「無作為」について
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私立 慶應義塾大学 2012年 第1問$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の係数$a,\ b$を次のようにして決める．\\
$1$から$6$までの目のある正$6$面体のサイコロを$2$回投げる．$1$回目に出た目の数を$a$，$2$回目に出た目の数を$b$とする．このとき$2$次方程式の解が実数である確率は
\[ \frac{[(1)][(2)]}{[(3)][(4)]} \]
である．\\
\quad 次に$m$を自然数として，$1$から$4m$まで書かれた$4m$枚のカードから無作為に$1$枚のカードを選び，書かれた数の正の平方根を$a$とする．選んだカードをもとに戻し，再び無作為に$1$枚のカードを選び，書かれた数を$b$とする．このとき$x^2+ax+b=0$の解が実数である確率は
\[ \frac{[(5)]m-[(6)]}{[(7)][(8)]m} \]
である．
$1$から$6$までの目のある正$6$面体のサイコロを$2$回投げる．$1$回目に出た目の数を$a$，$2$回目に出た目の数を$b$とする．このとき$2$次方程式の解が実数である確率は
\[ \frac{[(1)][(2)]}{[(3)][(4)]} \]
である．\\
\quad 次に$m$を自然数として，$1$から$4m$まで書かれた$4m$枚のカードから無作為に$1$枚のカードを選び，書かれた数の正の平方根を$a$とする．選んだカードをもとに戻し，再び無作為に$1$枚のカードを選び，書かれた数を$b$とする．このとき$x^2+ax+b=0$の解が実数である確率は
\[ \frac{[(5)]m-[(6)]}{[(7)][(8)]m} \]
である．
私立 上智大学 2012年 第3問$1$から$9$までの数字が$1$つずつ書かれた$9$枚のカードがある．これらを$3$枚ずつ$3$つのグループに無作為に分け，それぞれのグループから最も大きい数が書かれたカードを取り出す．
(1)取り出された$3$枚のカードの中に$9$が書かれたカードが含まれる確率は$\displaystyle \frac{[ミ]}{[ム]}$である．
(2)取り出された$3$枚のカードの中に$8$が書かれたカードが含まれる確率は$\displaystyle \frac{[メ]}{[モ]}$である．
(3)取り出された$3$枚のカードの中に$3$が書かれたカードが含まれる確率は$\displaystyle \frac{[ヤ]}{[ユ]}$である．
(4)取り出された$3$枚のカードの中に$6$が書かれたカードが含まれる確率は$\displaystyle \frac{[ヨ]}{[ラ]}$である．
(5)取り出された$3$枚のカードに書かれた数の中で，最小の数が$6$である確率は$\displaystyle \frac{[リ]}{[ル]}$である．
(1)取り出された$3$枚のカードの中に$9$が書かれたカードが含まれる確率は$\displaystyle \frac{[ミ]}{[ム]}$である．
(2)取り出された$3$枚のカードの中に$8$が書かれたカードが含まれる確率は$\displaystyle \frac{[メ]}{[モ]}$である．
(3)取り出された$3$枚のカードの中に$3$が書かれたカードが含まれる確率は$\displaystyle \frac{[ヤ]}{[ユ]}$である．
(4)取り出された$3$枚のカードの中に$6$が書かれたカードが含まれる確率は$\displaystyle \frac{[ヨ]}{[ラ]}$である．
(5)取り出された$3$枚のカードに書かれた数の中で，最小の数が$6$である確率は$\displaystyle \frac{[リ]}{[ル]}$である．
私立 産業医科大学 2012年 第1問空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを記入しなさい．
(1)実数$x$に対して，$x$以下の最大の整数を$[x]$で表す．例えば$[3]=3$，$[3.14]=3$，$[-3.14]=-4$である．実数$x$について，方程式$4x-3[x]=0$の解の個数は$[ ]$であり，方程式$x^2-3x+[3x]=0$の解の個数は$[ ]$である．
(2)$a,\ b,\ c$を$a+b+c=\pi$を満たす正の実数とするとき，$\sin (a) \sin (b) \sin (c)$の最大値は$[ ]$である．
(3)原点を$\mathrm{O}$とする座標空間内の$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ -1,\ 1)$，$\mathrm{C}(1,\ 1,\ -1)$について$\triangle \mathrm{ABC}$は正三角形である．$\triangle \mathrm{ABC}$を$1$つの面にもつ正四面体の他の頂点$\mathrm{D}$の座標は$[ ]$または$[ ]$である．
(4)定積分$\displaystyle \int_3^4 \frac{6x+5}{x^3-3x-2} \, dx$の値は$[ ]$である．
(5)$123$から$789$までの$3$桁の数から，$1$つを無作為に選び出すとき，同じ数字が$2$つ以上含まれている確率は$[ ]$である．
(6)数直線上の点$\mathrm{P}$は，原点$\mathrm{O}$を出発して，次のルールに従って移動するとする．
「$1$つのさいころを振り，$3$以下の目が出たときは右に$1$，$5$以上の目が出たときは左に$1$，それぞれ動く．また，$4$の目が出たときは動かない．点$\mathrm{P}$の座標が$-1$になったら，さいころを振るのを止め点$\mathrm{P}$はそこにとどまる．それ以外のときは，さいころをまた振る．」
さいころを多くとも$3$回振り移動も終えた後の，点$\mathrm{P}$の座標の期待値は$[ ]$である．
(1)実数$x$に対して，$x$以下の最大の整数を$[x]$で表す．例えば$[3]=3$，$[3.14]=3$，$[-3.14]=-4$である．実数$x$について，方程式$4x-3[x]=0$の解の個数は$[ ]$であり，方程式$x^2-3x+[3x]=0$の解の個数は$[ ]$である．
(2)$a,\ b,\ c$を$a+b+c=\pi$を満たす正の実数とするとき，$\sin (a) \sin (b) \sin (c)$の最大値は$[ ]$である．
(3)原点を$\mathrm{O}$とする座標空間内の$3$点$\mathrm{A}(-1,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ -1,\ 1)$，$\mathrm{C}(1,\ 1,\ -1)$について$\triangle \mathrm{ABC}$は正三角形である．$\triangle \mathrm{ABC}$を$1$つの面にもつ正四面体の他の頂点$\mathrm{D}$の座標は$[ ]$または$[ ]$である．
(4)定積分$\displaystyle \int_3^4 \frac{6x+5}{x^3-3x-2} \, dx$の値は$[ ]$である．
(5)$123$から$789$までの$3$桁の数から，$1$つを無作為に選び出すとき，同じ数字が$2$つ以上含まれている確率は$[ ]$である．
(6)数直線上の点$\mathrm{P}$は，原点$\mathrm{O}$を出発して，次のルールに従って移動するとする．
「$1$つのさいころを振り，$3$以下の目が出たときは右に$1$，$5$以上の目が出たときは左に$1$，それぞれ動く．また，$4$の目が出たときは動かない．点$\mathrm{P}$の座標が$-1$になったら，さいころを振るのを止め点$\mathrm{P}$はそこにとどまる．それ以外のときは，さいころをまた振る．」
さいころを多くとも$3$回振り移動も終えた後の，点$\mathrm{P}$の座標の期待値は$[ ]$である．
私立 安田女子大学 2012年 第4問$100 \, \mathrm{g}$の食塩水が入ったコップが$10$個ある．ただし，食塩水の濃度はコップごとに異なり，$1 \, \%$，$2 \, \%$，$\cdots$，$10 \, \%$が$1$個ずつとなっている．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$10$個のコップの中から無作為にコップを$1$個選ぶとき，選んだ食塩水の濃度が$3 \, \%$以上となる確率を求めよ．
(2)$10$個のコップの中から無作為にコップを$2$個選び，選んだコップの全ての食塩水を一つの空の大きな器に入れてよく混ぜ，新たに食塩水を作る．このとき，作った食塩水の濃度が$3 \, \%$以上となる確率を求めよ．
(3)$10$個のコップの中から無作為にコップを$3$個選び，選んだコップの全ての食塩水を一つの空の大きな器に入れてよく混ぜ，新たに食塩水を作る．このとき，作った食塩水の濃度が$3 \, \%$以上となる確率を求めよ．
(1)$10$個のコップの中から無作為にコップを$1$個選ぶとき，選んだ食塩水の濃度が$3 \, \%$以上となる確率を求めよ．
(2)$10$個のコップの中から無作為にコップを$2$個選び，選んだコップの全ての食塩水を一つの空の大きな器に入れてよく混ぜ，新たに食塩水を作る．このとき，作った食塩水の濃度が$3 \, \%$以上となる確率を求めよ．
(3)$10$個のコップの中から無作為にコップを$3$個選び，選んだコップの全ての食塩水を一つの空の大きな器に入れてよく混ぜ，新たに食塩水を作る．このとき，作った食塩水の濃度が$3 \, \%$以上となる確率を求めよ．
公立 北九州市立大学 2012年 第4問赤球$2$個，青球$3$個，緑球$1$個が入った白い箱がある．この白い箱から無作為に$1$個の球を取り出し，球の色を確認後，球を白い箱に戻す作業を試行$\mathrm{A}$とする．以下の問いに答えよ．
(1)試行$\mathrm{A}$を$5$回繰り返すときに，取り出される$5$個の球のうち，$3$個が青球である確率を求めよ．
(2)試行$\mathrm{A}$を$4$回繰り返すときに，少なくとも赤球が$2$個出る確率を求めよ．
次に，赤い箱，青い箱，緑の箱に数字の書かれたカードが$4$枚ずつ入っていて，それぞれの箱のカードに書かれた数字と枚数は次の通りとする．
\begin{itemize}
赤い箱：$1$が$2$枚，$2$が$1$枚，$3$が$1$枚
青い箱：$1$が$1$枚，$2$が$2$枚，$3$が$1$枚
緑の箱：$1$が$2$枚，$2$が$2$枚
\end{itemize}
試行$\mathrm{A}$を$1$回実施し，取り出した球と同じ色の箱から無作為に$1$枚のカードを取り出し，カードに書かれた数字を確認後，カードを元の箱に戻す作業を試行$\mathrm{B}$とする．
(3)試行$\mathrm{B}$を$1$回実施するときに，出る数字の期待値を求めよ．
(4)試行$\mathrm{B}$を$2$回繰り返すときに，出る$2$個の数字の合計が偶数である確率を求めよ．
(5)動点$\mathrm{P}$は数直線上の原点から出発し，奇数回目の試行$\mathrm{B}$で出た数字の分だけ正の方向に動き，偶数回目の試行$\mathrm{B}$で出た数字の分だけ負の方向に動くこととする．試行$\mathrm{B}$を$4$回繰り返したとき，動点$\mathrm{P}$の座標が$3$である確率を求めよ．
(1)試行$\mathrm{A}$を$5$回繰り返すときに，取り出される$5$個の球のうち，$3$個が青球である確率を求めよ．
(2)試行$\mathrm{A}$を$4$回繰り返すときに，少なくとも赤球が$2$個出る確率を求めよ．
次に，赤い箱，青い箱，緑の箱に数字の書かれたカードが$4$枚ずつ入っていて，それぞれの箱のカードに書かれた数字と枚数は次の通りとする．
\begin{itemize}
赤い箱：$1$が$2$枚，$2$が$1$枚，$3$が$1$枚
青い箱：$1$が$1$枚，$2$が$2$枚，$3$が$1$枚
緑の箱：$1$が$2$枚，$2$が$2$枚
\end{itemize}
試行$\mathrm{A}$を$1$回実施し，取り出した球と同じ色の箱から無作為に$1$枚のカードを取り出し，カードに書かれた数字を確認後，カードを元の箱に戻す作業を試行$\mathrm{B}$とする．
(3)試行$\mathrm{B}$を$1$回実施するときに，出る数字の期待値を求めよ．
(4)試行$\mathrm{B}$を$2$回繰り返すときに，出る$2$個の数字の合計が偶数である確率を求めよ．
(5)動点$\mathrm{P}$は数直線上の原点から出発し，奇数回目の試行$\mathrm{B}$で出た数字の分だけ正の方向に動き，偶数回目の試行$\mathrm{B}$で出た数字の分だけ負の方向に動くこととする．試行$\mathrm{B}$を$4$回繰り返したとき，動点$\mathrm{P}$の座標が$3$である確率を求めよ．
国立 岩手大学 2011年 第2問1から12までの自然数が1つずつ書かれた12個の玉が入っている袋がある．「この袋の中から無作為に玉を1個取り出し，その玉に書かれている自然数を記録してから袋の中に戻す」という操作を5回繰り返すとき，次の問いに答えよ．
(1)記録された5つの数の中に，少なくとも2つ同じ数がある確率は，$60\%$より大きいかどうか，判定せよ．
(2)記録された5つの数の中に，少なくとも3つ同じ数がある確率を求めよ．
(1)記録された5つの数の中に，少なくとも2つ同じ数がある確率は，$60\%$より大きいかどうか，判定せよ．
(2)記録された5つの数の中に，少なくとも3つ同じ数がある確率を求めよ．
国立 滋賀大学 2011年 第1問$n$を$3$以上の整数とする．$2n$個の整数$1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ 2n$から無作為に異なる$3$個の数を選ぶとき，次の問いに答えよ．
(1)$3$個の数を小さい順に並べた数列が，公差$2$の等差数列である選び方は何通りあるか．
(2)$3$個の数を小さい順に並べた数列が，等差数列である確率を求めよ．
(1)$3$個の数を小さい順に並べた数列が，公差$2$の等差数列である選び方は何通りあるか．
(2)$3$個の数を小さい順に並べた数列が，等差数列である確率を求めよ．
国立 岩手大学 2011年 第2問1から12までの自然数が1つずつ書かれた12個の玉が入っている袋がある．「この袋の中から無作為に玉を1個取り出し，その玉に書かれている自然数を記録してから袋の中に戻す」という操作を5回繰り返すとき，次の問いに答えよ．
(1)記録された5つの数の中に，少なくとも2つ同じ数がある確率は，$60\%$より大きいかどうか，判定せよ．
(2)記録された5つの数の中に，少なくとも3つ同じ数がある確率を求めよ．
(1)記録された5つの数の中に，少なくとも2つ同じ数がある確率は，$60\%$より大きいかどうか，判定せよ．
(2)記録された5つの数の中に，少なくとも3つ同じ数がある確率を求めよ．
国立 神戸大学 2011年 第3問袋の中に0から4までの数字のうち1つが書かれたカードが1枚ずつ合計5枚入っている．4つの数$0,\ 3,\ 6,\ 9$をマジックナンバーと呼ぶことにする．次のようなルールをもつ，1人で行うゲームを考える．\\
\quad ルール：袋から無作為に 1 枚ずつカードを取り出していく．ただし，一度取
り出したカードは袋に戻さないものとする．取り出したカードの数字の合計がマ
ジックナンバーになったとき，その時点で負けとし，それ以降はカードを取り出
さない．途中で負けとなることなく，すべてのカードを取り出せたとき，勝ちと
する．以下の問に答えよ．
(1)2枚のカードを取り出したところで負けとなる確率を求めよ．
(2)3枚のカードを取り出したところで負けとなる確率を求めよ．
(3)このゲームで勝つ確率を求めよ．
\quad ルール：袋から無作為に 1 枚ずつカードを取り出していく．ただし，一度取
り出したカードは袋に戻さないものとする．取り出したカードの数字の合計がマ
ジックナンバーになったとき，その時点で負けとし，それ以降はカードを取り出
さない．途中で負けとなることなく，すべてのカードを取り出せたとき，勝ちと
する．以下の問に答えよ．
(1)2枚のカードを取り出したところで負けとなる確率を求めよ．
(2)3枚のカードを取り出したところで負けとなる確率を求めよ．
(3)このゲームで勝つ確率を求めよ．
私立 北星学園大学 2011年 第2問$6$人座れる円形のテーブルが$2$つあり，ここに$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人を含む$10$人が各テーブルに$5$人ずつ無作為に着席するものとする．ただし，それぞれのテーブルについて回転して同じになる座り方は同じとみなす．以下の問に答えよ．
(1)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人が同じテーブルに座る座り方は何通りあるか．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人が同じテーブルに座る確率を求めよ．
(3)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人が同じテーブルで隣り合わせに座る確率を求めよ．
(1)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人が同じテーブルに座る座り方は何通りあるか．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人が同じテーブルに座る確率を求めよ．
(3)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人が同じテーブルで隣り合わせに座る確率を求めよ．