「無作為」について
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国立 三重大学 2014年 第3問$\mathrm{X}$大学では，オープンキャンパスに$40$名の高校生が参加を申し込んだ．この$40$名の高校生のために，黒色$20$本，青色$10$本，赤色$10$本，計$40$本のボールペンを参加の記念として用意した．この$40$名の中の特定の$2$名$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$について，下の問いに答えよ．ただし，オープンキャンパスにはこの$40$名の高校生が参加するとする．また，高校生$1$名に必ず$1$本のボールペンが渡され，渡されるボールペンの色は無作為に決定される．
(1)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ともに黒色のボールペンを渡される確率を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が同じ色のボールペンを渡される確率を求めよ．
(1)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ともに黒色のボールペンを渡される確率を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が同じ色のボールペンを渡される確率を求めよ．
国立 三重大学 2014年 第3問$\mathrm{X}$大学では，オープンキャンパスに$40$名の高校生が参加を申し込んだ．この$40$名の高校生のために，黒色$20$本，青色$10$本，赤色$10$本，計$40$本のボールペンを参加の記念として用意した．この$40$名の中の特定の$2$名$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$について，下の問いに答えよ．ただし，オープンキャンパスにはこの$40$名の高校生が参加するとする．また，高校生$1$名に必ず$1$本のボールペンが渡され，渡されるボールペンの色は無作為に決定される．
(1)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ともに黒色のボールペンを渡される確率を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が同じ色のボールペンを渡される確率を求めよ．
(1)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ともに黒色のボールペンを渡される確率を求めよ．
(2)$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が同じ色のボールペンを渡される確率を求めよ．
国立 高知大学 2014年 第4問$k$は$1$以上の整数であるとする．連続した整数が書かれた$2^k-1$枚のカードが$1$組あり，その中に無作為に選ばれた当たりが一枚だけ含まれているとする．次のようなルールで当たりのカードにたどりつくことを考える．
(i) カードのうち，ちょうど真ん中の整数の書かれたカードをひく．それが当たりなら終了する．
(ii) ハズレならば，真ん中の整数より大きいカードの組と小さいカードの組に分ける．
(iii) 当たりのカードの含まれた組を教えてもらい，その組に対して，$(ⅰ)$に戻って繰り返す．
このルールのもとで，ひいたカードの枚数の期待値を$E_k$とおく．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)$E_1,\ E_2,\ E_3,\ E_4$を求めよ．
(2)$E_{k+1}$を$E_k$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle d_k=E_k-\frac{1}{{2}^{k}}(E_k+1)$とおくとき，$d_k$のみたす漸化式を求めよ．
(4)$E_k$を求めよ．
(5)$\displaystyle \lim_{k \to \infty}(E_k-k)$を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{k \to \infty} \frac{k}{{2}^{k}}=0$であることを用いてもよい．
(i) カードのうち，ちょうど真ん中の整数の書かれたカードをひく．それが当たりなら終了する．
(ii) ハズレならば，真ん中の整数より大きいカードの組と小さいカードの組に分ける．
(iii) 当たりのカードの含まれた組を教えてもらい，その組に対して，$(ⅰ)$に戻って繰り返す．
このルールのもとで，ひいたカードの枚数の期待値を$E_k$とおく．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)$E_1,\ E_2,\ E_3,\ E_4$を求めよ．
(2)$E_{k+1}$を$E_k$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle d_k=E_k-\frac{1}{{2}^{k}}(E_k+1)$とおくとき，$d_k$のみたす漸化式を求めよ．
(4)$E_k$を求めよ．
(5)$\displaystyle \lim_{k \to \infty}(E_k-k)$を求めよ．ただし，$\displaystyle \lim_{k \to \infty} \frac{k}{{2}^{k}}=0$であることを用いてもよい．
国立 秋田大学 2014年 第1問会社員の$3$人は，月曜，火曜，水曜の三日間連続して，会社近くの$3$つの飲食店のいずれかで昼食をとる．いずれの曜日も，$3$人は互いに独立に$3$店から$1$つを無作為に選ぶ．次の問いに答えよ．
(1)月曜に次の事象が起こる確率をそれぞれ求めよ．
(i) $3$人の選ぶ店が互いにすべて異なる．
(ii) $3$人全員が同じ店を選ぶ．
(iii) $2$人は同じ店を選び，$1$人だけ別の店を選ぶ．
(2)月曜，火曜の連続した二日間で，火曜にはじめて$3$人全員が同じ店を選ぶ確率を求めよ．
(3)月曜，火曜，水曜の連続した三日間で，少なくとも$1$日は$3$人全員が同じ店を選ぶ確率を求めよ．
(1)月曜に次の事象が起こる確率をそれぞれ求めよ．
(i) $3$人の選ぶ店が互いにすべて異なる．
(ii) $3$人全員が同じ店を選ぶ．
(iii) $2$人は同じ店を選び，$1$人だけ別の店を選ぶ．
(2)月曜，火曜の連続した二日間で，火曜にはじめて$3$人全員が同じ店を選ぶ確率を求めよ．
(3)月曜，火曜，水曜の連続した三日間で，少なくとも$1$日は$3$人全員が同じ店を選ぶ確率を求めよ．
国立 秋田大学 2014年 第1問会社員の$3$人は，月曜，火曜，水曜の三日間連続して，会社近くの$3$つの飲食店のいずれかで昼食をとる．いずれの曜日も，$3$人は互いに独立に$3$店から$1$つを無作為に選ぶ．次の問いに答えよ．
(1)月曜に次の事象が起こる確率をそれぞれ求めよ．
(i) $3$人の選ぶ店が互いにすべて異なる．
(ii) $3$人全員が同じ店を選ぶ．
(iii) $2$人は同じ店を選び，$1$人だけ別の店を選ぶ．
(2)月曜，火曜の連続した二日間で，火曜にはじめて$3$人全員が同じ店を選ぶ確率を求めよ．
(3)月曜，火曜，水曜の連続した三日間で，少なくとも$1$日は$3$人全員が同じ店を選ぶ確率を求めよ．
(1)月曜に次の事象が起こる確率をそれぞれ求めよ．
(i) $3$人の選ぶ店が互いにすべて異なる．
(ii) $3$人全員が同じ店を選ぶ．
(iii) $2$人は同じ店を選び，$1$人だけ別の店を選ぶ．
(2)月曜，火曜の連続した二日間で，火曜にはじめて$3$人全員が同じ店を選ぶ確率を求めよ．
(3)月曜，火曜，水曜の連続した三日間で，少なくとも$1$日は$3$人全員が同じ店を選ぶ確率を求めよ．
国立 島根大学 2014年 第1問$3$つの箱$X,\ Y,\ Z$と$3$つの玉$a,\ b,\ c$があり，$1$つの箱には$1$つの玉が入るとする．箱$X$には$a$が，箱$Y$には$b$が，箱$Z$には$c$が入っている状態から始めて，次の操作を繰り返し行う．
「数字$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の中から無作為に$1$つの数字$m$を選ぶ．$m=1$ならば，箱$Y,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Z,\ Y$に移す．$m=2$ならば，箱$X,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Z,\ X$に移す．$m=3$ならば，箱$X,\ Y$にある玉をそれぞれ箱$Y,\ X$に移す．$m=4$ならば，箱$X,\ Y,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Y,\ Z,\ X$に移す．$m=5$ならば，箱$X,\ Y,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Z,\ X,\ Y$に移す．」
この操作を$n$回繰り返したあとに$3$つの玉が最初の状態に戻っている確率を$p_n$とする．箱$X,\ Y,\ Z$にそれぞれ玉$x,\ y,\ z$が入っている状態を$(x,\ y,\ z)$と表す．たとえば，最初の状態は$(a,\ b,\ c)$である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$1$回目の操作を行ったあとの起こりうる状態をすべて挙げ，$p_1$，$p_2$を求めよ．
(2)$n$回目の操作を行ったあとの状態が最初の状態$(a,\ b,\ c)$となっていない確率を$q_n$とする．$n \geqq 1$のとき，$\displaystyle p_{n+1}=\frac{1}{5}q_n$が成り立つことを示せ．
(3)$p_n$を求めよ．
「数字$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の中から無作為に$1$つの数字$m$を選ぶ．$m=1$ならば，箱$Y,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Z,\ Y$に移す．$m=2$ならば，箱$X,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Z,\ X$に移す．$m=3$ならば，箱$X,\ Y$にある玉をそれぞれ箱$Y,\ X$に移す．$m=4$ならば，箱$X,\ Y,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Y,\ Z,\ X$に移す．$m=5$ならば，箱$X,\ Y,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Z,\ X,\ Y$に移す．」
この操作を$n$回繰り返したあとに$3$つの玉が最初の状態に戻っている確率を$p_n$とする．箱$X,\ Y,\ Z$にそれぞれ玉$x,\ y,\ z$が入っている状態を$(x,\ y,\ z)$と表す．たとえば，最初の状態は$(a,\ b,\ c)$である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$1$回目の操作を行ったあとの起こりうる状態をすべて挙げ，$p_1$，$p_2$を求めよ．
(2)$n$回目の操作を行ったあとの状態が最初の状態$(a,\ b,\ c)$となっていない確率を$q_n$とする．$n \geqq 1$のとき，$\displaystyle p_{n+1}=\frac{1}{5}q_n$が成り立つことを示せ．
(3)$p_n$を求めよ．
国立 島根大学 2014年 第1問$3$つの箱$X,\ Y,\ Z$と$3$つの玉$a,\ b,\ c$があり，$1$つの箱には$1$つの玉が入るとする．箱$X$には$a$が，箱$Y$には$b$が，箱$Z$には$c$が入っている状態から始めて，次の操作を繰り返し行う．
「数字$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の中から無作為に$1$つの数字$m$を選ぶ．$m=1$ならば，箱$Y,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Z,\ Y$に移す．$m=2$ならば，箱$X,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Z,\ X$に移す．$m=3$ならば，箱$X,\ Y$にある玉をそれぞれ箱$Y,\ X$に移す．$m=4$ならば，箱$X,\ Y,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Y,\ Z,\ X$に移す．$m=5$ならば，箱$X,\ Y,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Z,\ X,\ Y$に移す．」
この操作を$n$回繰り返したあとに$3$つの玉が最初の状態に戻っている確率を$p_n$とする．箱$X,\ Y,\ Z$にそれぞれ玉$x,\ y,\ z$が入っている状態を$(x,\ y,\ z)$と表す．たとえば，最初の状態は$(a,\ b,\ c)$である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$1$回目の操作を行ったあとの起こりうる状態をすべて挙げ，$p_1$，$p_2$を求めよ．
(2)$n$回目の操作を行ったあとの状態が最初の状態$(a,\ b,\ c)$となっていない確率を$q_n$とする．$n \geqq 1$のとき，$\displaystyle p_{n+1}=\frac{1}{5}q_n$が成り立つことを示せ．
(3)$p_n$を求めよ．
「数字$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の中から無作為に$1$つの数字$m$を選ぶ．$m=1$ならば，箱$Y,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Z,\ Y$に移す．$m=2$ならば，箱$X,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Z,\ X$に移す．$m=3$ならば，箱$X,\ Y$にある玉をそれぞれ箱$Y,\ X$に移す．$m=4$ならば，箱$X,\ Y,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Y,\ Z,\ X$に移す．$m=5$ならば，箱$X,\ Y,\ Z$にある玉をそれぞれ箱$Z,\ X,\ Y$に移す．」
この操作を$n$回繰り返したあとに$3$つの玉が最初の状態に戻っている確率を$p_n$とする．箱$X,\ Y,\ Z$にそれぞれ玉$x,\ y,\ z$が入っている状態を$(x,\ y,\ z)$と表す．たとえば，最初の状態は$(a,\ b,\ c)$である．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$1$回目の操作を行ったあとの起こりうる状態をすべて挙げ，$p_1$，$p_2$を求めよ．
(2)$n$回目の操作を行ったあとの状態が最初の状態$(a,\ b,\ c)$となっていない確率を$q_n$とする．$n \geqq 1$のとき，$\displaystyle p_{n+1}=\frac{1}{5}q_n$が成り立つことを示せ．
(3)$p_n$を求めよ．
国立 千葉大学 2014年 第2問$A$，$B$ふたりは，それぞれ$1$から$4$までの番号のついた$4$枚のカードを持ち，それを用いて何回かの勝負から成るつぎのゲームをする．
\begin{itemize}
初めに$A,\ B$はそれぞれ$4$枚のカードを自分の袋に入れ，よくかきまぜる．
$A,\ B$はそれぞれ自分の袋から無作為に$1$枚ずつカードを取り出し，そのカードを比較して$1$回の勝負を行う．すなわち，大きい番号のついたカードを取り出したほうがこの回は勝ちとし，番号が等しいときはこの回は引き分けとする．
袋から取り出したカードは袋に戻さないものとする．
$A,\ B$どちらかが$2$回勝てば，カードの取り出しをやめて，$2$回勝ったほうをゲームの勝者とする．$4$枚すべてのカードを取り出してもいずれも$2$回勝たなければゲームは引き分けとする．
\end{itemize}
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$A$が$0$勝$0$敗$4$引き分けしてゲームが引き分けになる確率を求めよ．
(2)$A$が$1$勝$1$敗$2$引き分けしてゲームが引き分けになる確率を求めよ．
(3)$A$がゲームの勝者になる確率を求めよ．
\begin{itemize}
初めに$A,\ B$はそれぞれ$4$枚のカードを自分の袋に入れ，よくかきまぜる．
$A,\ B$はそれぞれ自分の袋から無作為に$1$枚ずつカードを取り出し，そのカードを比較して$1$回の勝負を行う．すなわち，大きい番号のついたカードを取り出したほうがこの回は勝ちとし，番号が等しいときはこの回は引き分けとする．
袋から取り出したカードは袋に戻さないものとする．
$A,\ B$どちらかが$2$回勝てば，カードの取り出しをやめて，$2$回勝ったほうをゲームの勝者とする．$4$枚すべてのカードを取り出してもいずれも$2$回勝たなければゲームは引き分けとする．
\end{itemize}
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$A$が$0$勝$0$敗$4$引き分けしてゲームが引き分けになる確率を求めよ．
(2)$A$が$1$勝$1$敗$2$引き分けしてゲームが引き分けになる確率を求めよ．
(3)$A$がゲームの勝者になる確率を求めよ．
国立 千葉大学 2014年 第4問$A$，$B$ふたりは，それぞれ$1$から$4$までの番号のついた$4$枚のカードを持ち，それを用いて何回かの勝負から成るつぎのゲームをする．
\begin{itemize}
初めに$A,\ B$はそれぞれ$4$枚のカードを自分の袋に入れ，よくかきまぜる．
$A,\ B$はそれぞれ自分の袋から無作為に$1$枚ずつカードを取り出し，そのカードを比較して$1$回の勝負を行う．すなわち，大きい番号のついたカードを取り出したほうがこの回は勝ちとし，番号が等しいときはこの回は引き分けとする．
袋から取り出したカードは袋に戻さないものとする．
$A,\ B$どちらかが$2$回勝てば，カードの取り出しをやめて，$2$回勝ったほうをゲームの勝者とする．$4$枚すべてのカードを取り出してもいずれも$2$回勝たなければゲームは引き分けとする．
\end{itemize}
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$A$が$0$勝$0$敗$4$引き分けしてゲームが引き分けになる確率を求めよ．
(2)$A$が$1$勝$1$敗$2$引き分けしてゲームが引き分けになる確率を求めよ．
(3)$A$がゲームの勝者になる確率を求めよ．
\begin{itemize}
初めに$A,\ B$はそれぞれ$4$枚のカードを自分の袋に入れ，よくかきまぜる．
$A,\ B$はそれぞれ自分の袋から無作為に$1$枚ずつカードを取り出し，そのカードを比較して$1$回の勝負を行う．すなわち，大きい番号のついたカードを取り出したほうがこの回は勝ちとし，番号が等しいときはこの回は引き分けとする．
袋から取り出したカードは袋に戻さないものとする．
$A,\ B$どちらかが$2$回勝てば，カードの取り出しをやめて，$2$回勝ったほうをゲームの勝者とする．$4$枚すべてのカードを取り出してもいずれも$2$回勝たなければゲームは引き分けとする．
\end{itemize}
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$A$が$0$勝$0$敗$4$引き分けしてゲームが引き分けになる確率を求めよ．
(2)$A$が$1$勝$1$敗$2$引き分けしてゲームが引き分けになる確率を求めよ．
(3)$A$がゲームの勝者になる確率を求めよ．
国立 千葉大学 2014年 第1問袋の中に，赤玉が$3$個，白玉が$7$個が入っている．袋から玉を無作為に$1$つ取り出し，色を確認してから，再び袋に戻すという試行を行う．この試行を$N$回繰り返したときに，赤玉を$A$回（ただし$0 \leqq A \leqq N$）取り出す確率を$p(N,\ A)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)確率$p(N,\ A)$を$N$と$A$を用いて表せ．
(2)$N$が$10$の倍数，すなわち$N=10n$となる自然数$n$があるとする．確率$p(10n,\ 0)$，$p(10n,\ 1)$，$\cdots$，$p(10n,\ 10n)$のうち，一番大きな値は$p(10n,\ 3n)$であることを次の手順により証明せよ．
(i) $0$以上の整数$a$，自然数$b$に対して，$\displaystyle \frac{b!}{a!} \leqq b^{b-a}$を示す．ただし$0!=1$とする．
(ii) $0$以上$10n$以下の整数$m$に対して，$\displaystyle \frac{p(10n,\ m)}{p(10n,\ 3n)} \leqq 1$を示す．
(1)確率$p(N,\ A)$を$N$と$A$を用いて表せ．
(2)$N$が$10$の倍数，すなわち$N=10n$となる自然数$n$があるとする．確率$p(10n,\ 0)$，$p(10n,\ 1)$，$\cdots$，$p(10n,\ 10n)$のうち，一番大きな値は$p(10n,\ 3n)$であることを次の手順により証明せよ．
(i) $0$以上の整数$a$，自然数$b$に対して，$\displaystyle \frac{b!}{a!} \leqq b^{b-a}$を示す．ただし$0!=1$とする．
(ii) $0$以上$10n$以下の整数$m$に対して，$\displaystyle \frac{p(10n,\ m)}{p(10n,\ 3n)} \leqq 1$を示す．