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自治医科大学 私立 自治医科大学 2016年 第20問
初項$1$,公比$x(1-x)$の無限等比級数が収束するための$x$のとりうる範囲は,$a<x<b$となる.$5 |a+b|$の値を求めよ.
金沢大学 国立 金沢大学 2015年 第4問
$a>1$とする.無限等比級数
\[ a+ax(1-ax)+ax^2(1-ax)^2+ax^3(1-ax)^3+\cdots \]
が収束するとき,その和を$S(x)$とする.次の問いに答えよ.

(1)この無限等比級数が収束するような実数$x$の値の範囲を求めよ.また,そのときの$S(x)$を求めよ.
(2)$x$が$(1)$で求めた範囲を動くとき,$S(x)$のとり得る値の範囲を求めよ.
(3)$\displaystyle I(a)=\int_0^{\frac{1}{a}} S(x) \, dx$とおくとき,極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty} I(a)$を求めよ.
金沢工業大学 私立 金沢工業大学 2015年 第2問
次の問いに答えよ.

(1)実数$x$について,等式
\[ \sin x-\sqrt{3} \cos x=[ス] \sin \left( x-\frac{\pi}{[セ]} \right) \]
が成り立つ.
(2)$0 \leqq x<2\pi$を満たす実数$x$について,無限等比級数
\[ 1+(\sin x-\sqrt{3} \cos x)+{(\sin x-\sqrt{3} \cos x)}^2+{(\sin x-\sqrt{3} \cos x)}^3+\cdots \]
は$\displaystyle \frac{\pi}{[ソ]}<x<\frac{\pi}{[タ]},\ \frac{[チ]}{[ツ]} \pi<x<\frac{[テ]}{[ト]} \pi$で収束し,その和は
\[ \frac{1}{1-[ナ] \sin \left( x-\displaystyle\frac{\pi}{[ニ]} \right)} \]
である.
広島市立大学 公立 広島市立大学 2014年 第1問
次の問いに答えよ.

(1)次の関数の導関数を求めよ.

(i) $\displaystyle y=\frac{x}{1+x+x^2}$

(ii) $y=(x^2+2x)e^{-x}$

(2)次の不定積分を求めよ.

(i) $\displaystyle \int x^2 \log x \, dx$

(ii) $\displaystyle \int \frac{\cos x}{\cos^2 x+2 \sin x-2} \, dx$

(3)$x>0$とする.無限等比級数
\[ 1+\log x+(\log x)^2+\cdots +(\log x)^n+\cdots \]
が収束するような$x$の値の範囲を求めよ.
千歳科学技術大学 私立 千歳科学技術大学 2013年 第1問
次の各問いに答えなさい.

(1)$a^3+b^3+c^3-3abc$を因数分解しなさい.
(2)$\displaystyle y=x+\frac{7}{x+2} (x>0)$の最小値を求めなさい.
(3)$a_1=5,\ a_{n+1}=3a_n-2 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められた数列$\{a_n\}$の一般項を求めなさい.
(4)$\pi$を円周率($3.14159 \cdots$)とするとき,次の無限数列の和$S$を求めなさい.

$S=3.14159\cdots$
$\qquad +0.314159\cdots$
$\qquad\qquad +0.0314159\cdots$
$\qquad\qquad\qquad +0.00314159 \cdots$
$\qquad\qquad\qquad\qquad +0.0003.14159 \cdots$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \cdots\cdots$

(5)$\displaystyle \int_0^1 x \sqrt{1-x} \, dx$を求めなさい.
和歌山県立医科大学 公立 和歌山県立医科大学 2013年 第3問
隣り合う辺の長さが$a,\ b$の長方形がある.その各辺の中点を順に結んで四角形をつくる.さらにその四角形の各辺の中点を順に結んで四角形をつくる.このような操作を無限に続ける.

(1)最初の長方形も含めたこれらの四角形の周の長さの総和$S$を求めよ.
(2)関係$a+b=1$を満たしながら$a,\ b$が動くときの$S$の最小値を求めよ.
宇都宮大学 国立 宇都宮大学 2012年 第6問
関数$y=e^{-x}$のグラフを$C$とする.$C$上の点P$(t,\ e^{-t})$における接線と$x$軸との交点をQ$(u,\ 0)$とする.$C$上の点$(u,\ e^{-u})$をRとするとき,次の問いに答えよ.

(1)$u$を$t$の式で表せ.
(2)線分PQ,線分QRと$C$で囲まれた部分を図形Aとする.図形Aを$x$軸のまわりに1回転してできる立体の体積$V$を$t$の式で表せ.
(3)(1)の$u$を$t$の関数とみて$u(t)$と表す.数列$\{t_n\}$を$t_1=0,\ t_{n+1}=u(t_n) \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$と定義するとき,一般項$t_n$を求めよ.
(4)(2)の$V$を$t$の関数とみて$V(t)$と表し,(3)の$t_n$を用いて$V_n=V(t_n) \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$とおく.数列$\{V_n\}$は等比数列であることを示し,無限等比級数
\[ V_1+V_2+\cdots +V_n+\cdots \]
の収束,発散を調べ,収束する場合は,その和を求めよ.
東京理科大学 私立 東京理科大学 2012年 第1問
次の問いに答えよ.

(1)$1$枚の硬貨をくり返し投げるゲームを行う.このゲームを,表がちょうど$4$回出たところ,または,裏がちょうど$4$回出たところで終了することにする.ただし,硬貨を投げたとき,表が出る確率と裏が出る確率はいずれも$\displaystyle \frac{1}{2}$である.

(i) 硬貨を$k$回投げたところで終了する確率を$p_k$とすると,
\[ p_4=\frac{[ア]}{[イ]},\quad p_5=\frac{[ウ]}{[エ]},\quad p_7=\frac{[オ]}{[カ][キ]} \]
である.
(ii) このゲームが終了するまでに硬貨を投げる回数の期待値は
\[ \frac{[ク][ケ]}{[コ][サ]} \]
である.

(2)$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$の$\theta$に対して,$x$に関する$2$次方程式
\[ x^2+(\sqrt{2} \sin 2\theta)x+2 \cos \theta=0 \]
を考える.

(i) この方程式が異なる$2$つの実数解をもつのは,
\[ [ア][イ]^\circ<\theta \leqq [ウ][エ][オ]^\circ \]
のときである.

以下,この方程式が異なる$2$つの実数解をもつ場合について考え,この$2$つの実数解を$\alpha,\ \beta$とする.

(ii) 無限等比級数
\[ 1+\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)+\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)^2+\cdots +\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)^n+\cdots \]
が収束するのは,
\[ [カ][キ][ク]^\circ<\theta \leqq [ケ][コ][サ]^\circ \]
のときである.
(iii) 無限等比級数
\[ 1+\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)+\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)^2+\cdots +\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)^n+\cdots \]
が収束して,その和が$2-\sqrt{2}$となるのは,
\[ \theta=[シ][ス][セ]^\circ \]
のときである.

(3)$\triangle \mathrm{OAB}$において,辺$\mathrm{AB}$を$2:1$の比に内分する点を$\mathrm{C}$($\mathrm{AC}:\mathrm{CB}=2:1$),線分$\mathrm{OC}$を$1:2$の比に内分する点を$\mathrm{D}$($\mathrm{OD}:\mathrm{DC}=1:2$)とする.辺$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{P}$を,辺$\mathrm{OB}$上に点$\mathrm{Q}$を,線分$\mathrm{PQ}$が点$\mathrm{D}$を通るようにとる.

(i) $\displaystyle \frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OP}}+2 \times \frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{OQ}}=[ア]$である.


以下,$\mathrm{OA}=2$,$\mathrm{OB}=3$,$\angle \mathrm{AOB}=60^\circ$とする.


(ii) $\mathrm{OP}=1$のとき,$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は
\[ \frac{[イ]}{[ウ][エ]} \times \sqrt{[オ]} \]
である.
(iii) 線分$\mathrm{OP}$の長さと線分$\mathrm{OQ}$の長さの和$\mathrm{OP}+\mathrm{OQ}$がもっとも小さくなるように点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$をとるとき,
\[ \mathrm{OP}=\frac{[カ]+[キ] \sqrt{[ク]}}{[ケ]} \]
である.このとき,
\[ \mathrm{OP}+\mathrm{OQ}=\frac{[コ]+[サ] \sqrt{[シ]}}{[ス]} \]
である.
東京大学 国立 東京大学 2011年 第2問
実数$x$の小数部分を,$0 \leqq y<1$かつ$x-y$が整数となる実数$y$のこととし,これを記号$\langle x \rangle$で表す.実数$a$に対して,無限数列$\{a_n\}$の各項$a_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を次のように順次定める.
\[ a_1=\langle a\rangle \]
\[
\left\{
\begin{array}{l}
a_n \neq 0 \text{のとき,} \quad a_{n+1}= \displaystyle \left\langle \frac{1}{a} \right\rangle \\
a_n = 0 \text{のとき,} \quad a_{n+1}=0
\end{array}
\right.
\]

(1)$a=\sqrt{2}$のとき,数列$\{a_n\}$を求めよ.
(2)任意の自然数$n$に対して$a_n=a$となるような$\displaystyle \frac{1}{3}$以上の実数$a$をすべて求めよ.
東京大学 国立 東京大学 2011年 第2問
実数$x$の小数部分を,$0 \leqq y<1$かつ$x-y$が整数となる実数$y$のこととし,これを記号$\langle x \rangle$で表す.実数$a$に対して,無限数列$\{a_n\}$の各項$a_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を次のように順次定める.
\[ a_1=\langle a\rangle \]
\[
\left\{
\begin{array}{l}
a_n \neq 0 \text{のとき,} \quad a_{n+1}= \displaystyle \left\langle \frac{1}{a} \right\rangle \\
a_n = 0 \text{のとき,} \quad a_{n+1}=0
\end{array}
\right.
\]

(1)$a=\sqrt{2}$のとき,数列$\{a_n\}$を求めよ.
(2)任意の自然数$n$に対して$a_n=a$となるような$\displaystyle \frac{1}{3}$以上の実数$a$をすべて求めよ.
(3)$a$が有理数であるとする.$a$を整数$p$と自然数$q$を用いて$\displaystyle a=\frac{p}{q}$と表すとき,$q$以上のすべての自然数$n$に対して,$a_n=0$であることを示せ.
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「無限」とは・・・

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