「無限級数の和」について
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私立 南山大学 2016年 第2問$2$つの関数$\displaystyle f(x)=-\frac{1}{2}e^{-x}(\sin x+\cos x)$，$g(x)=e^{-x} \sin x$を考える．
(1)$f(x)$を微分せよ．
(2)定積分
\[ S_1=\int_0^{2\pi} |g(x)| \, dx \]
を求めよ．
(3)$n$を自然数とする．
\[ S_n=\int_{2(n-1) \pi}^{2n \pi} |g(x)| \, dx \]
とするとき，$\displaystyle \frac{S_{n+1}}{S_n}$を求めよ．
(4)無限級数の和
\[ \sum_{n=1}^{\infty} S_n \]
を求めよ．
(1)$f(x)$を微分せよ．
(2)定積分
\[ S_1=\int_0^{2\pi} |g(x)| \, dx \]
を求めよ．
(3)$n$を自然数とする．
\[ S_n=\int_{2(n-1) \pi}^{2n \pi} |g(x)| \, dx \]
とするとき，$\displaystyle \frac{S_{n+1}}{S_n}$を求めよ．
(4)無限級数の和
\[ \sum_{n=1}^{\infty} S_n \]
を求めよ．
公立 名古屋市立大学 2015年 第3問自然数$n$に対して，$0$以上の実数を定義域とする$x$の関数$R_n(x)$を
\[ R_n(x)=\frac{1}{1+x^p}-\sum_{k=0}^{n-1}(-x^p)^k \]
とする．ただし，$p$は正の定数である．以下の問いに答えよ．
(1)次の不等式を示せ．
\[ |\int_0^1 R_n(x) \, dx|<\frac{1}{pn+1} \]
(2)次の等式を示せ．
\[ \int_0^1 \frac{dx}{1+x^p}=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{pk+1} \]
(3)以上の結果を利用して次の無限級数の和を求めよ．
(i) $\displaystyle S_1=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\cdots$
(ii) $\displaystyle S_2=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots$
\[ R_n(x)=\frac{1}{1+x^p}-\sum_{k=0}^{n-1}(-x^p)^k \]
とする．ただし，$p$は正の定数である．以下の問いに答えよ．
(1)次の不等式を示せ．
\[ |\int_0^1 R_n(x) \, dx|<\frac{1}{pn+1} \]
(2)次の等式を示せ．
\[ \int_0^1 \frac{dx}{1+x^p}=\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{pk+1} \]
(3)以上の結果を利用して次の無限級数の和を求めよ．
(i) $\displaystyle S_1=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\cdots$
(ii) $\displaystyle S_2=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots$
国立 福岡教育大学 2012年 第4問次の問いに答えよ．
(1)無限級数
\[ 1+\frac{1}{1+e^x}+\frac{1}{(1+e^x)^2}+\cdots +\frac{1}{(1+e^x)^n}+\cdots \]
はすべての実数$x$について収束することを示し，その和を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．
(2)$(1)$で求めた無限級数の和を$f(x)$とする．方程式$\log f(x)=x$を解け．ただし，対数は自然対数とする．
(1)無限級数
\[ 1+\frac{1}{1+e^x}+\frac{1}{(1+e^x)^2}+\cdots +\frac{1}{(1+e^x)^n}+\cdots \]
はすべての実数$x$について収束することを示し，その和を求めよ．ただし，$e$は自然対数の底とする．
(2)$(1)$で求めた無限級数の和を$f(x)$とする．方程式$\log f(x)=x$を解け．ただし，対数は自然対数とする．
国立 山梨大学 2012年 第1問次の問題文の枠内にあてはまる数あるいは数式を答えよ．
(1)関数$f(x)$が$p$を周期とする周期関数であるとは，すべての$x$で等式$[ ]$が成立することである．関数$\displaystyle g(x)=\sin^2 \left( 5x+\frac{\pi}{3} \right)$の正の最小の周期は$[ ]$である．
(2)実数$x$が$-\pi<x \leqq \pi$のとき，無限級数$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \sin^k x$が収束する条件は，$x$の値が$[ ]$以外のときであり，収束するときの無限級数の和は$[ ]$である．
(3)$\displaystyle \int_{-10}^0 \frac{1}{(x+11)(x+12)} \, dx=[ ]$であり，$\displaystyle \int_{-10}^0 \log (x+11) \, dx=[ ]$である．
(4)楕円$9x^2+4y^2+36x-40y+100=0$の$2$つの焦点のうち，$y$座標が大きい方の座標は$[ ]$である．この楕円の長軸の長さは$[ ]$である．
(5)関数$f(x)$を$f(x)=2x^2+1$とし，区間$[0,\ 1]$を$n$等分した小区間を，$\displaystyle \left[ \frac{0}{n},\ \frac{1}{n} \right]$，$\displaystyle \left[ \frac{1}{n},\ \frac{2}{n} \right]$，$\cdots$，$\displaystyle \left[ \frac{n-1}{n},\ \frac{n}{n} \right]$とする．各小区間を底辺とする$n$個の長方形の面積の総和をとる．$k$番目の小区間$\displaystyle \left[ \frac{k-1}{n},\ \frac{k}{n} \right]$において，長方形の高さとして左端での関数$f(x)$の値を用いたとき，この小区間での長方形の面積は$[ ]$となり，それらの長方形の面積の総和を$s_n$とする．また，$k$番目の小区間$\displaystyle \left[ \frac{k-1}{n},\ \frac{k}{n} \right]$において，長方形の高さとして右端での関数$f(x)$の値を用いたときの長方形の面積の総和を$S_n$とする．このとき，$S_n-s_n$は$[ ]$となる．
(1)関数$f(x)$が$p$を周期とする周期関数であるとは，すべての$x$で等式$[ ]$が成立することである．関数$\displaystyle g(x)=\sin^2 \left( 5x+\frac{\pi}{3} \right)$の正の最小の周期は$[ ]$である．
(2)実数$x$が$-\pi<x \leqq \pi$のとき，無限級数$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \sin^k x$が収束する条件は，$x$の値が$[ ]$以外のときであり，収束するときの無限級数の和は$[ ]$である．
(3)$\displaystyle \int_{-10}^0 \frac{1}{(x+11)(x+12)} \, dx=[ ]$であり，$\displaystyle \int_{-10}^0 \log (x+11) \, dx=[ ]$である．
(4)楕円$9x^2+4y^2+36x-40y+100=0$の$2$つの焦点のうち，$y$座標が大きい方の座標は$[ ]$である．この楕円の長軸の長さは$[ ]$である．
(5)関数$f(x)$を$f(x)=2x^2+1$とし，区間$[0,\ 1]$を$n$等分した小区間を，$\displaystyle \left[ \frac{0}{n},\ \frac{1}{n} \right]$，$\displaystyle \left[ \frac{1}{n},\ \frac{2}{n} \right]$，$\cdots$，$\displaystyle \left[ \frac{n-1}{n},\ \frac{n}{n} \right]$とする．各小区間を底辺とする$n$個の長方形の面積の総和をとる．$k$番目の小区間$\displaystyle \left[ \frac{k-1}{n},\ \frac{k}{n} \right]$において，長方形の高さとして左端での関数$f(x)$の値を用いたとき，この小区間での長方形の面積は$[ ]$となり，それらの長方形の面積の総和を$s_n$とする．また，$k$番目の小区間$\displaystyle \left[ \frac{k-1}{n},\ \frac{k}{n} \right]$において，長方形の高さとして右端での関数$f(x)$の値を用いたときの長方形の面積の総和を$S_n$とする．このとき，$S_n-s_n$は$[ ]$となる．
私立 関西大学 2012年 第4問次の$[ ]$をうめよ．
(1)$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}(\sqrt{x^2+3x}+x)$の値は$[$①$]$である．
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^n k \comb{n}{k}$を計算すると$[$②$]$となる．
(3)座標空間の原点を$\mathrm{O}$とし，$t$を実数とする．どのような$t$の値に対しても，点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \cos t,\ \frac{-1+\sin t}{\sqrt{2}},\ \frac{1+\sin t}{\sqrt{2}} \right)$は原点を中心とする半径$[$③$]$の球面上にある．また，実数$s$に対して，点$\mathrm{Q}(0,\ s,\ -s)$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QP}}=0$となるような$s$の値は$s=0$と$s=[$④$]$である．
(4)媒介変数表示
\[ x=3^{t+1}+3^{-t+1}+1,\quad y=3^t-3^{-t} \]
で表される図形は，$x,\ y$についての方程式$[$⑤$]=1$で定まる双曲線$C$の$x>0$の部分である．また，$C$の漸近線で傾きが正の漸近線の方程式は$y=[$⑥$]$である．
(5)$\theta$の関数$\displaystyle \sin \theta \sin \left( \theta+\frac{\pi}{3} \right) \sin \left( \theta-\frac{\pi}{3} \right)$は，定数$a,\ b$を用いて$a \sin^3 \theta+b \sin \theta$と表すことができる．$a,\ b$の組$(a,\ b)$は$[$④chi$]$である．
(6)無限級数の和として定義される関数
\[ f(x)=x^2+\frac{x^2}{1+2x^2}+\frac{x^2}{(1+2x^2)^2}+\cdots +\frac{x^2}{(1+2x^2)^n}+\cdots \]
について，$\displaystyle \lim_{x \to 0}f(x)$の値は$[$\maruhachi$]$である．
(1)$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}(\sqrt{x^2+3x}+x)$の値は$[$①$]$である．
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^n k \comb{n}{k}$を計算すると$[$②$]$となる．
(3)座標空間の原点を$\mathrm{O}$とし，$t$を実数とする．どのような$t$の値に対しても，点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \cos t,\ \frac{-1+\sin t}{\sqrt{2}},\ \frac{1+\sin t}{\sqrt{2}} \right)$は原点を中心とする半径$[$③$]$の球面上にある．また，実数$s$に対して，点$\mathrm{Q}(0,\ s,\ -s)$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QP}}=0$となるような$s$の値は$s=0$と$s=[$④$]$である．
(4)媒介変数表示
\[ x=3^{t+1}+3^{-t+1}+1,\quad y=3^t-3^{-t} \]
で表される図形は，$x,\ y$についての方程式$[$⑤$]=1$で定まる双曲線$C$の$x>0$の部分である．また，$C$の漸近線で傾きが正の漸近線の方程式は$y=[$⑥$]$である．
(5)$\theta$の関数$\displaystyle \sin \theta \sin \left( \theta+\frac{\pi}{3} \right) \sin \left( \theta-\frac{\pi}{3} \right)$は，定数$a,\ b$を用いて$a \sin^3 \theta+b \sin \theta$と表すことができる．$a,\ b$の組$(a,\ b)$は$[$④chi$]$である．
(6)無限級数の和として定義される関数
\[ f(x)=x^2+\frac{x^2}{1+2x^2}+\frac{x^2}{(1+2x^2)^2}+\cdots +\frac{x^2}{(1+2x^2)^n}+\cdots \]
について，$\displaystyle \lim_{x \to 0}f(x)$の値は$[$\maruhachi$]$である．