$p$は$0$でない実数とし
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=\frac{1}{p}a_n-(-1)^{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定まる数列$\{a_n\}$がある．

(1)$b_n=p^na_n$とする．$b_{n+1}$を$b_n,\ n,\ p$で表せ．
(2)一般項$a_n$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$a$を実数とするとき，$(a,\ 0)$を通り，$y=e^x+1$に接する直線がただ$1$つ存在することを示せ．
(2)$a_1=1$として，$n=1,\ 2,\ \cdots$について，$(a_n,\ 0)$を通り，$y=e^x+1$に接する直線の接点の$x$座標を$a_{n+1}$とする．このとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} (a_{n+1}-a_n)$を求めよ．

$p,\ q$は正の実数とし，
\[ a_1=0,\quad a_{n+1}=pa_n+(-q)^{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定まる数列$\{a_n\}$がある．

(1)$\displaystyle b_n=\frac{a_n}{p^n}$とする．数列$\{b_n\}$の一般項を$p,\ q,\ n$で表せ．
(2)$q=1$とする．すべての自然数$n$について$a_{n+1} \geqq a_n$となるような$p$の値の範囲を求めよ．

数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$，$\{c_n\}$が$a_1=5$，$b_1=7$をみたし，さらにすべての実数$x$とすべての自然数$n$に対して
\[ x(a_{n+1}x+b_{n+1})=\int_{c_n}^{x+c_n}(a_nt+b_n) \, dt \]
をみたすとする．以下の問に答えよ．

(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$c_n=3^{n-1}$のとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$c_n=n$のとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．

数列$\{a_n\}$は，関係式
\[ a_1=1,\quad a_2=2,\quad a_{n+2}-4a_{n+1}+3a_n=1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすとする．$b_n=a_{n+1}-a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$b_{n+1}$と$b_n$の間に成り立つ関係式を求めよ．
(2)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

$2$つの関数
\[ f(x)=\frac{2}{2x+3},\quad g(x)=\frac{2x+1}{-x+2} \]
がある．

(1)関数$g(x)$の逆関数$g^{-1}(x)$を求めよ．
(2)合成関数$g^{-1}(f(g(x)))$を求めよ．
(3)実数$c$が無理数であるとき，$f(c)$は無理数であることを証明せよ．
(4)次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
\[ a_1=g(\sqrt{2}),\quad a_{n+1}=f(a_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(5)$(4)$で定められた数列$\{a_n\}$の極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n$を求めよ．

次の性質をもつ数列$\{a_n\}$を考える．
\[ \begin{array}{lll}
a_1=3 & & \\
a_{n+1}>a_n & \phantom{\frac{[　]}{2}} & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \\
a_n^2-2a_na_{n+1}+a_{n+1}^2=3(a_n+a_{n+1}) & \phantom{\frac{[　]}{2}} & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)
\end{array} \]

(1)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し，$a_n+a_{n+2}$を$a_{n+1}$を用いて表せ．
(2)$b_n=a_{n+1}-a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$により定まる数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=5,\quad a_{n+1}=\frac{4a_n-9}{a_n-2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．また数列$\{b_n\}$を
\[ b_n=\frac{a_1+2a_2+\cdots +na_n}{1+2+\cdots +n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定める．

(1)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)すべての$n$に対して，不等式$\displaystyle b_n \leqq 3+\frac{4}{n+1}$が成り立つことを示せ．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n$を求めよ．

$c$は正の整数とする．数列$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots$は$a_1=1$，$a_2=c$であり，さらに漸化式
\[ a_{n+2}=a_{n+1}+a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して，$a_n$は正の整数であり，かつ，$a_n$と$a_{n+1}$の最大公約数は$1$であることを示せ．
(2)${(-1)}^n(a_{n+1}^2-a_{n+2}a_n)$は$n$によらず一定の値であることを示せ．
(3)$c \geqq 2$とし，$\displaystyle b_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}$とおくと
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
b_{n+1}>b_n & (n \text{が偶数のとき}) \\
b_{n+1}<b_n & (n \text{が奇数のとき})
\end{array} \right. \]
が成り立つことを示せ．

$c$は実数とする．数列$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots$は$a_1=1$，$a_2=c$であり，さらに漸化式
\[ a_{n+2}=a_{n+1}+a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすとする．次の問いに答えよ．

(1)$a_3={a_2}^2$が成り立つような$c$の値を求めよ．
(2)$c$が$(1)$で求めた値のとき，数列$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots$が等比数列であることを数学的帰納法を用いて示せ．
(3)$(1)$で求めた$c$の値のうち，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=0$となるものを求めよ．
(4)$c$が$(3)$で求めた値のとき，$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$を求めよ．