「漸化式」について
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私立 大阪工業大学 2016年 第2問次の空所を埋めよ．
(1)数列$\{a_n\}$が$a_1=2$，$a_{n+1}=3a_n+2^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たすとき，$a_2=[ア]$，$a_3=[イ]$である．また，漸化式を変形すると，$a_{n+1}+2^{n+1}=3(a_n+[ウ])$となることから，数列$\{a_n\}$の一般項は，$a_n=[エ]$である．
(2)$t>0$とし，$k$を実数とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の$2$点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$，$\mathrm{B}(t,\ -t)$について，$\mathrm{AB}=2 \sqrt{2}$であるとする．このとき，$t=[オ]$である．さらに，直線$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{P}(k,\ k)$を中心とする円$C$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通るとき，$k=[カ]$であり，円$C$の半径$r$は，$r=[キ]$である．
(1)数列$\{a_n\}$が$a_1=2$，$a_{n+1}=3a_n+2^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たすとき，$a_2=[ア]$，$a_3=[イ]$である．また，漸化式を変形すると，$a_{n+1}+2^{n+1}=3(a_n+[ウ])$となることから，数列$\{a_n\}$の一般項は，$a_n=[エ]$である．
(2)$t>0$とし，$k$を実数とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の$2$点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$，$\mathrm{B}(t,\ -t)$について，$\mathrm{AB}=2 \sqrt{2}$であるとする．このとき，$t=[オ]$である．さらに，直線$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{P}(k,\ k)$を中心とする円$C$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通るとき，$k=[カ]$であり，円$C$の半径$r$は，$r=[キ]$である．
私立 大阪工業大学 2016年 第2問次の空所を埋めよ．
(1)数列$\{a_n\}$が$a_1=2$，$a_{n+1}=3a_n+2^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たすとき，$a_2=[ア]$，$a_3=[イ]$である．また，漸化式を変形すると，$a_{n+1}+2^{n+1}=3(a_n+[ウ])$となることから，数列$\{a_n\}$の一般項は，$a_n=[エ]$である．
(2)$t>0$とし，$k$を実数とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の$2$点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$，$\mathrm{B}(t,\ -t)$について，$\mathrm{AB}=2 \sqrt{2}$であるとする．このとき，$t=[オ]$である．さらに，直線$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{P}(k,\ k)$を中心とする円$C$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通るとき，$k=[カ]$であり，円$C$の半径$r$は，$r=[キ]$である．
(1)数列$\{a_n\}$が$a_1=2$，$a_{n+1}=3a_n+2^n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を満たすとき，$a_2=[ア]$，$a_3=[イ]$である．また，漸化式を変形すると，$a_{n+1}+2^{n+1}=3(a_n+[ウ])$となることから，数列$\{a_n\}$の一般項は，$a_n=[エ]$である．
(2)$t>0$とし，$k$を実数とする．原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の$2$点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$，$\mathrm{B}(t,\ -t)$について，$\mathrm{AB}=2 \sqrt{2}$であるとする．このとき，$t=[オ]$である．さらに，直線$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{P}(k,\ k)$を中心とする円$C$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通るとき，$k=[カ]$であり，円$C$の半径$r$は，$r=[キ]$である．
公立 横浜市立大学 2016年 第1問以下の問いに答えよ．
(1)ある大学で$N$人の学生が数学を受験した．その得点を$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_N$とする．平均値$\overline{x}$および分散$s^2$は各々
$\displaystyle \overline{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_N}{N}$
$\displaystyle s^2=\frac{(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\cdots +(x_N-\overline{x})^2}{N}$
で与えられる．標準偏差$s (>0)$は
\[ s=\sqrt{s^2} \]
となる．このとき$x$点を取った学生の{\bf 偏差値}は
\[ t=50+10 \times \frac{x-\overline{x}}{s} \]
で与えられる（$x \in \{x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_N\}$）．偏差値は{\bf 無単位}であることに注意せよ．
$\mathrm{Y}$大学で$N=3n$人の学生が数学を受験し，たまたま$2n$人の学生が$a$点，残りの$n$人の学生が$b$点を取ったとしよう．簡単にするために$a<b$とする．$a$点を取った学生および$b$点を取った学生の偏差値を求めよ．
(2)方程式
\[ x^2-3y^2=13 \]
の整数解を求める．簡単にするために$x>0,\ y>0$とする．まず
\[ X=ax+by,\quad Y=cx+dy \]
とおく．$a,\ b,\ c,\ d$を自然数として，$(X,\ Y)$が再び方程式
\[ X^2-3Y^2=13 \]
を満たすための組$(a,\ b,\ c,\ d)$を$1$つ求めよ．
次に，解の組$(x,\ y)$で$x>500$となる$(x,\ y)$を$1$つ求めよ．
(3)$n$を自然数とする．漸化式
$a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n-6n=0$
$a_1=1,\ a_2=1$
で定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(4)$n$を$0$以上の整数とする．以下の不定積分を求めよ．
\[ \int \left\{ -\frac{(\log x)^n}{x^2} \right\} \, dx=\sum_{k=0}^n [ ] \]
ただし，積分定数は書かなくてよい．
(1)ある大学で$N$人の学生が数学を受験した．その得点を$x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_N$とする．平均値$\overline{x}$および分散$s^2$は各々
$\displaystyle \overline{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_N}{N}$
$\displaystyle s^2=\frac{(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\cdots +(x_N-\overline{x})^2}{N}$
で与えられる．標準偏差$s (>0)$は
\[ s=\sqrt{s^2} \]
となる．このとき$x$点を取った学生の{\bf 偏差値}は
\[ t=50+10 \times \frac{x-\overline{x}}{s} \]
で与えられる（$x \in \{x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_N\}$）．偏差値は{\bf 無単位}であることに注意せよ．
$\mathrm{Y}$大学で$N=3n$人の学生が数学を受験し，たまたま$2n$人の学生が$a$点，残りの$n$人の学生が$b$点を取ったとしよう．簡単にするために$a<b$とする．$a$点を取った学生および$b$点を取った学生の偏差値を求めよ．
(2)方程式
\[ x^2-3y^2=13 \]
の整数解を求める．簡単にするために$x>0,\ y>0$とする．まず
\[ X=ax+by,\quad Y=cx+dy \]
とおく．$a,\ b,\ c,\ d$を自然数として，$(X,\ Y)$が再び方程式
\[ X^2-3Y^2=13 \]
を満たすための組$(a,\ b,\ c,\ d)$を$1$つ求めよ．
次に，解の組$(x,\ y)$で$x>500$となる$(x,\ y)$を$1$つ求めよ．
(3)$n$を自然数とする．漸化式
$a_{n+2}-5a_{n+1}+6a_n-6n=0$
$a_1=1,\ a_2=1$
で定められる数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(4)$n$を$0$以上の整数とする．以下の不定積分を求めよ．
\[ \int \left\{ -\frac{(\log x)^n}{x^2} \right\} \, dx=\sum_{k=0}^n [ ] \]
ただし，積分定数は書かなくてよい．
公立 首都大学東京 2016年 第1問$a$と$b$を$0 \leqq a \leqq 1$，$0 \leqq b<1$をみたす定数とする．数列$\{a_n\}$を次の条件によって定める．
\[ a_1=a,\quad a_{n+1}=\frac{1}{2}({a_n}^2+b) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
$c=1-\sqrt{1-b}$とおく．以下の問いに答えなさい．
(1)$0 \leqq a_n \leqq 1$が成り立つことを示しなさい．
(2)$\displaystyle a_{n+1}-c=\frac{1}{2}(a_n+c)(a_n-c)$が成り立つことを示しなさい．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=c$が成り立つことを示しなさい．
\[ a_1=a,\quad a_{n+1}=\frac{1}{2}({a_n}^2+b) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
$c=1-\sqrt{1-b}$とおく．以下の問いに答えなさい．
(1)$0 \leqq a_n \leqq 1$が成り立つことを示しなさい．
(2)$\displaystyle a_{n+1}-c=\frac{1}{2}(a_n+c)(a_n-c)$が成り立つことを示しなさい．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=c$が成り立つことを示しなさい．
公立 公立はこだて未来大学 2016年 第4問数列$\{a_n\}$が以下の漸化式をみたすとする．
\[ a_1=-4,\quad a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+\frac{3}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
また，実数$x$の多項式$P_n(x)$を
\[ P_n(x)=a_1x+\cdots +a_nx^n \]
で定める．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$P_n(x)$を$x-1$で割ったときの余りを求めよ．
(3)$P_n(x)$を$x-4$で割ったときの余りが$-24$になるように，$n$の値を定めよ．
\[ a_1=-4,\quad a_{n+1}=\frac{1}{2}a_n+\frac{3}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
また，実数$x$の多項式$P_n(x)$を
\[ P_n(x)=a_1x+\cdots +a_nx^n \]
で定める．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$P_n(x)$を$x-1$で割ったときの余りを求めよ．
(3)$P_n(x)$を$x-4$で割ったときの余りが$-24$になるように，$n$の値を定めよ．
公立 和歌山県立医科大学 2016年 第3問自然数の数列$\{a_n\}$を次のように定める．
\[ a_1=1,\quad a_2=1,\quad a_{n+2}=a_{n+1}+6a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
次の問いに答えよ．
(1)自然数$n$に対し，$a_{n+2}-pa_{n+1}=q(a_{n+1}-pa_n)$をみたすような数$p,\ q$を求めることにより，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)自然数$m,\ n$に対し，$a_{m+n+1}=a_{m+1}a_{n+1}+6a_ma_n$が成り立つことを証明せよ．
(3)自然数$m,\ n$に対し，$m$が$n$で割り切れるとき，$a_m$は$a_n$で割り切れることを証明せよ．
(4)$a_{12}$を素因数分解せよ．
\[ a_1=1,\quad a_2=1,\quad a_{n+2}=a_{n+1}+6a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
次の問いに答えよ．
(1)自然数$n$に対し，$a_{n+2}-pa_{n+1}=q(a_{n+1}-pa_n)$をみたすような数$p,\ q$を求めることにより，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2)自然数$m,\ n$に対し，$a_{m+n+1}=a_{m+1}a_{n+1}+6a_ma_n$が成り立つことを証明せよ．
(3)自然数$m,\ n$に対し，$m$が$n$で割り切れるとき，$a_m$は$a_n$で割り切れることを証明せよ．
(4)$a_{12}$を素因数分解せよ．
公立 奈良県立医科大学 2016年 第7問$\displaystyle a_1=\frac{1}{2},\ a_{n+1}=\frac{a_n}{2-a_n}$で与えられる数列$\{a_n\}$の$a_{11}$を求めよ．
公立 京都府立大学 2016年 第2問$2$つの数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$を
$a_1=1,\quad b_1=0,\quad a_2=0,\quad b_2=1$
$a_{n+2}=2a_{n+1}+a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$b_{n+2}=2b_{n+1}+b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
で定める．関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2+x}$に対し，関数$g_n(x) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を
$g_1(x)=f(x)$
$g_{n+1}(x)=g_n(f(x)) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
で定める．以下の問いに答えよ．
(1)$a_{n+2}=b_{n+1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$となることを示せ．
(2)$\displaystyle g_n(0)=\frac{a_{n+2}}{b_{n+2}} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$となることを示せ．
(3)数列$\{c_n\}$を$c_n=g_n(0) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定めるとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} c_n$を求めよ．
$a_1=1,\quad b_1=0,\quad a_2=0,\quad b_2=1$
$a_{n+2}=2a_{n+1}+a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$b_{n+2}=2b_{n+1}+b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
で定める．関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2+x}$に対し，関数$g_n(x) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を
$g_1(x)=f(x)$
$g_{n+1}(x)=g_n(f(x)) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
で定める．以下の問いに答えよ．
(1)$a_{n+2}=b_{n+1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$となることを示せ．
(2)$\displaystyle g_n(0)=\frac{a_{n+2}}{b_{n+2}} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$となることを示せ．
(3)数列$\{c_n\}$を$c_n=g_n(0) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定めるとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} c_n$を求めよ．
公立 札幌医科大学 2016年 第1問次の問に答えよ．
(1)空間上の$3$点を$\mathrm{A}(0,\ 1,\ 3)$，$\mathrm{B}(-1,\ 3,\ 2)$，$\mathrm{C}(1,\ 2,\ -1)$とする．この$3$点を通る平面上に$\mathrm{D}(a,\ b,\ -1)$があるとき，$a$と$b$の関係式を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$は
\[ a_1=a>0,\quad a_{n+1}=16{a_n}^3 \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
をみたすものとする．
(i) 数列$\{b_n\}$を$b_n=\log_2 a_n$とするとき，$\{b_n\}$の一般項を$a$と$n$を用いて表せ．
(ii) 数列$\{a_n\}$の一般項を$a$と$n$を用いて表せ．
(iii) すべての$n$について$a_n=a$をみたすような$a$の値を求めよ．
(3)複素数平面において，等式$2 |z-4|=3 |z-3i|$をみたす点$z$の全体はどのような図形を表すか．ただし$i$は虚数単位とする．
(1)空間上の$3$点を$\mathrm{A}(0,\ 1,\ 3)$，$\mathrm{B}(-1,\ 3,\ 2)$，$\mathrm{C}(1,\ 2,\ -1)$とする．この$3$点を通る平面上に$\mathrm{D}(a,\ b,\ -1)$があるとき，$a$と$b$の関係式を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$は
\[ a_1=a>0,\quad a_{n+1}=16{a_n}^3 \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
をみたすものとする．
(i) 数列$\{b_n\}$を$b_n=\log_2 a_n$とするとき，$\{b_n\}$の一般項を$a$と$n$を用いて表せ．
(ii) 数列$\{a_n\}$の一般項を$a$と$n$を用いて表せ．
(iii) すべての$n$について$a_n=a$をみたすような$a$の値を求めよ．
(3)複素数平面において，等式$2 |z-4|=3 |z-3i|$をみたす点$z$の全体はどのような図形を表すか．ただし$i$は虚数単位とする．
国立 埼玉大学 2015年 第3問数列$\{a_n\}$は初項が$4$で，$A,\ B$をある定数として
\[ a_{n+1}=\frac{Aa_n+B}{a_n+2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で与えられている．数列$\{b_n\}$は等比数列であり，関係式
\[ a_nb_n-a_n+b_n+3=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたす．このとき下記の設問に答えよ．
(1)$A,\ B$を求めよ．
(2)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
\[ a_{n+1}=\frac{Aa_n+B}{a_n+2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で与えられている．数列$\{b_n\}$は等比数列であり，関係式
\[ a_nb_n-a_n+b_n+3=0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたす．このとき下記の設問に答えよ．
(1)$A,\ B$を求めよ．
(2)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．