スイッチを入れたとき点灯しない確率が$p$である電灯がある．この電灯が，部屋$A$には$2$つ，部屋$B$には$3$つ，部屋$C$には$4$つ設置されていて，どの部屋も，半分以上の電灯が点灯すれば使用でき，半分未満では使用できない．部屋$A,\ B,\ C$が使用できない確率を，それぞれ$p_A,\ p_B,\ p_C$とする．

(1)$p_B$を$p$を用いて表せ．
(2)$p_A>p_C$となる$p$の範囲を求めよ．

$3$行$3$列に置かれた$9$個のライトがある．スイッチを入れると，それぞれのライトは青，黄，赤のいずれかの色に等しい確率で点灯するものとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)すべてのライトが同じ色で点灯する確率を求めよ．
(2)青，黄，赤の色が各$1$色ずつ点灯している行の数が$1$である確率を求めよ．
(3)青，黄，赤の色が各$1$色ずつ点灯している行の数の期待値を求めよ．

図は各頂点および各辺が点灯する装置を表している．この装置ではスイッチを入れると，$4$つの頂点はそれぞれ独立に$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で，赤，黄，緑のいずれかの色で点灯する．また，各辺は，その両端の$2$つの頂点の色が一致していれば，これら$2$つの頂点と同じ色で点灯し，そうでない場合は青く点灯する．以下の問に答えなさい．
（図は省略）

(1)スイッチを入れたとき，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{CD}$がともに青になる確率を求めなさい．
(2)スイッチを入れたとき，辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{CD}$が異なる色になる確率を求めなさい．
(3)スイッチを入れたとき，$4$つの辺の色がすべて青になる確率を求めなさい．