$10$点，$20$点，$30$点，$40$点，$50$点と書かれた$5$つの箱があり，それぞれに赤玉$2$つ，白玉$3$つが入っている．$1$つの箱から玉を取り出すとき，赤玉ならば箱に書かれた点数を得点とし，白玉ならば$0$点とする．$5$つの箱から$1$つずつ玉を取り出すとき，次の問いに答えよ．

(1)合計得点が$50$点になる取り出し方は何通りあるか．
(2)すべて同じ色の玉を取り出す確率を求めよ．
(3)合計得点が$30$点になる確率を求めよ．

次のようなゲームを考える．袋の中に赤玉，白玉，青玉が$3$個ずつ入っている．袋の中から玉を$1$個ずつ取り出し，取り出した玉はもとに戻さないものとする．取り出した玉の色が赤，白，青ならば，それぞれ$3$点，$1$点，$-2$点を得るものとする．得た点の合計が$4$点以上になったとき，ゲームを終了する．以下の問いに答えよ．

(1)玉を$2$回取り出したときの合計点数の期待値（平均）を求めよ．
(2)ゲームが終了するまでに玉を$4$回以上取り出す確率を求めよ．

次の空所$[ア]$～$[タ]$を埋めよ．

赤玉が$5$個，青玉が$7$個，黄玉が$4$個入っている袋から，玉を同時に$3$個取り出した．

(1)玉の色の組み合わせは$[アイ]$通りである．
(2)取り出した$3$つの玉がすべて同じ色である確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エオ]}$である．
(3)取り出した$3$つの玉がすべて別の色である確率は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]}$である．
(4)赤玉を$2$点，青玉を$1$点，黄玉を$0$点とするとき，合計点が$4$点となる確率は$\displaystyle \frac{[クケ]}{[コサシ]}$である．
(5)$(4)$のように点数をつけるとき，合計点の期待値は$\displaystyle \frac{[スセ]}{[ソタ]}$である．

以下の問いの空欄$[ア]$～$[ス]$に適する数値，式などを記せ．

(1)直線$\displaystyle y=\frac{x}{\sqrt{3}}+1$と$x$軸の正の向きとのなす角は$[ア]$であり，この直線と放物線$\displaystyle y=\frac{x^2}{4}$の共有点の座標は$([イ],\ [ウ])$と$([エ],\ [オ])$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\displaystyle \frac{\sin A}{9}=\frac{\sin B}{7}=\frac{\sin C}{5}$が成り立つとき，この三角形の最も大きい角の余弦の値は$[カ]$である．この三角形の最も大きい辺の長さを$9$とすると，三角形の面積は$[キ]$である．
(3)同じ$2$つの箱と，同じ$4$つの球がある．$2$つの箱にすべての球を分配するときの組み合わせは$[ク]$通りである．また，大小の$2$つの箱と，$1$から$4$までの数が書かれた$4$つの球があるとき，すべての球を分配するときの組み合わせは$[ケ]$通りである．ただし，片方の箱のみに球が入っている場合も含む．
(4)$\displaystyle x=\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}},\ y=\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$のとき，$x^2+y^2$の値は$[コ]$，$x^3-y^3$の値は$[サ]$となる．
(5)大小の$2$個のさいころを投げ，出た目が同じ場合は$10$点，大のさいころの目のほうが大きい場合は$5$点，それ以外の場合には得点は得られないとするとき，点数を得られる目が出る確率は$[シ]$で，得点の期待値は$[ス]$点である．

次の問いに答えなさい．

(1)$2$次方程式$x^2+x+p=0$の$2$解$\alpha,\ \beta$に対して$\alpha^2-\beta^2=3$となるとき，$p=[　]$である．
(2)$xy$座標平面上で，$x$座標と$y$座標がいずれも整数である点を格子点という．$x \geqq 0$，$y \geqq 0$，$x+2y \leqq 100$を同時に満たす格子点の個数は$[　]$である．
(3)関数$f(x)=a(\log_3 x)^2+\log_9 bx$が，$\displaystyle x=\frac{1}{3}$で最小値$\displaystyle \frac{1}{4}$をとるとき，$(a,\ b)=[　]$である．
(4)関数$\displaystyle y=2 \sin \left( 2x+\frac{\pi}{2} \right)$のグラフを描きなさい．
(5)表と裏が等確率で出るコインを$n$回投げ，表が出る回数が$0$回ならば$0$点，$1$回ならば$x$点，$2$回以上ならば$y$点とするゲームを考え，その点数の期待値を$E_n$とする．$n \geqq 2$の$n$に対して，不等式$E_n \geqq y$が$n$によらずに成り立つとき，$x$と$y$の間の関係を調べなさい．ただし，$x$と$y$は正とする．

金貨と銀貨が$1$枚ずつある．これらを同時に$1$回投げる試行を行ったとき，金貨が裏ならば$0$点，金貨が表で銀貨が裏ならば$1$点，金貨が表で銀貨も表ならば$2$点が与えられるとする．この試行を$5$回繰り返した後に得られる点数を$X$とする．

(1)$X=1$となる確率を求めよ．
(2)$X=3$となる確率を求めよ．
(3)$X$が偶数となる確率を求めよ．ただし，$0$は偶数とする．

ダイヤ$2$枚，ハート$2$枚，クラブ$2$枚，スペード$1$枚からなる$7$枚のトランプがある．このトランプ$7$枚をよく混ぜたのち，この$7$枚を裏のまま横$1$列に並べる事象に対して，次のように点数を定める．
\begin{screen}
左から順にトランプをめくり，$n$枚目をめくって初めてダイヤ，ハート，クラブ，スペードの$4$種類がそろったときに$n$点とする．
\end{screen}
次の問いに答えよ．

(1)点数が$7$点となる確率を求めよ．
(2)点数が$6$点となる確率を求めよ．
(3)点数の期待値を求めよ．

ダイヤ$2$枚，ハート$2$枚，クラブ$2$枚，スペード$1$枚からなる$7$枚のトランプがある．このトランプ$7$枚をよく混ぜたのち，この$7$枚を裏のまま横$1$列に並べる事象に対して，次のように点数を定める．
\begin{screen}
左から順にトランプをめくり，$n$枚目をめくって初めてダイヤ，ハート，クラブ，スペードの$4$種類がそろったときに$n$点とする．
\end{screen}
次の問いに答えよ．

(1)点数が$7$点となる確率を求めよ．
(2)点数が$6$点となる確率を求めよ．
(3)点数の期待値を求めよ．

硬貨$1$枚を投げたとき，表が出れば$2$点，裏が出れば$1$点を得るとする．硬貨を繰り返し投げて，合計点数が$10$点以上になったときに終了する．次の確率を求めよ．

(1)$7$回目に合計点数がちょうど$10$点となって終了する確率
(2)終了時の合計点数が$10$点である確率

次の[　]の中を適当に補いなさい．

(1)$4 \cos 15^\circ(1-\sin^2 15^\circ-\sin 15^\circ)-3(\sin 15^\circ+1) \cos 15^\circ=[　]$．
(2)100人の学生を対象に100点満点の試験を行った結果，平均点が75点，最高点が95点，最低点が25点であった．平均点以上の学生数を$M$とし，$M$の最小値を求めると[　]．ただし，点数は全て自然数とする．
(3)関数$y=x^3-3x$のグラフに，直線$y=-1$上のある点から傾きがそれぞれ$k,\ -k \ (k>0)$の2本の接線が引けるとき，その2本の接線の接点の$x$座標を$\alpha,\ \beta \ (\alpha<\beta)$とする．このとき，$A=\alpha^2+\beta^2,\ B=\alpha^3+\beta^3$の値を計算すると$(A,\ B)=[　]$．