「無作為」について
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国立 千葉大学 2014年 第1問袋の中に，赤玉が$3$個，白玉が$7$個が入っている．袋から玉を無作為に$1$つ取り出し，色を確認してから，再び袋に戻すという試行を行う．この試行を$N$回繰り返したときに，赤玉を$A$回（ただし$0 \leqq A \leqq N$）取り出す確率を$p(N,\ A)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)確率$p(N,\ A)$を$N$と$A$を用いて表せ．
(2)$N$が$10$の倍数，すなわち$N=10n$となる自然数$n$があるとする．確率$p(10n,\ 0)$，$p(10n,\ 1)$，$\cdots$，$p(10n,\ 10n)$のうち，一番大きな値は$p(10n,\ 3n)$であることを次の手順により証明せよ．
(i) $0$以上の整数$a$，自然数$b$に対して，$\displaystyle \frac{b!}{a!} \leqq b^{b-a}$を示す．ただし$0!=1$とする．
(ii) $0$以上$10n$以下の整数$m$に対して，$\displaystyle \frac{p(10n,\ m)}{p(10n,\ 3n)} \leqq 1$を示す．
(1)確率$p(N,\ A)$を$N$と$A$を用いて表せ．
(2)$N$が$10$の倍数，すなわち$N=10n$となる自然数$n$があるとする．確率$p(10n,\ 0)$，$p(10n,\ 1)$，$\cdots$，$p(10n,\ 10n)$のうち，一番大きな値は$p(10n,\ 3n)$であることを次の手順により証明せよ．
(i) $0$以上の整数$a$，自然数$b$に対して，$\displaystyle \frac{b!}{a!} \leqq b^{b-a}$を示す．ただし$0!=1$とする．
(ii) $0$以上$10n$以下の整数$m$に対して，$\displaystyle \frac{p(10n,\ m)}{p(10n,\ 3n)} \leqq 1$を示す．
国立 秋田大学 2014年 第1問会社員の$3$人は，月曜，火曜，水曜の三日間連続して，会社近くの$3$つの飲食店のいずれかで昼食をとる．いずれの曜日も，$3$人は互いに独立に$3$店から$1$つを無作為に選ぶ．次の問いに答えよ．
(1)月曜に次の事象が起こる確率をそれぞれ求めよ．
(i) $3$人の選ぶ店が互いにすべて異なる．
(ii) $3$人全員が同じ店を選ぶ．
(iii) $2$人は同じ店を選び，$1$人だけ別の店を選ぶ．
(2)月曜，火曜の連続した二日間で，火曜にはじめて$3$人全員が同じ店を選ぶ確率を求めよ．
(3)月曜，火曜，水曜の連続した三日間で，少なくとも$1$日は$3$人全員が同じ店を選ぶ確率を求めよ．
(1)月曜に次の事象が起こる確率をそれぞれ求めよ．
(i) $3$人の選ぶ店が互いにすべて異なる．
(ii) $3$人全員が同じ店を選ぶ．
(iii) $2$人は同じ店を選び，$1$人だけ別の店を選ぶ．
(2)月曜，火曜の連続した二日間で，火曜にはじめて$3$人全員が同じ店を選ぶ確率を求めよ．
(3)月曜，火曜，水曜の連続した三日間で，少なくとも$1$日は$3$人全員が同じ店を選ぶ確率を求めよ．
国立 秋田大学 2014年 第1問会社員の$3$人は，月曜，火曜，水曜の三日間連続して，会社近くの$3$つの飲食店のいずれかで昼食をとる．いずれの曜日も，$3$人は互いに独立に$3$店から$1$つを無作為に選ぶ．次の問いに答えよ．
(1)月曜に次の事象が起こる確率をそれぞれ求めよ．
(i) $3$人の選ぶ店が互いにすべて異なる．
(ii) $3$人全員が同じ店を選ぶ．
(iii) $2$人は同じ店を選び，$1$人だけ別の店を選ぶ．
(2)月曜，火曜の連続した二日間で，火曜にはじめて$3$人全員が同じ店を選ぶ確率を求めよ．
(3)月曜，火曜，水曜の連続した三日間で，少なくとも$1$日は$3$人全員が同じ店を選ぶ確率を求めよ．
(1)月曜に次の事象が起こる確率をそれぞれ求めよ．
(i) $3$人の選ぶ店が互いにすべて異なる．
(ii) $3$人全員が同じ店を選ぶ．
(iii) $2$人は同じ店を選び，$1$人だけ別の店を選ぶ．
(2)月曜，火曜の連続した二日間で，火曜にはじめて$3$人全員が同じ店を選ぶ確率を求めよ．
(3)月曜，火曜，水曜の連続した三日間で，少なくとも$1$日は$3$人全員が同じ店を選ぶ確率を求めよ．
私立 昭和大学 2014年 第5問赤，青，黄色$3$色のカードがそれぞれ$5$枚ずつあり，各色のカードに$1$から$5$までの数字が$1$つずつ書かれている．これら$15$枚のカードから無作為に$3$枚を同時に取り出すとき，以下の各問いに答えよ．
(1)取り出し方の総数を求めよ．ただし，カードの色も数字も区別する．
(2)$3$枚とも同じ数字となる確率を求めよ．
(3)$3$枚のカードのうち，青いカードが$1$枚だけとなる確率を求めよ．
(1)取り出し方の総数を求めよ．ただし，カードの色も数字も区別する．
(2)$3$枚とも同じ数字となる確率を求めよ．
(3)$3$枚のカードのうち，青いカードが$1$枚だけとなる確率を求めよ．
私立 慶應義塾大学 2014年 第3問次の$[ ]$にあてはまる最も適当な数を解答欄に記入しなさい．
それぞれ$\mathrm{K}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{O}$という文字の書かれた$4$枚のカードがある．その中から無作為に$1$枚のカードを取り出し，文字を確認してからカードを元に戻すことを$4$回繰り返す．
(1)$1$回目と$2$回目に取り出すカードの文字が異なる確率は$[タ]$である．
(2)$3$回目までに取り出すカードの文字がすべて異なる確率は$[チ]$である．
(3)$4$回目までに，$\mathrm{K}$と書かれたカードを$2$回，$\mathrm{O}$と書かれたカードを$2$回取り出す確率は$[ツ]$である．
(4)$4$回目までに取り出すカードの文字が$2$種類である確率は$[テ]$である．
(5)$4$回目までに取り出したカードの文字が$X$種類であるとするとき，$X$の期待値は$[ト]$である．
それぞれ$\mathrm{K}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{O}$という文字の書かれた$4$枚のカードがある．その中から無作為に$1$枚のカードを取り出し，文字を確認してからカードを元に戻すことを$4$回繰り返す．
(1)$1$回目と$2$回目に取り出すカードの文字が異なる確率は$[タ]$である．
(2)$3$回目までに取り出すカードの文字がすべて異なる確率は$[チ]$である．
(3)$4$回目までに，$\mathrm{K}$と書かれたカードを$2$回，$\mathrm{O}$と書かれたカードを$2$回取り出す確率は$[ツ]$である．
(4)$4$回目までに取り出すカードの文字が$2$種類である確率は$[テ]$である．
(5)$4$回目までに取り出したカードの文字が$X$種類であるとするとき，$X$の期待値は$[ト]$である．
私立 獨協大学 2014年 第1問次の設問の空欄を，あてはまる数値や記号，式などで埋めなさい．
(1)$2$次関数$y=x^2-6x+7$のグラフは$y=x^2+2x+2$のグラフを，$x$軸方向に$[$1$]$，$y$軸方向に$[$2$]$だけ平行移動したものである．
(2)次の式の分母を有理化せよ．
\[ (ⅰ) \frac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=[$3$] \qquad (ⅱ) \frac{5 \sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=[$4$] \]
(3)$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 2)$，$\mathrm{B}(5,\ 2)$を結ぶ線分$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点$\mathrm{C}([$5$],\ [$6$])$を通り，線分$\mathrm{AB}$に垂直な直線の方程式は$[$7$]$と表される．
(4)数列$\{a_n\}$が$2,\ 3,\ 7,\ 14,\ 24,\ \cdots$のように与えられている．その階差数列を$\{b_n\}$とする．このとき，$b_1=[$8$]$，$b_2=[$9$]$であり，数列$\{b_n\}$の一般項は$b_n=[$10$]$と表される．よって，数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[$11$]$となる．
(5)$x+y=20$，$x>0$，$y>0$であるとき，$\log_{\frac{1}{10}}x+\log_{\frac{1}{10}}y$の最小値は$[$12$]$である．
(6)各辺の長さが$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{CA}=k$である$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は，$k=[$13$]$のとき最大値$[$14$]$をとる．
(7)$2$つのベクトル$\overrightarrow{x}=(a,\ b)$，$\overrightarrow{y}=(1,\ c)$について，$\overrightarrow{x} \perp \overrightarrow{y}$，$|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}|=2$，$abc=-1$を満たす実数$a,\ b,\ c$の組合せは$[$15$]$通り存在する．また，このうち$a+b+c$の最小値は$[$16$]$となる．
(8)$2$人の男性$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$と$2$人の女性$\mathrm{a}$，$\mathrm{b}$がいる．この$4$人は無作為に異性を$1$人ずつ選ぶ．このとき，男性が選んだ女性がその男性を選べば，その男女をペアとする．たとえば，男性$\mathrm{A}$が女性$\mathrm{a}$を選び，女性$\mathrm{a}$も男性$\mathrm{A}$を選べば，その男女はペアとなる．このとき，ペアが全くできない確率は$[$17$]$，ペアがちょうど$1$組だけできる確率は$[$18$]$，ペアが$2$組できる確率は$[$19$]$である．
(1)$2$次関数$y=x^2-6x+7$のグラフは$y=x^2+2x+2$のグラフを，$x$軸方向に$[$1$]$，$y$軸方向に$[$2$]$だけ平行移動したものである．
(2)次の式の分母を有理化せよ．
\[ (ⅰ) \frac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}=[$3$] \qquad (ⅱ) \frac{5 \sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=[$4$] \]
(3)$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 2)$，$\mathrm{B}(5,\ 2)$を結ぶ線分$\mathrm{AB}$を$2:1$に内分する点$\mathrm{C}([$5$],\ [$6$])$を通り，線分$\mathrm{AB}$に垂直な直線の方程式は$[$7$]$と表される．
(4)数列$\{a_n\}$が$2,\ 3,\ 7,\ 14,\ 24,\ \cdots$のように与えられている．その階差数列を$\{b_n\}$とする．このとき，$b_1=[$8$]$，$b_2=[$9$]$であり，数列$\{b_n\}$の一般項は$b_n=[$10$]$と表される．よって，数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[$11$]$となる．
(5)$x+y=20$，$x>0$，$y>0$であるとき，$\log_{\frac{1}{10}}x+\log_{\frac{1}{10}}y$の最小値は$[$12$]$である．
(6)各辺の長さが$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{CA}=k$である$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は，$k=[$13$]$のとき最大値$[$14$]$をとる．
(7)$2$つのベクトル$\overrightarrow{x}=(a,\ b)$，$\overrightarrow{y}=(1,\ c)$について，$\overrightarrow{x} \perp \overrightarrow{y}$，$|\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y}|=2$，$abc=-1$を満たす実数$a,\ b,\ c$の組合せは$[$15$]$通り存在する．また，このうち$a+b+c$の最小値は$[$16$]$となる．
(8)$2$人の男性$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$と$2$人の女性$\mathrm{a}$，$\mathrm{b}$がいる．この$4$人は無作為に異性を$1$人ずつ選ぶ．このとき，男性が選んだ女性がその男性を選べば，その男女をペアとする．たとえば，男性$\mathrm{A}$が女性$\mathrm{a}$を選び，女性$\mathrm{a}$も男性$\mathrm{A}$を選べば，その男女はペアとなる．このとき，ペアが全くできない確率は$[$17$]$，ペアがちょうど$1$組だけできる確率は$[$18$]$，ペアが$2$組できる確率は$[$19$]$である．
私立 上智大学 2014年 第3問$1$から$10$までの数字を$1$つずつ書いた$10$枚のカードを数字の小さい順に左から右に並べる．この中から$3$枚を無作為に選び，いずれのカードも元の位置と異なる位置に置くという操作を考える．この操作を$2$回以上続けて行う場合，$2$回目以降はカードの並びを一番最初の状態に戻すことはせず，$1$回前の操作で置き換えられた状態から$3$枚を無作為に選ぶ．また，選んだ$3$枚のカードについて元の位置と異なる位置への置き方が複数あるとき，いずれの置き方も等しい確率で選ばれるものとする．置き換えの操作を$n$回続けて行ったとき，一番左のカードが$10$である確率を$P_n$で表す．
(1)$\displaystyle P_1=\frac{[ハ]}{[ヒ]}$である．
(2)$n$回の操作の後で一番左のカードが$10$であり，$(n+1)$回目の操作の後も一番左のカードが$10$となる確率を$P_n$の式で表すと$\displaystyle \frac{[フ]}{[ヘ]}P_n$となる．
(3)$n$回の操作の後で一番左のカードが$10$ではなく，$(n+1)$回目の操作の後で一番左のカードが$10$となる確率を$P_n$の式で表すと$\displaystyle \frac{[ホ]P_n+[マ]}{[ミ]}$となる．
(4)$P_{n+1}$を$P_n$の式で表すと
\[ P_{n+1}=\frac{[ム]}{[メ]}P_n+\frac{[モ]}{[ヤ]} \]
となる．
(5)$\displaystyle P_n=\frac{[ユ]}{[ヨ]} \left( \frac{[ラ]}{[リ]} \right)^n+\frac{[ル]}{[レ]}$である．
(1)$\displaystyle P_1=\frac{[ハ]}{[ヒ]}$である．
(2)$n$回の操作の後で一番左のカードが$10$であり，$(n+1)$回目の操作の後も一番左のカードが$10$となる確率を$P_n$の式で表すと$\displaystyle \frac{[フ]}{[ヘ]}P_n$となる．
(3)$n$回の操作の後で一番左のカードが$10$ではなく，$(n+1)$回目の操作の後で一番左のカードが$10$となる確率を$P_n$の式で表すと$\displaystyle \frac{[ホ]P_n+[マ]}{[ミ]}$となる．
(4)$P_{n+1}$を$P_n$の式で表すと
\[ P_{n+1}=\frac{[ム]}{[メ]}P_n+\frac{[モ]}{[ヤ]} \]
となる．
(5)$\displaystyle P_n=\frac{[ユ]}{[ヨ]} \left( \frac{[ラ]}{[リ]} \right)^n+\frac{[ル]}{[レ]}$である．
私立 西南学院大学 2014年 第2問両面が赤色のカードが$3$枚，片方の面が赤，もう片方の面が青のカードが$3$枚，片方の面が赤，もう片方の面が黄色のカードが$4$枚ある．この$10$枚のカードを袋に入れ，無作為に$1$枚を取り出しテーブルの上に置いたとき，以下の問に答えよ．ただし，カードをテーブルの上に置いたとき，見えている面をカードの表とする．
(1)カードの表が赤である確率は，$\displaystyle \frac{[サシ]}{[スセ]}$である．
(2)カードの表が赤であるとき，裏も赤である確率は，$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タチ]}$である．
(3)カードの表が赤であるとき，裏が黄色でない確率は，$\displaystyle \frac{[ツ]}{[テト]}$である．
(1)カードの表が赤である確率は，$\displaystyle \frac{[サシ]}{[スセ]}$である．
(2)カードの表が赤であるとき，裏も赤である確率は，$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タチ]}$である．
(3)カードの表が赤であるとき，裏が黄色でない確率は，$\displaystyle \frac{[ツ]}{[テト]}$である．
公立 名古屋市立大学 2014年 第3問円周上に等間隔に$n$個（$n \geqq 4$）の点が配置されている．これらの点から異なる$3$点を無作為に選び出し，それらを頂点とする三角形をつくる．次の問いに答えよ．
(1)$n=8$のとき，三角形が直角三角形になる確率を求めよ．
(2)$n$が偶数であるとき，三角形が直角三角形になる確率を$n$の式で表せ．
(3)$n=12$のとき，三角形が鈍角三角形になる確率を求めよ．
(1)$n=8$のとき，三角形が直角三角形になる確率を求めよ．
(2)$n$が偶数であるとき，三角形が直角三角形になる確率を$n$の式で表せ．
(3)$n=12$のとき，三角形が鈍角三角形になる確率を求めよ．
公立 名古屋市立大学 2014年 第3問円周上に等間隔に$n$個（$n \geqq 4$）の点が配置されている．これらの点から異なる$3$点を無作為に選び出し，それらを頂点とする三角形をつくる．次の問いに答えよ．
(1)$n=8$のとき，三角形が直角三角形になる確率を求めよ．
(2)$n$が偶数であるとき，三角形が直角三角形になる確率を$n$の式で表せ．
(3)$n=12$のとき，三角形が鈍角三角形になる確率を求めよ．
(1)$n=8$のとき，三角形が直角三角形になる確率を求めよ．
(2)$n$が偶数であるとき，三角形が直角三角形になる確率を$n$の式で表せ．
(3)$n=12$のとき，三角形が鈍角三角形になる確率を求めよ．