$s>0$，$t>0$とする．正の数からなる$2$つの数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$は初項と第$2$項が$a_1=b_1=s$，$a_2=b_2=t$であり，すべての自然数$n$に対して
\[ a_{n+2}=\frac{a_{n+1}+a_n}{2},\quad b_{n+2}=\sqrt{b_{n+1}b_n} \]
をみたすとする．次に答えよ．

(1)$a_3,\ b_3,\ a_4,\ b_4$を$s,\ t$を用いて表せ．
(2)自然数$n$に対して，$c_n=a_{n+1}-a_n$とおく．数列$\{c_n\}$は等比数列であることを示し，一般項を求めよ．さらに，数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)自然数$n$に対して，$d_n=\log b_n$とおく．数列$\{d_n\}$の一般項を求めよ．さらに，数列$\{b_n\}$の一般項を$s$の累乗と$t$の累乗を用いて表せ．ただし，対数は自然対数とする．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$と$\displaystyle \lim_{n \to \infty}b_n$を求めよ．
(5)$t=s$は$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\lim_{n \to \infty}b_n$であるための必要十分条件であることを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)次の式で定義される数列$\{a_n\}$がある．
\[ a_1=2,\quad a_{n+1}=a_n+4n-1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
次の項を求めよ．

\mon[$①$] 第$2$項から第$5$項まで
\mon[$②$] 一般項$a_n$

(2)次の値を求めよ．

\mon[$①$] ${(1+x)}^{10}$の展開式における$x^7$の項の係数
\mon[$②$] ${16}^{16}$を$225$で割ったときの余り

次の問いに答えよ．

(1)次の式で定義される数列$\{a_n\}$がある．
\[ a_1=2,\quad a_{n+1}=a_n+4n-1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
次の項を求めよ．

\mon[$①$] 第$2$項から第$5$項まで
\mon[$②$] 一般項$a_n$

(2)次の値を求めよ．

\mon[$①$] ${(1+x)}^{10}$の展開式における$x^7$の項の係数
\mon[$②$] ${16}^{16}$を$225$で割ったときの余り

$n$を自然数とする．下図のように，$3$本の平行な道路$\ell_1$，$\ell_2$，$\ell_3$があり，$\ell_1,\ \ell_2$をつなぐ縦の道と，$\ell_2,\ \ell_3$をつなぐ縦の道がそれぞれ$n$本ずつ，交互に配置されているとする．
（図は省略）
次の規則に従い図の$\mathrm{X}$から出発して$\mathrm{P}_n$，$\mathrm{Q}_n$，$\mathrm{R}_n$に到達する経路の個数をそれぞれ$a_n$，$b_n$，$c_n$とする．


\mon[（規則）] $\ell_1$，$\ell_2$，$\ell_3$は一方通行であり，西方向には進むことができない．また，一度通った縦の道を再び通ることもできない．

次の問いに答えよ．

(1)$a_2,\ b_2$を求めよ．
(2)$a_{n+1}$を$a_n,\ b_n$を用いて表せ．
(3)$b_n=c_n$が成り立つことを証明せよ．
(4)$a_1,\ b_1,\ a_2,\ b_2,\ \cdots,\ a_k,\ b_k,\ \cdots$と順に並べてできる数列を$\{f_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．$f_{n+2}$を$f_n$，$f_{n+1}$を用いて表せ．また，それを用いて$a_7$を求めよ．

$2$つの数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$が$a_1=0$，$b_1=1$および
\[ \left\{ \begin{array}{l}
a_{n+1}=a_n-b_n \\
b_{n+1}=a_n+3b_n+1 \phantom{\frac{\mkakko{}}{2}}
\end{array} \right. (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定められている．

(1)$c_n=a_n+b_n+1$によって定められる数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
(2)$a_{n+1}$を$a_n$と$n$を用いて表せ．

(3)$\displaystyle d_n=\frac{a_n+1}{2^n}$によって定められる数列$\{d_n\}$の一般項を求めよ．

(4)$\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{2^k}$を求めよ．

数列$\{a_n\}$が，
\[ a_1=1,\quad \frac{(1-a_{n+1})a_n}{a_{n+1}}=\frac{a_{n+1}}{(1+a_{n+1})a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすとき，次の問いに答えよ．ただし，すべての自然数$n$について$a_n>0$とする．


(1)数列$\{b_n\}$が$\displaystyle b_n=\frac{1}{{a_n}^2}$で与えられるとき，$b_2,\ b_3,\ b_4$の値を求めよ．

(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．

(3)不等式$\displaystyle \int_1^{n+1} \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx < \sum_{k=1}^n a_k$が成り立つことを示せ．

数列$\{a_n\}$を以下のように定める．
\[ 1^2,\ 1^2+3^2,\ 1^2+3^2+5^2,\ \cdots,\ 1^2+3^2+5^2+\cdots +(2n-1)^2,\ \cdots \]
また，数列$\{b_n\}$を以下のように定める．
\[ 2^2,\ 2^2+4^2,\ 2^2+4^2+6^2,\ \cdots,\ 2^2+4^2+6^2+\cdots +(2n)^2,\ \cdots \]
このとき，以下の問いに答えよ．ただし，$n$は自然数とする．

(1)数列$\{a_n\}$の第$n$項を$n$を用いて表せ．
(2)数列$\{a_n-b_n\}$の第$n$項を$n$を用いて表せ．
(3)$c_n=a_{n+1}-b_n$とおくとき，$c_n>100(n+1)$となる最小の$n$を求めよ．

次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある．
\[ a_1=-\frac{1}{5},\quad a_n-a_{n+1}=2(3n+1)(n-3)a_na_{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
このとき，次の問いに答えよ．

(1)$1$以上の整数$n$に対し，$a_n \neq 0$であることを示せ．
(2)$a_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$a_n<0$を満たす$a_n$の値のうち，最大のものを$M$とする．$a_n=M$であるような$n$を求めよ．

次の条件によって定められる数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$がある．

$a_1=1,\quad b_1=2,$
$a_{n+1}=a_n+4b_n,\quad b_{n+1}=a_n-2b_n$


(1)数列$\{a_n+b_n\},\ \{a_n-4b_n\}$の一般項について，

$a_n+b_n=[ヘ] \cdot {[ホ]}^{n-1},$

$a_n-4b_n=-[マ] {(-[ミ])}^{n-1}$

が成り立つ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項について，
\[ a_n=\frac{[ム][メ] \cdot {[モ]}^{n-1}-[ヤ] \cdot {(-[ユ])}^{n-1}}{[ヨ]} \]
が成り立つ．
(3)数列$\{a_n\}$の漸化式について，
\[ a_{n+2}+[ラ]a_{n+1}-[リ]a_n=0 \]
が成り立つ．

次の$[　]$に適する数または式を記入せよ．

(1)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする．関数$f(\theta)=\sin \theta+\sqrt{3} \cos \theta$は最小値$[ア]$を$\theta=[イ]$でとる．関数$\displaystyle g(\theta)=\sqrt{3} f(\theta)-2 \cos \left( \theta+\frac{\pi}{3} \right)$は最小値$[ウ]$を$\theta=[エ]$でとる．
(2)箱から玉を$1$個取り出し，この玉に$1$個の玉を新たに加えた合計$2$個の玉を箱に戻す試行を繰り返す．新たに加える玉の色は白あるいは黒のみとする．最初に，$2$個の白玉と$3$個の黒玉が入っている箱を考える．新たに加える玉の色は取り出した玉と同色とすると，$3$回目の試行において白玉を取り出す確率は$[オ]$，$n$回目の試行において白玉を取り出す確率$P_n$は$[カ]$，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n$は$[キ]$である．次に，$3$個の白玉と$4$個の黒玉が入っている箱を考える．新たに加える玉の色は取り出した玉と異なる色とすると，$3$回目の試行において白玉を取り出す確率は$[ク]$である．$n$回目の試行において白玉を取り出す確率を$Q_n$とすると，$Q_n$は漸化式$\displaystyle Q_n=[ケ]Q_{n-1}+\frac{1}{6+n} (n \geqq 2)$を満たし，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}Q_n$は$[コ]$である．