「無理数」について
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国立 筑波大学 2014年 第4問平面上の直線$\ell$に同じ側で接する$2$つの円$C_1$，$C_2$があり，$C_1$と$C_2$も互いに外接している．$\ell$，$C_1$，$C_2$で囲まれた領域内に，これら$3$つと互いに接する円$C_3$を作る．同様に$\ell$，$C_n$，$C_{n+1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で囲まれた領域内にあり，これら$3$つと互いに接する円を$C_{n+2}$とする．円$C_n$の半径を$r_n$とし，$\displaystyle x_n=\frac{1}{\sqrt{r_n}}$とおく．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，$r_1=16$，$r_2=9$とする．
(1)$\ell$が$C_1$，$C_2$，$C_3$と接する点を，それぞれ$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_3$とおく．線分$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_3$，$\mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3$の長さおよび$r_3$の値を求めよ．
(2)ある定数$a,\ b$に対して$x_{n+2}=ax_{n+1}+bx_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$となることを示せ．$a,\ b$の値も求めよ．
(3)$(2)$で求めた$a,\ b$に対して，$2$次方程式$t^2=at+b$の解を$\alpha,\ \beta (\alpha>\beta)$とする．$x_1=c \alpha^2+d \beta^2$を満たす有理数$c,\ d$の値を求めよ．ただし，$\sqrt{5}$が無理数であることは証明なしで用いてよい．
(4)$(3)$の$c,\ d,\ \alpha,\ \beta$に対して，
\[ x_n=c \alpha^{n+1}+d \beta^{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
となることを示し，数列$\{r_n\}$の一般項を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
（図は省略）
(1)$\ell$が$C_1$，$C_2$，$C_3$と接する点を，それぞれ$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_3$とおく．線分$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_3$，$\mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3$の長さおよび$r_3$の値を求めよ．
(2)ある定数$a,\ b$に対して$x_{n+2}=ax_{n+1}+bx_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$となることを示せ．$a,\ b$の値も求めよ．
(3)$(2)$で求めた$a,\ b$に対して，$2$次方程式$t^2=at+b$の解を$\alpha,\ \beta (\alpha>\beta)$とする．$x_1=c \alpha^2+d \beta^2$を満たす有理数$c,\ d$の値を求めよ．ただし，$\sqrt{5}$が無理数であることは証明なしで用いてよい．
(4)$(3)$の$c,\ d,\ \alpha,\ \beta$に対して，
\[ x_n=c \alpha^{n+1}+d \beta^{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
となることを示し，数列$\{r_n\}$の一般項を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
（図は省略）
国立 鹿児島大学 2014年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$を，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}$をとり，線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が同一円周上にあり，さらに角のあいだに
\[ \angle \mathrm{AEB}=2 \angle \mathrm{ABE}=4 \angle \mathrm{ACD} \]
という関係が成り立つとき，$\angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(2)$4$個のさいころを同時に投げるとき，$3$の倍数の目のみが出る確率を求めよ．
(3)正の実数$x,\ y$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(i) $x$が無理数かつ$y$が有理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
(ii) $x$が無理数かつ$y$が無理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$を，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}$をとり，線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が同一円周上にあり，さらに角のあいだに
\[ \angle \mathrm{AEB}=2 \angle \mathrm{ABE}=4 \angle \mathrm{ACD} \]
という関係が成り立つとき，$\angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(2)$4$個のさいころを同時に投げるとき，$3$の倍数の目のみが出る確率を求めよ．
(3)正の実数$x,\ y$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(i) $x$が無理数かつ$y$が有理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
(ii) $x$が無理数かつ$y$が無理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
国立 鹿児島大学 2014年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$を，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}$をとり，線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が同一円周上にあり，さらに角のあいだに
\[ \angle \mathrm{AEB}=2 \angle \mathrm{ABE}=4 \angle \mathrm{ACD} \]
という関係が成り立つとき，$\angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(2)$4$個のさいころを同時に投げるとき，$3$の倍数の目のみが出る確率を求めよ．
(3)正の実数$x,\ y$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(i) $x$が無理数かつ$y$が有理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
(ii) $x$が無理数かつ$y$が無理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$を，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}$をとり，線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が同一円周上にあり，さらに角のあいだに
\[ \angle \mathrm{AEB}=2 \angle \mathrm{ABE}=4 \angle \mathrm{ACD} \]
という関係が成り立つとき，$\angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(2)$4$個のさいころを同時に投げるとき，$3$の倍数の目のみが出る確率を求めよ．
(3)正の実数$x,\ y$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(i) $x$が無理数かつ$y$が有理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
(ii) $x$が無理数かつ$y$が無理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
国立 鹿児島大学 2014年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$を，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}$をとり，線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が同一円周上にあり，さらに角のあいだに
\[ \angle \mathrm{AEB}=2 \angle \mathrm{ABE}=4 \angle \mathrm{ACD} \]
という関係が成り立つとき，$\angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(2)$4$個のさいころを同時に投げるとき，$3$の倍数の目のみが出る確率を求めよ．
(3)正の実数$x,\ y$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(i) $x$が無理数かつ$y$が有理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
(ii) $x$が無理数かつ$y$が無理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
(1)三角形$\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$を，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}$をとり，線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が同一円周上にあり，さらに角のあいだに
\[ \angle \mathrm{AEB}=2 \angle \mathrm{ABE}=4 \angle \mathrm{ACD} \]
という関係が成り立つとき，$\angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(2)$4$個のさいころを同時に投げるとき，$3$の倍数の目のみが出る確率を求めよ．
(3)正の実数$x,\ y$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．
(i) $x$が無理数かつ$y$が有理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
(ii) $x$が無理数かつ$y$が無理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
国立 福井大学 2014年 第4問以下の問いに答えよ．
(1)$n$を正の整数として，以下の問いに答えよ．ただし，自然対数の底$e$は無理数であることを証明せずに用いてよい．
(i) 等式$\displaystyle \int_0^1 t^ne^t \, dt=a_ne+b_n$が成り立つ整数$a_n$，$b_n$がただ$1$組存在することを示せ．
(ii) $a_{n+1}b_n-a_nb_{n+1}$の値を求めよ．
(2)区間$\displaystyle \left[ 0,\ \frac{\pi}{2} \right]$で連続な関数$f(x)$に対し，等式$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}} f \left( \frac{\pi}{2}-x \right) \, dx$が成り立つことを証明せよ．さらに，それを利用して次の定積分の値を求めよ．
\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin 3x}{\sin x+\cos x} \, dx \]
(1)$n$を正の整数として，以下の問いに答えよ．ただし，自然対数の底$e$は無理数であることを証明せずに用いてよい．
(i) 等式$\displaystyle \int_0^1 t^ne^t \, dt=a_ne+b_n$が成り立つ整数$a_n$，$b_n$がただ$1$組存在することを示せ．
(ii) $a_{n+1}b_n-a_nb_{n+1}$の値を求めよ．
(2)区間$\displaystyle \left[ 0,\ \frac{\pi}{2} \right]$で連続な関数$f(x)$に対し，等式$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}} f \left( \frac{\pi}{2}-x \right) \, dx$が成り立つことを証明せよ．さらに，それを利用して次の定積分の値を求めよ．
\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin 3x}{\sin x+\cos x} \, dx \]
国立 山口大学 2014年 第3問次の問いに答えなさい．
(1)$2$つの整数$a,\ b$が$1+\sqrt{2}=a+b \sqrt{2}$を満たすならば，$a=b=1$であることを示しなさい．ただし，$\sqrt{2}$が無理数であることは示さなくてよい．
(2)$k$を自然数とする．$2$つの整数$a,\ b$が$(1+\sqrt{2})^{k+1}=a+b \sqrt{2}$を満たしているとき，$(1+\sqrt{2})^k=a^\prime+b^\prime \sqrt{2}$を満たす整数$a^\prime,\ b^\prime$を$a,\ b$を用いて表しなさい．
(3)すべての自然数$n$に対して，
命題「$2$つの整数$a,\ b$が$(1+\sqrt{2})^n=a+b \sqrt{2}$を満たしているならば，$(1-\sqrt{2})^n=a-b \sqrt{2}$である」
が成り立つことを数学的帰納法を用いて示しなさい．
(1)$2$つの整数$a,\ b$が$1+\sqrt{2}=a+b \sqrt{2}$を満たすならば，$a=b=1$であることを示しなさい．ただし，$\sqrt{2}$が無理数であることは示さなくてよい．
(2)$k$を自然数とする．$2$つの整数$a,\ b$が$(1+\sqrt{2})^{k+1}=a+b \sqrt{2}$を満たしているとき，$(1+\sqrt{2})^k=a^\prime+b^\prime \sqrt{2}$を満たす整数$a^\prime,\ b^\prime$を$a,\ b$を用いて表しなさい．
(3)すべての自然数$n$に対して，
命題「$2$つの整数$a,\ b$が$(1+\sqrt{2})^n=a+b \sqrt{2}$を満たしているならば，$(1-\sqrt{2})^n=a-b \sqrt{2}$である」
が成り立つことを数学的帰納法を用いて示しなさい．
私立 慶應義塾大学 2014年 第5問次の設問に答えなさい．
(1)有理数の定義を書きなさい．
(2)次のそれぞれの命題の真偽を記入し，真の場合はそれを証明し，偽の場合はその理由を述べなさい．
(i) $\sqrt{5}$は無理数である．
(ii) $r,\ s$がともに有理数ならば，積$rs$は有理数である．
(iii) $\alpha$が無理数で，$r$が$0$でない有理数ならば，積$\alpha r$は無理数である．
\mon[$\tokeishi$] $\alpha,\ \beta$がともに無理数ならば，積$\alpha \beta$は無理数である．
(1)有理数の定義を書きなさい．
(2)次のそれぞれの命題の真偽を記入し，真の場合はそれを証明し，偽の場合はその理由を述べなさい．
(i) $\sqrt{5}$は無理数である．
(ii) $r,\ s$がともに有理数ならば，積$rs$は有理数である．
(iii) $\alpha$が無理数で，$r$が$0$でない有理数ならば，積$\alpha r$は無理数である．
\mon[$\tokeishi$] $\alpha,\ \beta$がともに無理数ならば，積$\alpha \beta$は無理数である．
公立 岩手県立大学 2014年 第2問以下の問いに答えなさい．
$\sin \theta-\cos \theta$が無理数であることを示したい．ここで，$\theta$は以下を満たすものとする．
\[ \sin \theta \cos \theta=\frac{1}{4} \quad \text{ただし，} \frac{1}{4} \pi<\theta<\frac{1}{2} \pi \]
(1)$\theta$の値を答えなさい．
(2)$\sin \theta-\cos \theta$の値を答えなさい．
(3)$(2)$で求めた値が無理数であることを背理法を用いて証明しなさい．なお，必要であれば$\sqrt{2}$と$\sqrt{3}$が無理数であることを利用してもよい．
$\sin \theta-\cos \theta$が無理数であることを示したい．ここで，$\theta$は以下を満たすものとする．
\[ \sin \theta \cos \theta=\frac{1}{4} \quad \text{ただし，} \frac{1}{4} \pi<\theta<\frac{1}{2} \pi \]
(1)$\theta$の値を答えなさい．
(2)$\sin \theta-\cos \theta$の値を答えなさい．
(3)$(2)$で求めた値が無理数であることを背理法を用いて証明しなさい．なお，必要であれば$\sqrt{2}$と$\sqrt{3}$が無理数であることを利用してもよい．
国立 京都教育大学 2013年 第2問$\sqrt{2}+\sqrt{5}$が無理数であることを証明せよ．ただし，$\sqrt{10}$が無理数であることを用いてよい．
私立 北里大学 2013年 第1問次の各文の$[ ]$にあてはまる答を求めよ．
(1)$\displaystyle x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$のとき，$x^2+x$の値は$[ア]$であり，$x^4-x^3$の値は$[イ]$である．
(2)$10$人の生徒をいくつかのグループに分ける．このとき
(i) $2$人，$3$人，$5$人の$3$つのグループに分ける分け方は$[ウ]$通りある．
(ii) $3$人，$3$人，$4$人の$3$つのグループに分ける分け方は$[エ]$通りある．
(iii) $2$人，$2$人，$3$人，$3$人の$4$つのグループに分ける分け方は$[オ]$通りある．
(3)次の命題または式のうち正しいものの番号をすべてあげると$[カ]$となる．
\mon[$①$] $0 \leqq 0$
\mon[$②$] $\sqrt{(-3)^6}=(-3)^3$
\mon[$③$] 実数$x$が$\displaystyle \frac{9}{4}<x \leqq \frac{88}{39}$を満たすならば，$0<-12x^2+55x-63$である．
\mon[$④$] $a,\ b$が共に無理数であるならば，$a+b$と$a-b$の少なくとも一方は無理数である．
\mon[$⑤$] すべての実数$x$に対して，$\displaystyle -3x^2-2x+\frac{1}{3}<-2x^2-5x+\frac{31}{12}$である．
(1)$\displaystyle x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$のとき，$x^2+x$の値は$[ア]$であり，$x^4-x^3$の値は$[イ]$である．
(2)$10$人の生徒をいくつかのグループに分ける．このとき
(i) $2$人，$3$人，$5$人の$3$つのグループに分ける分け方は$[ウ]$通りある．
(ii) $3$人，$3$人，$4$人の$3$つのグループに分ける分け方は$[エ]$通りある．
(iii) $2$人，$2$人，$3$人，$3$人の$4$つのグループに分ける分け方は$[オ]$通りある．
(3)次の命題または式のうち正しいものの番号をすべてあげると$[カ]$となる．
\mon[$①$] $0 \leqq 0$
\mon[$②$] $\sqrt{(-3)^6}=(-3)^3$
\mon[$③$] 実数$x$が$\displaystyle \frac{9}{4}<x \leqq \frac{88}{39}$を満たすならば，$0<-12x^2+55x-63$である．
\mon[$④$] $a,\ b$が共に無理数であるならば，$a+b$と$a-b$の少なくとも一方は無理数である．
\mon[$⑤$] すべての実数$x$に対して，$\displaystyle -3x^2-2x+\frac{1}{3}<-2x^2-5x+\frac{31}{12}$である．