「無作為」について
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公立 名古屋市立大学 2014年 第3問円周上に等間隔に$n$個（$n \geqq 4$）の点が配置されている．これらの点から異なる$3$点を無作為に選び出し，それらを頂点とする三角形をつくる．次の問いに答えよ．
(1)$n=8$のとき，三角形が直角三角形になる確率を求めよ．
(2)$n$が偶数であるとき，三角形が直角三角形になる確率を$n$の式で表せ．
(3)$n=12$のとき，三角形が鈍角三角形になる確率を求めよ．
(1)$n=8$のとき，三角形が直角三角形になる確率を求めよ．
(2)$n$が偶数であるとき，三角形が直角三角形になる確率を$n$の式で表せ．
(3)$n=12$のとき，三角形が鈍角三角形になる確率を求めよ．
公立 島根県立大学 2014年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\displaystyle \frac{\sin {2014}^\circ}{\log_{10}25}$の値を求めよ．ただし，$\sin {34}^\circ=0.56$，$\log_{10}2=0.30$とする．
(2)$1$から$6$までの整数が$1$つずつ書かれた$6$枚のカードから$3$枚のカードを無作為に取り出す．$1$枚目に取り出したカードに書かれた数字を$a$，$2$枚目を$b$，$3$枚目を$c$とする．このとき，$a,\ b,\ c$を係数に含む$x$に関する$2$次方程式$ax^2+2bx+c=0$が重解を持つ確率を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{5y}=\frac{1}{5}$を満たす自然数の組$(x,\ y)$をすべて求めよ．
(4)下の図において，$\mathrm{AB}=a$，$\mathrm{AC}=b$，$\mathrm{AD}=c$のとき，$\cos \angle \mathrm{ABD}$を$a,\ b,\ c$を用いて表しなさい．ただし，$\mathrm{BC}$は円$\mathrm{O}$の直径とし，点$\mathrm{A}$における円の接線と直線$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．
（図は省略）
(1)$\displaystyle \frac{\sin {2014}^\circ}{\log_{10}25}$の値を求めよ．ただし，$\sin {34}^\circ=0.56$，$\log_{10}2=0.30$とする．
(2)$1$から$6$までの整数が$1$つずつ書かれた$6$枚のカードから$3$枚のカードを無作為に取り出す．$1$枚目に取り出したカードに書かれた数字を$a$，$2$枚目を$b$，$3$枚目を$c$とする．このとき，$a,\ b,\ c$を係数に含む$x$に関する$2$次方程式$ax^2+2bx+c=0$が重解を持つ確率を求めよ．
(3)$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{5y}=\frac{1}{5}$を満たす自然数の組$(x,\ y)$をすべて求めよ．
(4)下の図において，$\mathrm{AB}=a$，$\mathrm{AC}=b$，$\mathrm{AD}=c$のとき，$\cos \angle \mathrm{ABD}$を$a,\ b,\ c$を用いて表しなさい．ただし，$\mathrm{BC}$は円$\mathrm{O}$の直径とし，点$\mathrm{A}$における円の接線と直線$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とする．
（図は省略）
国立 千葉大学 2013年 第4問$1$から$9$までの番号をつけた$9$枚のカードがある．これらを無作為に$1$列に並べる試行を行う．
(1)下記の条件(A)が成り立つ確率を求めよ．
(2)下記の条件(B)が成り立つ確率を求めよ．
(3)条件(A)，(B)が同時に成り立つ確率を求めよ．
ただし，条件(A)，(B)は次の通りである．
\mon[(A)] 番号$1$のカードと番号$2$のカードは隣り合わない．
\mon[(B)] 番号$8$のカードと番号$9$のカードの間には，ちょうど$1$枚のカードがある．
(1)下記の条件(A)が成り立つ確率を求めよ．
(2)下記の条件(B)が成り立つ確率を求めよ．
(3)条件(A)，(B)が同時に成り立つ確率を求めよ．
ただし，条件(A)，(B)は次の通りである．
\mon[(A)] 番号$1$のカードと番号$2$のカードは隣り合わない．
\mon[(B)] 番号$8$のカードと番号$9$のカードの間には，ちょうど$1$枚のカードがある．
国立 岩手大学 2013年 第2問$9$個の自然数$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9$から相異なる$3$つの数を無作為に選び，それらを大きい順に並び変えたものを$X_1,\ X_2,\ X_3$ \ $(X_1>X_2>X_3)$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$X_2$が$a \ (2 \leqq a \leqq 8)$以下になる確率を求めよ．
(2)$X_2$が$a$である確率が最大となるような$a$，およびそのときの確率を求めよ．
(1)$X_2$が$a \ (2 \leqq a \leqq 8)$以下になる確率を求めよ．
(2)$X_2$が$a$である確率が最大となるような$a$，およびそのときの確率を求めよ．
国立 岩手大学 2013年 第2問$9$個の自然数$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9$から相異なる$3$つの数を無作為に選び，それらを大きい順に並び変えたものを$X_1,\ X_2,\ X_3$ \ $(X_1>X_2>X_3)$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$X_2$が$a \ (2 \leqq a \leqq 8)$以下になる確率を求めよ．
(2)$X_2$が$a$である確率が最大となるような$a$，およびそのときの確率を求めよ．
(1)$X_2$が$a \ (2 \leqq a \leqq 8)$以下になる確率を求めよ．
(2)$X_2$が$a$である確率が最大となるような$a$，およびそのときの確率を求めよ．
国立 大阪大学 2013年 第5問$n$を3以上の整数とする．$n$個の球$K_1,\ K_2,\ \cdots,\ K_n$と$n$個の空の箱$H_1,\ H_2,\ \cdots,\ H_n$がある．以下のように，$K_1,\ K_2,\ \cdots,\ K_n$の順番に，球を箱に1つずつ入れていく． \\
まず，球$K_1$を箱$H_1,\ H_2,\ \cdots,\ H_n$のどれか1つに無作為に入れる．次に，球$K_2$を，箱$H_2$が空ならば箱$H_2$に入れ，箱$H_2$が空でなければ残りの$n-1$個の空の箱のどれか1つに無作為に入れる． \\
一般に，$i=2,\ 3,\ \cdots,\ n$について，球$K_i$を，箱$H_i$が空ならば箱$H_i$に入れ，箱$H_i$が空でなければ残りの$n-i+1$個の空の箱のどれか1つに無作為に入れる．
(1)$K_n$が入る箱は$H_1$または$H_n$である．これを証明せよ．
(2)$K_{n-1}$が$H_{n-1}$に入る確率を求めよ．
まず，球$K_1$を箱$H_1,\ H_2,\ \cdots,\ H_n$のどれか1つに無作為に入れる．次に，球$K_2$を，箱$H_2$が空ならば箱$H_2$に入れ，箱$H_2$が空でなければ残りの$n-1$個の空の箱のどれか1つに無作為に入れる． \\
一般に，$i=2,\ 3,\ \cdots,\ n$について，球$K_i$を，箱$H_i$が空ならば箱$H_i$に入れ，箱$H_i$が空でなければ残りの$n-i+1$個の空の箱のどれか1つに無作為に入れる．
(1)$K_n$が入る箱は$H_1$または$H_n$である．これを証明せよ．
(2)$K_{n-1}$が$H_{n-1}$に入る確率を求めよ．
国立 滋賀大学 2013年 第2問$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人がそれぞれ$9$個のボールを持っていて，次のようなゲームを行う．まずどちらかが硬貨を投げ，表であれば$\mathrm{A}$の勝ち，裏であれば$\mathrm{B}$の勝ちとする．勝者は$0$から$3$までの数が$1$つずつ書かれた$4$枚のカードから無作為に$1$枚を取り出し，書かれている数だけ敗者からボールを受け取る．ただし，取り出したカードはもとに戻すものとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)このゲームを$2$回続けて行ったとき，$2$人の持っているボールの個数が同じである確率を求めよ．
(2)このゲームを$2$回続けて行ったとき，$\mathrm{A}$が$\mathrm{B}$よりも$2$個多くボールを持っている確率を求めよ．
(3)このゲームを$3$回続けて行ったとき，$2$人の持っているボールの個数が同じである確率を求めよ．
(1)このゲームを$2$回続けて行ったとき，$2$人の持っているボールの個数が同じである確率を求めよ．
(2)このゲームを$2$回続けて行ったとき，$\mathrm{A}$が$\mathrm{B}$よりも$2$個多くボールを持っている確率を求めよ．
(3)このゲームを$3$回続けて行ったとき，$2$人の持っているボールの個数が同じである確率を求めよ．
国立 宮崎大学 2013年 第4問最初に袋の中に，赤球と白球が$3$個ずつ，合計$6$個入っている．この状態から次の$①$～$③$の一連の操作を行う．
\mon[$①$] 袋の中から無作為に$3$個の球を取り出す．
\mon[$②$] $①$で取り出した球は袋に戻さず，取り出した赤球の数だけ白球を袋に補充し，取り出した白球の数だけ赤球を袋に補充する．
\mon[$③$] $①,\ ②$の操作をもう一度繰り返す．
ただし，補充する赤球と白球は十分にあるものとする．$①$～$③$の操作の後に，袋の中にある赤球の個数を$a$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$a=3$となる確率を求めよ．
(2)$a$の期待値を求めよ．
\mon[$①$] 袋の中から無作為に$3$個の球を取り出す．
\mon[$②$] $①$で取り出した球は袋に戻さず，取り出した赤球の数だけ白球を袋に補充し，取り出した白球の数だけ赤球を袋に補充する．
\mon[$③$] $①,\ ②$の操作をもう一度繰り返す．
ただし，補充する赤球と白球は十分にあるものとする．$①$～$③$の操作の後に，袋の中にある赤球の個数を$a$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$a=3$となる確率を求めよ．
(2)$a$の期待値を求めよ．
国立 宮崎大学 2013年 第3問最初に袋の中に，赤球と白球が$3$個ずつ，合計$6$個入っている．この状態から次の$①$～$③$の一連の操作を行う．
\mon[$①$] 袋の中から無作為に$3$個の球を取り出す．
\mon[$②$] $①$で取り出した球は袋に戻さず，取り出した赤球の数だけ白球を袋に補充し，取り出した白球の数だけ赤球を袋に補充する．
\mon[$③$] $①,\ ②$の操作をもう一度繰り返す．
ただし，補充する赤球と白球は十分にあるものとする．$①$～$③$の操作の後に，袋の中にある赤球の個数を$a$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$a=3$となる確率を求めよ．
(2)$a$の期待値を求めよ．
\mon[$①$] 袋の中から無作為に$3$個の球を取り出す．
\mon[$②$] $①$で取り出した球は袋に戻さず，取り出した赤球の数だけ白球を袋に補充し，取り出した白球の数だけ赤球を袋に補充する．
\mon[$③$] $①,\ ②$の操作をもう一度繰り返す．
ただし，補充する赤球と白球は十分にあるものとする．$①$～$③$の操作の後に，袋の中にある赤球の個数を$a$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$a=3$となる確率を求めよ．
(2)$a$の期待値を求めよ．
私立 昭和大学 2013年 第1問次の各問に答えよ．
(1)空間に点$\mathrm{P}(-4,\ -6,\ 3)$がある．いま，$2$点$\mathrm{A}(2,\ -3,\ 0)$，$\mathrm{B}(-4,\ 0,\ 12)$を結ぶ直線上に点$\mathrm{H}$をとり，直線$\mathrm{PH}$が直線$\mathrm{AB}$と垂直になるようにする．点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(2)次の$(ⅰ),\ (ⅱ)$に答えよ．
(i) $\displaystyle \tan \frac{\theta}{2}=t$とおく．$\sin \theta$を$t$を用いて表せ．
(ii) $\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=-\frac{1}{5} (-\pi<\theta<\pi)$とする．$\displaystyle \tan \frac{\theta}{2}$の値を求めよ．
(3)$1$から$n$までの番号が$1$つずつ書かれた$n$枚の同じ形のカードがある．ただし，$n$は$2$以上の整数である．この$n$枚のカードから，元に戻さずに$1$枚ずつ$2$回無作為に抜き出すとする．$2$回目に抜き出したカードの番号が$1$回目の番号より大きければ，$2$回目のカードの番号を得点とする．そうでなければ得点は$0$とする．次の問に答えよ．
(i) $m$は$1 \leqq m \leqq n$を満たす整数とする．$2$回目のカードの番号が$m$となる確率を求めよ．
(ii) $m$は$(ⅰ)$と同じとする．得点が$m$となる確率を求めよ．
(iii) 得点が$0$となる確率を求めよ．
\mon[$\tokeishi$] 得点の期待値を求めよ．
(1)空間に点$\mathrm{P}(-4,\ -6,\ 3)$がある．いま，$2$点$\mathrm{A}(2,\ -3,\ 0)$，$\mathrm{B}(-4,\ 0,\ 12)$を結ぶ直線上に点$\mathrm{H}$をとり，直線$\mathrm{PH}$が直線$\mathrm{AB}$と垂直になるようにする．点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(2)次の$(ⅰ),\ (ⅱ)$に答えよ．
(i) $\displaystyle \tan \frac{\theta}{2}=t$とおく．$\sin \theta$を$t$を用いて表せ．
(ii) $\displaystyle \sin \theta+\cos \theta=-\frac{1}{5} (-\pi<\theta<\pi)$とする．$\displaystyle \tan \frac{\theta}{2}$の値を求めよ．
(3)$1$から$n$までの番号が$1$つずつ書かれた$n$枚の同じ形のカードがある．ただし，$n$は$2$以上の整数である．この$n$枚のカードから，元に戻さずに$1$枚ずつ$2$回無作為に抜き出すとする．$2$回目に抜き出したカードの番号が$1$回目の番号より大きければ，$2$回目のカードの番号を得点とする．そうでなければ得点は$0$とする．次の問に答えよ．
(i) $m$は$1 \leqq m \leqq n$を満たす整数とする．$2$回目のカードの番号が$m$となる確率を求めよ．
(ii) $m$は$(ⅰ)$と同じとする．得点が$m$となる確率を求めよ．
(iii) 得点が$0$となる確率を求めよ．
\mon[$\tokeishi$] 得点の期待値を求めよ．