int f(x) \, dx=-e^{-x} \sin x+C$であることを示せ．ただし，$C$は積分定数である．
(2)すべての$x \geqq 0$について$f(x) \leqq g(x)$が成り立つような$\alpha$の値の最小値を求めよ．
(3)$\alpha$を$(2)$で求めた最小値とする．曲線$y=f(x) (x \geqq 0)$と曲線$y=g(x) (x \geqq 0)$との共有点の$x$座標を小さい方から順に$a_0,\ a_1,\ a_2,\ \cdots$とし，$n$が自然数であるとき，
\[ S_n=\int_{a_{n-1}}^{a_n} \left\{ g(x)-\frac{|f(x)|+f(x)}{2} \right\} \, dx \]
とする．このとき，$S_n$を求めよ．
(4)$(3)$で求めた$S_n$について，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$の和を求めよ．
国立 信州大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$0<\theta<\pi$のとき，不等式$\cos 3\theta+4 \cos^2 \theta<0$を満たす$\theta$の値の範囲を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{E}$とする．$2$直線$\mathrm{BE}$と$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2+4+6+\cdots +2n}$の和を求めよ．
{\bf 補足説明}
設問中の式の意味は
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2+4+6+\cdots +2n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2+4}+\frac{1}{2+4+6}+\frac{1}{2+4+6+8}+\cdots \]
である．
(1)$0<\theta<\pi$のとき，不等式$\cos 3\theta+4 \cos^2 \theta<0$を満たす$\theta$の値の範囲を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{E}$とする．$2$直線$\mathrm{BE}$と$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(3)無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2+4+6+\cdots +2n}$の和を求めよ．
{\bf 補足説明}
設問中の式の意味は
\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2+4+6+\cdots +2n}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2+4}+\frac{1}{2+4+6}+\frac{1}{2+4+6+8}+\cdots \]
である．
国立 防衛医科大学校 2014年 第1問以下の問に答えよ．
(1)$\displaystyle \left[ \frac{1}{3}x+1 \right]=[2x-1]$を満たす実数$x$の範囲を求めよ．ここで，$[x]$は$x$を超えない最大の整数である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$と，$\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}+k \overrightarrow{\mathrm{MC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} (k>0)$を満たす点$\mathrm{M}$が存在する．点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{M}$を通る直線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{N}$とする．$\displaystyle \frac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{BN}}$のとき，$k$はいくらか．
(3)初項が正の数である等比数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が，漸化式
\[ a_{n+1}+\left( \frac{1}{2} \right)^{2n+1}=3a_1a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たしているとき，以下の問に答えよ．
(i) $\{a_n\}$の初項と公比を求めよ．
(ii) 無限級数$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty a_k$が収束するかどうか調べよ．収束する場合には，その和を求めよ．
(1)$\displaystyle \left[ \frac{1}{3}x+1 \right]=[2x-1]$を満たす実数$x$の範囲を求めよ．ここで，$[x]$は$x$を超えない最大の整数である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$と，$\overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}+k \overrightarrow{\mathrm{MC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} (k>0)$を満たす点$\mathrm{M}$が存在する．点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{M}$を通る直線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{N}$とする．$\displaystyle \frac{3}{4} \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{BN}}$のとき，$k$はいくらか．
(3)初項が正の数である等比数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が，漸化式
\[ a_{n+1}+\left( \frac{1}{2} \right)^{2n+1}=3a_1a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たしているとき，以下の問に答えよ．
(i) $\{a_n\}$の初項と公比を求めよ．
(ii) 無限級数$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty a_k$が収束するかどうか調べよ．収束する場合には，その和を求めよ．