ある動物の染色体$10$種類の中から無作為に$1$つ選ぶ作業を$5$回行った．ただし何度この作業を行っても，これら$10$種類の染色体の選び易さは常に同様であるものとする．

(1)$5$回ともすべて異なる種類の染色体を選ぶ確率は$[　]$である．
(2)$5$回中ある$1$種類の染色体が$3$回，それと異なるもう$1$種類の染色体が$2$回それぞれ選ばれる確率は$[　]$である．

円周を$8$等分する点$\mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \cdots,\ \mathrm{P}_8$からいくつかの点を無作為に選ぶ．どの点も選ばれる確率は等しいとするとき，次の問に答えなさい．

(1)異なる$2$点を選ぶとき，この$2$点を端点とする線分が円の直径となる確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}$である．
(2)異なる$3$点を選ぶとき，この$3$点からなる三角形が直角二等辺三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
(3)異なる$4$点を選ぶとき，この$4$点からなる四角形が正方形となる確率は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カキ]}$である．
(4)異なる$3$点を選ぶとき，この$3$点からなる三角形が二等辺三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$である．
(5)異なる$5$点を選ぶとき，この$5$点からなる五角形を$F$とする．残りの$3$点のうち$2$点を端点とする線分がいずれも五角形$F$と交わる確率は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$である．

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}}{[　] \sqrt{[　]}-[　]}$

$\displaystyle \hspace{27mm} =\frac{[　]+[　] \sqrt{2}+[　] \sqrt{3}+\sqrt{6}}{[　]}$
(2)外接円の半径が$16$である$\triangle \mathrm{ABC}$において$\displaystyle \cos B=\frac{\sqrt{7}}{4}$，$\displaystyle \cos C=\frac{3 \sqrt{7}}{8}$とするとき，$\displaystyle \sin B=\frac{[　]}{[　]}$，$\mathrm{AC}=[　]$，$\mathrm{BC}=[　] \sqrt{7}$である．$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，$\mathrm{AM}=[　]$である．
(3)$10$個の製品の中に不良品が$3$個含まれている．これらから無作為に$4$個の製品を取り出すとき，含まれる不良品の個数を$X$で表す．$X=2$となる確率は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$，$X=3$となる確率は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$である．$X$の期待値は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$である．

$N,\ a,\ b$は正の整数とする．箱の中に赤玉が$a$個，白玉が$b$個入っている．箱から無作為に$1$個の玉を取り出し，色を記録して箱に戻す．この操作を繰り返し，同じ色の玉が$2$回続けて出るか，または取り出す回数が$2N +2$になったら終了する．$n$回取り出して終わる確率を$P(n)$とし，$\displaystyle p = \frac{a}{a+b},\ q = \frac{b}{a+b},\ r = pq$とおく．次の問いに答えよ．

(1)$P(2j),\ P(2j +1) \ (j = 1,\ 2,\ \cdots,\ N)$および$P(2N +2)$を$r$を用いて表せ．
(2)偶数回取り出して終わる確率$\displaystyle Q = \sum_{j=1}^{N+1} P(2j)$について，$\displaystyle Q > \frac{1-2r}{1-r}$となることを示せ．

$N,\ a,\ b$は正の整数とする．箱の中に赤玉が$a$個，白玉が$b$個入っている．箱から無作為に1個の玉を取り出し，色を記録して箱に戻す．この操作を繰り返し，同じ色の玉が2回続けて出るか，または取り出す回数が$2N +2$になったら終了する．$n$回取り出して終わる確率を$P(n)$とし，$\displaystyle p=\frac{a}{a+b},\ q =\frac{b}{a+b},\ r = pq$とおく．次の問いに答えよ．

(1)$P(2j),\ P(2j+1) \ (j =1,\ 2,\ \cdots,\ N)$および$P(2N +2)$を$r$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle (1-r)\sum_{j=1}^N jr^{j-1}=\frac{1-r^N}{1-r}-Nr^N$を示せ．
(3)取り出す回数の期待値$\displaystyle m = \sum_{n=2}^{2N+2} nP(n)$について，$\displaystyle m<\frac{2+r}{1-r}$となることを示せ．
(4)上の期待値$m$について，$m<3$を示せ．

次の$(1)$から$(8)$に答えなさい．

(1)$\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{x^2+px+q}{x-3}=7$が成り立つように，$p$と$q$の値を求めなさい．
(2)関数$f(x)=ax^2+bx$について，$\displaystyle \int_{-1}^1 f(x) \, dx=2$および$\displaystyle \int_2^4 f(x) \, dx=50$を満足するように，$a$と$b$の値を求めなさい．
(3)$\displaystyle \frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\frac{1}{4 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 6}+\cdots +\frac{1}{n(n+1)}$の和を求めなさい．
(4)$a(b^2-c^2)-b(a^2-c^2)-c(b^2-a^2)$を因数分解しなさい．
(5)学生$10$人が$3$台の車（$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$）に分乗する．$\mathrm{A}$に$5$人，$\mathrm{B}$に$3$人，$\mathrm{C}$に$2$人ずつ分乗する方法は何通りになるか，求めなさい．
(6)$\displaystyle \log_2 \frac{1}{2}+2 \log_2 \sqrt{32}$を簡単にしなさい．
(7)$\sin 75^\circ+\cos 15^\circ$を求めなさい．
(8)$3$つの箱（$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$）に「くじ」が$10$本ずつ入っている．そのうち，「当たり」が$\mathrm{A}$の箱には$2$本，$\mathrm{B}$の箱には$3$本，$\mathrm{C}$の箱には$1$本入っている．それぞれの箱から$1$本ずつ無作為に「くじ」を引いたとき，$3$本とも「はずれ」である確率を求めなさい．

袋の中に$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9$の数字を$1$つずつ書いたカードが$10$枚入っている．袋からカード$1$枚を無作為に取り出して数字を確認したのち，袋にもどす試行を考える．

(1)この試行を$2$回くり返すとする．確認した数字を順に$X_1,\ X_2$とおくとき，等式$X_1+X_2=X_1X_2$が成り立つ確率を求めよ．
(2)この試行を$3$回くり返すとする．確認した数字を順に$X_1,\ X_2,\ X_3$とおくとき，等式$X_1+X_2+X_3=X_1X_2X_3$が成り立つ確率を求めよ．
(3)この試行を$4$回くり返すとする．確認した数字を順に$X_1,\ X_2,\ X_3,\ X_4$とおくとき，等式$X_1+X_2+X_3+X_4=X_1X_2X_3X_4$が成り立つ確率を求めよ．

$N$を自然数とする．赤いカード2枚と白いカード$N$枚が入っている袋から無作為にカードを1枚ずつ取り出して並べていくゲームをする．2枚目の赤いカードが取り出された時点でゲームは終了する．赤いカードが最初に取り出されるまでに取り出された白いカードの枚数を$X$とし，ゲーム終了時までに取り出された白いカードの総数を$Y$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)$n=0,\ 1,\ \cdots,\ N$に対して，$X=n$となる確率$p_n$を求めよ．
(2)$X$の期待値を求めよ．
(3)$n=0,\ 1,\ \cdots,\ N$に対して，$Y=n$となる確率$q_n$を求めよ．

$n$は2以上の自然数とする．袋の中に1から$n$までの数字が1つずつ書かれた$n$個の玉が入っている．この袋から無作為に玉を1個取り出し，それに書かれている数を自分の得点としたのち，取り出した玉を袋に戻す．この試行を A，B，Cの3人が順に行い，3人の中で最大の得点の人を勝者とする．たとえば，A，B，Cの得点がそれぞれ$4,\ 2,\ 4$のときはAとCの2人が勝者であり，3人とも同じ得点のときはA，B，Cの3人とも勝者である．勝者が$k$人($k = 1,\ 2,\ 3$)である確率を$P_n(k)$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)勝者が3人である確率$P_n(3)$を$n$を用いて表せ．
(2)$n = 3$の場合に勝者が2人である確率$P_3(2)$を求めよ．
(3)勝者が1人である確率$P_n(1)$を$n$を用いて表せ．

$n$は2以上の自然数とする．袋の中に1から$n$までの数字が1つずつ書かれた$n$個の玉が入っている．この袋から無作為に玉を1個取り出し，それに書かれている数を自分の得点としたのち，取り出した玉を袋に戻す．この試行を A，B，Cの3人が順に行い，3人の中で最大の得点の人を勝者とする．たとえば，A，B，Cの得点がそれぞれ$4,\ 2,\ 4$のときはAとCの2人が勝者であり，3人とも同じ得点のときはA，B，Cの3人とも勝者である．勝者が$k$人($k = 1,\ 2,\ 3$)である確率を$P_n(k)$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)勝者が3人である確率$P_n(3)$を$n$を用いて表せ．
(2)$n = 3$の場合に勝者が2人である確率$P_3(2)$を求めよ．
(3)勝者が1人である確率$P_n(1)$を$n$を用いて表せ．
(4)$P_n(1) \geqq 0.9$となる最小の$n$を求めよ．