次の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)=e^{1+\sin^2 x}$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)条件$a_1=1$，$a_2=2$，$a_{n+2}=3a_{n+1}-2a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)関数$\displaystyle f(x)=\frac{4x}{x^2+1}$の増減，極値，グラフの凹凸，変曲点および漸近線を調べ，曲線$y=f(x)$の概形をかけ．

$\displaystyle f(x)=\frac{8x}{\sqrt{x^2+1}}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$y=f(x)$の凹凸と漸近線を調べて，そのグラフの概形をかけ．
(2)$k$を正の定数とする．関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=x+k$がちょうど$2$個の共有点をもつとき，$k$の値を求めよ．
(3)$k$を$(2)$で求めた定数とする．このとき，$x \geqq 0$の範囲で，関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=x+k$および$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

曲線$\displaystyle y=\frac{x^2}{x^2+3}$を$C$とし，座標平面上の原点を$\mathrm{O}$とする．以下の問に答えよ．

(1)曲線$C$の凹凸，変曲点，漸近線を調べ，その概形をかけ．
(2)曲線$C$の接線で原点を通るものをすべて求めよ．また，その接点を求めよ．
(3)$\mathrm{P}$を原点を中心とする半径$\displaystyle \frac{\sqrt{17}}{4}$の円周上の点とする．点$\mathrm{P}$を点$\displaystyle \mathrm{A} \left( 0,\ \frac{\sqrt{17}}{4} \right)$から時計回りに動かすとき，原点以外に線分$\mathrm{OP}$が初めて曲線$C$と共有点をもつとき，その座標を求めよ．
(4)$\mathrm{Q}$を原点を中心とする半径$2$の円周上の点とする．点$\mathrm{Q}$を点$\mathrm{B}(0,\ 2)$から時計回りに動かすとき，原点以外に線分$\mathrm{OQ}$が初めて曲線$C$と共有点をもつとき，その座標を求めよ．

$\displaystyle f(x)=\frac{8x}{\sqrt{x^2+1}}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$y=f(x)$の凹凸と漸近線を調べて，そのグラフの概形をかけ．
(2)$k$を正の定数とする．関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=x+k$がちょうど$2$個の共有点をもつとき，$k$の値を求めよ．
(3)$k$を$(2)$で求めた定数とする．このとき，$x \geqq 0$の範囲で，関数$y=f(x)$のグラフと直線$y=x+k$および$y$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

座標平面において次の$2$つの$2$次曲線を考える．

(1)原点$\mathrm{O}$と直線$x=-2$からの距離が等しい点の軌跡の方程式は
\[ y^2=[ア](x+[イ]) \]
である．
(2)$2$直線$\displaystyle y=\frac{3}{4}x-\frac{9}{4}$，$\displaystyle y=-\frac{3}{4}x+\frac{9}{4}$を漸近線にもち，$2$つの焦点の座標が$(-2,\ 0)$，$(8,\ 0)$である双曲線の方程式は
\[ \frac{(x-[ウ])^2}{[エ][オ]}-\frac{y^2}{[カ]}=1 \]
である．
(3)$(1)$と$(2)$の$2$つの曲線の共有点は$[キ]$個ある．

次の各問に答えよ．

(1)双曲線$\displaystyle H:\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$について，次の問に答えよ．

(i) 双曲線$H$の焦点の座標を求めよ．
(ii) 双曲線$H$について正の傾きをもつ漸近線の方程式を求めよ．
(iii) $(ⅱ)$で求めた漸近線と直交する直線が$H$と接するとき，その接点の座標を求めよ．

(2)不等式$9a>b,\ \log_ab>\log_ba^4+3$をすべて満たす整数$a,\ b$の値を求めよ．
(3)直線$x-y+2=0$を$\ell$とし，直線$x+y-3=0$を$m$とする．$1$次変換$f$によって，直線$\ell$は$m$に移り，また直線$m$は$\ell$に移る．このとき，次の問に答えよ．

(i) $1$次変換$f$を表す行列$A$を求めよ．
(ii) $A^{2013}$を求めよ．

関数$y=e^{2x}-2e^x$の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べて，増減表をつくり，そのグラフを座標平面上に描け．ただし，漸近線および座標軸との交点も調べること．

関数
\[ f(x)=\left( x+\frac{1}{2} \right) \log \left( 1+\frac{1}{x} \right) \quad (x>0) \]
について，次の問いに答えよ．

(1)$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．
(2)極限$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f^{\prime}(x)$の値を求め，さらに$f^\prime(x)<0$であることを証明せよ．
(3)関数$y=f(x)$の凹凸と漸近線を調べ，そのグラフの概形をかけ．

次の$[　]$をうめよ．

(1)$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}(\sqrt{x^2+3x}+x)$の値は$[$①$]$である．
(2)$\displaystyle \sum_{k=1}^n k \comb{n}{k}$を計算すると$[$②$]$となる．
(3)座標空間の原点を$\mathrm{O}$とし，$t$を実数とする．どのような$t$の値に対しても，点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \cos t,\ \frac{-1+\sin t}{\sqrt{2}},\ \frac{1+\sin t}{\sqrt{2}} \right)$は原点を中心とする半径$[$③$]$の球面上にある．また，実数$s$に対して，点$\mathrm{Q}(0,\ s,\ -s)$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QP}}=0$となるような$s$の値は$s=0$と$s=[$④$]$である．
(4)媒介変数表示
\[ x=3^{t+1}+3^{-t+1}+1,\quad y=3^t-3^{-t} \]
で表される図形は，$x,\ y$についての方程式$[$⑤$]=1$で定まる双曲線$C$の$x>0$の部分である．また，$C$の漸近線で傾きが正の漸近線の方程式は$y=[$⑥$]$である．
(5)$\theta$の関数$\displaystyle \sin \theta \sin \left( \theta+\frac{\pi}{3} \right) \sin \left( \theta-\frac{\pi}{3} \right)$は，定数$a,\ b$を用いて$a \sin^3 \theta+b \sin \theta$と表すことができる．$a,\ b$の組$(a,\ b)$は$[$④chi$]$である．
(6)無限級数の和として定義される関数
\[ f(x)=x^2+\frac{x^2}{1+2x^2}+\frac{x^2}{(1+2x^2)^2}+\cdots +\frac{x^2}{(1+2x^2)^n}+\cdots \]
について，$\displaystyle \lim_{x \to 0}f(x)$の値は$[$\maruhachi$]$である．

$\displaystyle f(x) = x^3+x^2+7x+3,\ g(x) = \frac{x^3-3x+2}{x^2+1}$とする．次の問いに答えよ．

(1)方程式$f(x)=0$はただ1つの実数解をもち，その実数解$\alpha$は$-2<\alpha<0$をみたすことを示せ．
(2)曲線$y=g(x)$の漸近線を求めよ．
(3)$\alpha$を用いて関数$y=g(x)$の増減を調べ，そのグラフをかけ．ただし，グラフの凹凸を調べる必要はない．