次の問いに答えよ．

(1)$N$は自然数で$N^{10}$が$16$桁であるとする．このとき，$N^8$は何桁になるか求めよ．
(2)$\alpha$が無理数であり，$a,\ b$が有理数であるとき，
\[ a+b \alpha=0 \quad \text{ならば} \quad a=b=0 \]
であることを証明せよ．
(3)$a,\ b,\ c,\ x,\ y,\ z$を実数とする．

(i) $(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2) \geqq (ax+by+cz)^2$が成り立つことを示せ．
(ii) $x+y+z=1$のとき，$x^2+y^2+z^2$の最小値を求めよ．

$n$を自然数とし，$\theta$を$\displaystyle \cos \theta=-\frac{1}{3}$であるような実数とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\cos (n+1)x=2 \cos nx \cos x-\cos (n-1)x$が成り立つことを示せ．
(2)$\cos n\theta$は$\displaystyle \frac{m}{3^n}$という形の分数で表されることを示せ．ただし，$m$は整数で$|m|$は3を約数にもたない．
(3)(2)を用いて$\displaystyle \frac{\theta}{\pi}$は無理数であることを示せ．

$a,\ b$を実数とするとき，次のことを示せ．

(1)$a,\ b$の少なくとも$1$つが無理数であるための必要十分条件は，$a+b$，$a-b$の少なくとも$1$つが無理数となることである．
(2)$a+b,\ ab$がともに有理数であることは，$a,\ b$がともに有理数であるための必要条件であるが，十分条件ではない．
(3)$a+b,\ ab,\ a^3-b^3$がすべて有理数であれば，$a,\ b$はともに有理数である．

次の問に答えよ．

(1)$a,\ b$は整数で，$2$次方程式
\[ x^2 + ax + b= 0 \dotnum{A} \]
が異なる$2$つの実数解$\alpha,\ \beta$をもつとする．このとき，$\alpha,\ \beta$はともに整数であるか，ともに無理数であるかのいずれかであることを証明する．以下の問に答え，証明を完成させよ．\\
\quad まず，$b=0$のときは，$x^2+ax=0$であるから\maru{A}は整数解$0,\ -a$をもつ．以下では$ b \neq 0$とする．\\
\quad 解と係数の関係より，$\alpha + \beta = -a,\ \alpha\beta = b$であり，これらは整数である．有理数と無理数の和は有理数でなく，整数と整数以外の有理数の和は整数ではないという事実を用いると，$\alpha,\ \beta$がともに整数以外の有理数であるとして矛盾を導けばよい．\\
\quad そこで，$\alpha,\ \beta$が2以上の整数$p_1,\ p_2$と0でない整数$q_1,\ q_2$を用いて，既約分数
\[ \alpha = \frac{q_1}{p_1},\quad \beta = \frac{q_2}{p_2} \]
で表されると仮定する．ここに，$\displaystyle\frac{q_i}{p_i}\ (i=1,\ 2)$が既約分数であるとは，$p_i$と$|q_i|$の最大公約数が1であることをいう．このとき，
\[ \alpha + \beta = \frac{p_2q_1+p_1q_2}{p_1p_2} \cdots\cdots① \]
\[ \alpha\beta = \frac{q_1q_2}{p_1p_2} \cdots\cdots② \]
である．

(i) $①$において，$\alpha+\beta$が整数であることを用いて，$p_1=p_2$であることを示せ．
(ii) $②$において，$\alpha\beta$が整数であることと問\maru{1}の結果から，既約分数の仮定に矛盾することを示せ．

$(ⅱ)$の結果から，$\alpha,\ \beta$はともに整数であるか，ともに無理数であることが示された．
(2)$c$が自然数のとき，$\sqrt{c}$は自然数であるか無理数であることを証明せよ．

$[ア]$～$[エ]$にあてはまる数または式を記入せよ．

(1)関数
\[ f(x) = \int_0^1 |t^2-x^2| \, dt \]
の最小値は$[ア]$である．
(2)$n$を正の整数とする．$10^n$の正の約数すべての積は$[イ]$である．
(3)$\log_3n$が無理数となる$2011$以下の正の整数$n$は，全部で$[ウ]$個ある．
(4)関数$f(x)$は，次の$2$つの条件を満たしている．

(5)すべての実数$x$に対して，$f(3+x)=f(3-x)$
(6)$x$の値が，異なる$5$つの実数$a_1,\ a_2,\ a_3,\ a_4,\ a_5$のときに限り$f(x)=0$となる．

このとき$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=[エ]$である．

次の問いに答えよ．

(1)$n$は$0$または正の整数とする．$\comb{n}{0}+3 \cdot \comb{n}{1}+3^2 \cdot \comb{n}{2}+\cdots +3^n \cdot \comb{n}{n}=4^n$を示せ．
(2)$3$次方程式$x^3-x^2+2x-1=0$の実数解は無理数であることを，背理法を用いて示せ．

次の問いに答えよ．

(1)$p,\ q,\ r,\ s$を整数とする．このとき$p+q \sqrt{2}=r+s\sqrt{2}$が成り立つならば，$p=r$かつ$q=s$となることを示せ．ここで$\sqrt{2}$が無理数であることは使ってよい．
(2)自然数$n$に対し，$(3+2\sqrt{2})^n=a_n+b_n \sqrt{2}$を満たす整数$a_n,\ b_n$が存在することを数学的帰納法により示せ．
(3)$a_n,\ b_n$を(2)のものとする．このときすべての自然数$n$について$(x,\ y)=(a_n,\ b_n)$は方程式$x^2-2y^2=1$の解であることを数学的帰納法により示せ．

次の問いに答えよ．

(1)$p,\ q,\ r,\ s$を整数とする．このとき$p+q \sqrt{2}=r+s\sqrt{2}$が成り立つならば，$p=r$かつ$q=s$となることを示せ．ここで$\sqrt{2}$が無理数であることは使ってよい．
(2)自然数$n$に対し，$(3+2\sqrt{2})^n=a_n+b_n \sqrt{2}$を満たす整数$a_n,\ b_n$が存在することを数学的帰納法により示せ．
(3)$a_n,\ b_n$を(2)のものとする．このときすべての自然数$n$について$(x,\ y)=(a_n,\ b_n)$は方程式$x^2-2y^2=1$の解であることを数学的帰納法により示せ．

行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$に関する以下の問に答えよ．$E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr)$，$O=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \biggr)$とおく．

(1)$A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O$を証明せよ．
(2)$a,\ b,\ c,\ d$が有理数のとき，$A^3=5E$は成り立たないことを証明せよ．$\sqrt[3]{5}$は無理数であることを使ってよい．
(3)$a,\ b,\ c,\ d$が実数のとき，$A^6=-E$を満たす$A$の$a+d$と$ad-bc$の組$(a+d,\ ad-bc)$をすべて求めよ．その各々の組に対し，それを与える$A$の例を1つずつ記せ．

4次方程式の解について，次の問いに答えよ．ただし，次のことは既知としてよい．
\begin{screen}
自然数$k,\ l,\ m$が次の条件

\mon[(イ)] $k$と$l$は1以外の公約数をもたない
\mon[(ロ)] $k$は$lm$の約数である

を満たすならば，$k$は$m$の約数である．
\end{screen}

(1)$a,\ b,\ c,\ d$は整数で，$d \neq 0$とする．次の方程式
\[ x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0 \]
が有理数の解$r$をもつとき，$|\,r\,|$は自然数であり，かつ$|\,d\,|$の約数に限ることを証明せよ．
(2)次の方程式
\[ 2x^4-2x-1=0 \]
の実数解はすべて無理数であることを証明せよ．