タグ「漸近線」の検索結果

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福井大学 国立 福井大学 2016年 第3問
原点を$\mathrm{O}$とする$xy$平面上に,$\mathrm{F}(5,\ 0)$と$\mathrm{F}^\prime(-5,\ 0)$とを焦点とし,直線$\ell:y=kx$と直線$\ell^\prime:y=-kx$とを漸近線とする双曲線$C$がある.$C$上に点$\mathrm{P}$をとるとき,以下の問いに答えよ.ただし,$k$は正の定数とする.

(1)双曲線$C$の方程式を求めよ.
(2)点$\mathrm{P}$を通り,$\ell,\ \ell^\prime$に平行な直線をそれぞれ$m,\ m^\prime$とする.$4$つの直線$\ell,\ \ell^\prime,\ m,\ m^\prime$で囲まれた平行四辺形の面積を$S$とするとき,$S$は$C$上の点$\mathrm{P}$のとり方によらずに一定であることを示せ.
(3)$k=2$のとき,$\mathrm{PF} \cdot \mathrm{PF}^\prime=2 \mathrm{OP}^2$をみたす$C$上の点$\mathrm{P}$の座標を求めよ.ただし,$\mathrm{P}$は第$1$象限にあるものとする.
福井大学 国立 福井大学 2016年 第2問
原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に,$\mathrm{F}(5,\ 0)$を焦点の$1$つとし,直線$\ell:y=kx$と$\ell^\prime:y=-kx$とを漸近線にもつ双曲線$C$がある.ただし,$k>0$とする.$C$上の点$\mathrm{Q}(a,\ b)$を通り,$2$本の漸近線に平行な$2$直線のうち,傾きが正のものを$m$,傾きが負のものを$m^\prime$とする.$\ell$と$m^\prime$との交点を$\mathrm{P}$,$\ell^\prime$と$m$との交点を$\mathrm{R}$とし,四角形$\mathrm{OPQR}$の面積を$S$とおくとき,以下の問いに答えよ.

(1)双曲線$C$の方程式を$k$を用いて表せ.
(2)点$\mathrm{P}$,$\mathrm{R}$の座標を,$a,\ b,\ k$を用いて表せ.
(3)$S$は点$\mathrm{Q}$のとり方によらないことを証明せよ.
(4)$k$が$k>0$の範囲を動くとき,$S$の最大値とそのときの$k$の値を求めよ.
大阪府立大学 公立 大阪府立大学 2016年 第3問
楕円$\displaystyle C_1:\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$の焦点を$\mathrm{F}$,$\mathrm{F}^\prime$とする.ただし,$\mathrm{F}$の$x$座標は正である.正の実数$m$に対し,$2$直線$y=mx$,$y=-mx$を漸近線にもち,$2$点$\mathrm{F}$,$\mathrm{F}^\prime$を焦点とする双曲線を$C_2$とする.第$1$象限にある$C_1$と$C_2$の交点を$\mathrm{P}$とする.このとき,以下の問いに答えよ.

(1)$C_2$の方程式を$m$を用いて表せ.
(2)線分$\mathrm{FP}$および線分$\mathrm{F}^\prime \mathrm{P}$の長さを$m$を用いて表せ.
(3)$\angle \mathrm{F}^\prime \mathrm{PF}={60}^\circ$となる$m$の値を求めよ.
千葉大学 国立 千葉大学 2015年 第3問
双曲線$x^2-y^2=1 \cdots ①$の漸近線$y=x \cdots ②$上の点$\mathrm{P}_0:(a_0,\ a_0)$(ただし$a_0>0$)を通る双曲線$①$の接線を考え,接点を$\mathrm{Q}_1$とする.$\mathrm{Q}_1$を通り漸近線$②$と垂直に交わる直線と,漸近線$②$との交点を$\mathrm{P}_1:(a_1,\ a_1)$とする.次に$\mathrm{P}_1$を通る双曲線$①$の接線の接点を$\mathrm{Q}_2$,$\mathrm{Q}_2$を通り漸近線$②$と垂直に交わる直線と,漸近線$②$との交点を$\mathrm{P}_2:(a_2,\ a_2)$とする.この手続きを繰り返して同様にして点$\mathrm{P}_n:(a_n,\ a_n)$,$\mathrm{Q}_n$を定義していく.

(1)$\mathrm{Q}_n$の座標を$a_n$を用いて表せ.
(2)$a_n$を$a_0$を用いて表せ.
(3)$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n-1}$の面積を求めよ.
山梨大学 国立 山梨大学 2015年 第1問
次の問いに答えよ.

(1)不定積分$\displaystyle \int x \cos x \, dx$を求めよ.
(2)不等式$\displaystyle \frac{5x-6}{x-2}>x+1$を解け.
(3)関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$の増減,グラフの凹凸,変曲点および漸近線を調べて,そのグラフをかけ.
千葉大学 国立 千葉大学 2015年 第3問
双曲線$x^2-y^2=1 \cdots ①$の漸近線$y=x \cdots ②$上の点$\mathrm{P}_0:(a_0,\ a_0)$(ただし$a_0>0$)を通る双曲線$①$の接線を考え,接点を$\mathrm{Q}_1$とする.$\mathrm{Q}_1$を通り漸近線$②$と垂直に交わる直線と,漸近線$②$との交点を$\mathrm{P}_1:(a_1,\ a_1)$とする.次に$\mathrm{P}_1$を通る双曲線$①$の接線の接点を$\mathrm{Q}_2$,$\mathrm{Q}_2$を通り漸近線$②$と垂直に交わる直線と,漸近線$②$との交点を$\mathrm{P}_2:(a_2,\ a_2)$とする.この手続きを繰り返して同様にして点$\mathrm{P}_n:(a_n,\ a_n)$,$\mathrm{Q}_n$を定義していく.

(1)$\mathrm{Q}_n$の座標を$a_n$を用いて表せ.
(2)$a_n$を$a_0$を用いて表せ.
(3)$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n-1}$の面積を求めよ.
千葉大学 国立 千葉大学 2015年 第4問
双曲線$x^2-y^2=1 \cdots ①$の漸近線$y=x \cdots ②$上の点$\mathrm{P}_0:(a_0,\ a_0)$(ただし$a_0>0$)を通る双曲線$①$の接線を考え,接点を$\mathrm{Q}_1$とする.$\mathrm{Q}_1$を通り漸近線$②$と垂直に交わる直線と,漸近線$②$との交点を$\mathrm{P}_1:(a_1,\ a_1)$とする.次に$\mathrm{P}_1$を通る双曲線$①$の接線の接点を$\mathrm{Q}_2$,$\mathrm{Q}_2$を通り漸近線$②$と垂直に交わる直線と,漸近線$②$との交点を$\mathrm{P}_2:(a_2,\ a_2)$とする.この手続きを繰り返して同様にして点$\mathrm{P}_n:(a_n,\ a_n)$,$\mathrm{Q}_n$を定義していく.

(1)$\mathrm{Q}_n$の座標を$a_n$を用いて表せ.
(2)$a_n$を$a_0$を用いて表せ.
(3)$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n-1}$の面積を求めよ.
東京理科大学 私立 東京理科大学 2015年 第3問
不等式$\displaystyle \frac{x}{x-1} \geqq 0$を満たす実数$x$の範囲を定義域とする関数
\[ f(x)=3x \sqrt{\frac{x}{x-1}} \]
について,以下の問いに答えよ.

(1)関数$f(x)$の定義域を求めよ.
(2)$\displaystyle a_1=\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$,$\displaystyle a_2=\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x}$とする.$a_1$,$a_2$の値を求めよ.
(3)$(2)$の$a_1,\ a_2$に対して,$\displaystyle b_1=\lim_{x \to \infty}(f(x)-a_1x)$,$\displaystyle b_2=\lim_{x \to -\infty}(f(x)-a_2x)$とする.$b_1$,$b_2$の値を求めよ.
(4)関数$f(x)$の極小値を求めよ.
(5)曲線$y=f(x)$の漸近線の方程式を求めよ.
(6)$k$を定数とするとき,方程式$f(x)=k$の実数解の個数を求めよ.
大阪府立大学 公立 大阪府立大学 2015年 第3問
$a>0$,$b>0$とし,座標平面において,双曲線$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$を曲線$C$とする.曲線$C$の漸近線のうち傾きが正の漸近線を$\ell$とし,曲線$C$上の点$\mathrm{P}(p,\ q)$における曲線$C$の接線を$m$とする.ただし,$p>0$,$q>0$とする.また,漸近線$\ell$と接線$m$の交点を$\mathrm{Q}$とし,接線$m$と$x$軸の交点を$\mathrm{R}$とする.原点を$\mathrm{O}$とするとき,次の問いに答えよ.

(1)漸近線$\ell$の方程式を$a,\ b$を用いて表せ.
(2)接線$m$の方程式を$a,\ b,\ p$を用いて表せ.
(3)三角形$\mathrm{OQR}$の面積$S(p)$を$p$を用いて表せ.
(4)極限値$\displaystyle \lim_{p \to \infty} S(p)$を求めよ.
名古屋工業大学 国立 名古屋工業大学 2014年 第2問
放物線$y=x^2$上の動点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$,$\mathrm{Q}(q,\ q^2)$が次の条件をみたしている.
\[ 0<p<q,\quad \angle \mathrm{POQ}=\frac{\pi}{4} \]
ただし$\mathrm{O}$は原点である.点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$における接線の交点を$\mathrm{R}$とする.

(1)$p$のとり得る値の範囲を求めよ.
(2)$q$を$p$の式で表せ.
(3)点$\mathrm{R}$の$x$座標,$y$座標それぞれのとり得る値の範囲を求めよ.
(4)点$\mathrm{R}$が描く曲線の方程式を求めよ.
(5)点$\mathrm{R}$が描く曲線の漸近線を求めよ.
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