「漸化式」について
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国立 埼玉大学 2016年 第2問$\displaystyle f(x)=\frac{3^x-1}{3^x+1},\ g(x)=\frac{x^2+4x+1}{2(x^2+x+1)}$とする．次の問いに答えよ．
(1)$g(f(x))=f(2x+1)$が成り立つことを示せ．
(2)数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=2a_n+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定め，数列$\{b_n\}$を
\[ b_1=\frac{1}{2},\quad b_{n+1}=g(b_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める．
\mon[（ア）] $b_n=f(a_n) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ．
\mon[（イ）] 数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．
\mon[（ウ）] $\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n$を求めよ．
(1)$g(f(x))=f(2x+1)$が成り立つことを示せ．
(2)数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=2a_n+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定め，数列$\{b_n\}$を
\[ b_1=\frac{1}{2},\quad b_{n+1}=g(b_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める．
\mon[（ア）] $b_n=f(a_n) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ．
\mon[（イ）] 数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．
\mon[（ウ）] $\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n$を求めよ．
国立 筑波大学 2016年 第5問$\triangle \mathrm{PQR}$において$\angle \mathrm{RPQ}=\theta$，$\displaystyle \angle \mathrm{PQR}=\frac{\pi}{2}$とする．点$\mathrm{P}_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を次で定める．
\[ \mathrm{P}_1=\mathrm{P},\quad \mathrm{P}_2=\mathrm{Q},\quad \mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+2}=\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1} \]
ただし，点$\mathrm{P}_{n+2}$は線分$\mathrm{P}_n \mathrm{R}$上にあるものとする．実数$\theta_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を
\[ \theta_n=\angle \mathrm{P}_{n+1} \mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+2} \quad (0<\theta_n<\pi) \]
で定める．
(1)$\theta_2,\ \theta_3$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \theta_{n+1}+\frac{\theta_n}{2} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は$n$によらない定数であることを示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \theta_n$を求めよ．
（図は省略）
\[ \mathrm{P}_1=\mathrm{P},\quad \mathrm{P}_2=\mathrm{Q},\quad \mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+2}=\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1} \]
ただし，点$\mathrm{P}_{n+2}$は線分$\mathrm{P}_n \mathrm{R}$上にあるものとする．実数$\theta_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を
\[ \theta_n=\angle \mathrm{P}_{n+1} \mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+2} \quad (0<\theta_n<\pi) \]
で定める．
(1)$\theta_2,\ \theta_3$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \theta_{n+1}+\frac{\theta_n}{2} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は$n$によらない定数であることを示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \theta_n$を求めよ．
（図は省略）
国立 宮城教育大学 2016年 第3問$2$つの数列$\{\theta_n\},\ \{a_n\}$を漸化式
$\displaystyle \theta_1=\frac{\pi}{4},\quad \theta_{n+1}=\frac{\pi-\theta_n}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots),$
$\displaystyle a_1=\sqrt{2},\quad a_{n+1}=\sqrt{|2-a_n|} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
によって定義するとき，次の問いに答えよ．
(1)数列$\{\theta_n\}$の一般項を求めよ．また$\displaystyle 0<\theta_n<\frac{\pi}{2} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle \cos \theta_{n+1}=\sqrt{\frac{1-\cos \theta_n}{2}} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(3)$2 \cos \theta_n=a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$の値を求めよ．
$\displaystyle \theta_1=\frac{\pi}{4},\quad \theta_{n+1}=\frac{\pi-\theta_n}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots),$
$\displaystyle a_1=\sqrt{2},\quad a_{n+1}=\sqrt{|2-a_n|} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
によって定義するとき，次の問いに答えよ．
(1)数列$\{\theta_n\}$の一般項を求めよ．また$\displaystyle 0<\theta_n<\frac{\pi}{2} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(2)$\displaystyle \cos \theta_{n+1}=\sqrt{\frac{1-\cos \theta_n}{2}} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(3)$2 \cos \theta_n=a_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(4)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$の値を求めよ．
国立 香川大学 2016年 第1問$3$つの数列$\{a_n\},\ \{b_n\},\ \{c_n\}$を次のように定める．
$a_1=3,\quad b_1=2,\quad c_1=1,$
$\displaystyle a_{n+1}=\frac{b_n+c_n}{4},$
$\displaystyle b_{n+1}=\frac{c_n+a_n}{4},$
$\displaystyle c_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{4} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
このとき，次の問に答えよ．
(1)$a_n+b_n+c_n$を$n$を用いて表せ．
(2)$a_n-b_n,\ a_n-c_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．
(3)$a_n,\ b_n,\ c_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．
$a_1=3,\quad b_1=2,\quad c_1=1,$
$\displaystyle a_{n+1}=\frac{b_n+c_n}{4},$
$\displaystyle b_{n+1}=\frac{c_n+a_n}{4},$
$\displaystyle c_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{4} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
このとき，次の問に答えよ．
(1)$a_n+b_n+c_n$を$n$を用いて表せ．
(2)$a_n-b_n,\ a_n-c_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．
(3)$a_n,\ b_n,\ c_n$をそれぞれ$n$を用いて表せ．
国立 福島大学 2016年 第5問$n$を自然数とし，$a_n=\cos n\theta,\ b_n=\sin n\theta$とする．
(1)$a_{n+1},\ b_{n+1}$を$a_n,\ b_n,\ \cos \theta,\ \sin \theta$を用いて表しなさい．
(2)$a_{n+2}$を$a_{n+1},\ a_n,\ \cos \theta$を用いて表しなさい．
(3)$\displaystyle \cos \theta=\frac{3}{4}$のとき$\cos 5\theta$の値を求めなさい．
(1)$a_{n+1},\ b_{n+1}$を$a_n,\ b_n,\ \cos \theta,\ \sin \theta$を用いて表しなさい．
(2)$a_{n+2}$を$a_{n+1},\ a_n,\ \cos \theta$を用いて表しなさい．
(3)$\displaystyle \cos \theta=\frac{3}{4}$のとき$\cos 5\theta$の値を求めなさい．
国立 鳥取大学 2016年 第1問数列$\{a_n\}$を以下のように定める．
\[ 1^2,\ 1^2+3^2,\ 1^2+3^2+5^2,\ \cdots,\ 1^2+3^2+5^2+\cdots +(2n-1)^2,\ \cdots \]
また，数列$\{b_n\}$を以下のように定める．
\[ 2^2,\ 2^2+4^2,\ 2^2+4^2+6^2,\ \cdots,\ 2^2+4^2+6^2+\cdots +(2n)^2,\ \cdots \]
このとき，以下の問いに答えよ．ただし，$n$は自然数とする．
(1)数列$\{a_n\}$の第$n$項を$n$を用いて表せ．
(2)数列$\{a_n-b_n\}$の第$n$項を$n$を用いて表せ．
(3)$c_n=a_{n+1}-b_n$とおくとき，$c_n>100(n+1)$となる最小の$n$を求めよ．
\[ 1^2,\ 1^2+3^2,\ 1^2+3^2+5^2,\ \cdots,\ 1^2+3^2+5^2+\cdots +(2n-1)^2,\ \cdots \]
また，数列$\{b_n\}$を以下のように定める．
\[ 2^2,\ 2^2+4^2,\ 2^2+4^2+6^2,\ \cdots,\ 2^2+4^2+6^2+\cdots +(2n)^2,\ \cdots \]
このとき，以下の問いに答えよ．ただし，$n$は自然数とする．
(1)数列$\{a_n\}$の第$n$項を$n$を用いて表せ．
(2)数列$\{a_n-b_n\}$の第$n$項を$n$を用いて表せ．
(3)$c_n=a_{n+1}-b_n$とおくとき，$c_n>100(n+1)$となる最小の$n$を求めよ．
国立 鳥取大学 2016年 第1問数列$\{a_n\}$を以下のように定める．
\[ 1^2,\ 1^2+3^2,\ 1^2+3^2+5^2,\ \cdots,\ 1^2+3^2+5^2+\cdots +(2n-1)^2,\ \cdots \]
また，数列$\{b_n\}$を以下のように定める．
\[ 2^2,\ 2^2+4^2,\ 2^2+4^2+6^2,\ \cdots,\ 2^2+4^2+6^2+\cdots +(2n)^2,\ \cdots \]
このとき，以下の問いに答えよ．ただし，$n$は自然数とする．
(1)数列$\{a_n\}$の第$n$項を$n$を用いて表せ．
(2)数列$\{a_n-b_n\}$の第$n$項を$n$を用いて表せ．
(3)$c_n=a_{n+1}-b_n$とおくとき，$c_n$が$6$の倍数となるための$n$の条件を求めよ．
\[ 1^2,\ 1^2+3^2,\ 1^2+3^2+5^2,\ \cdots,\ 1^2+3^2+5^2+\cdots +(2n-1)^2,\ \cdots \]
また，数列$\{b_n\}$を以下のように定める．
\[ 2^2,\ 2^2+4^2,\ 2^2+4^2+6^2,\ \cdots,\ 2^2+4^2+6^2+\cdots +(2n)^2,\ \cdots \]
このとき，以下の問いに答えよ．ただし，$n$は自然数とする．
(1)数列$\{a_n\}$の第$n$項を$n$を用いて表せ．
(2)数列$\{a_n-b_n\}$の第$n$項を$n$を用いて表せ．
(3)$c_n=a_{n+1}-b_n$とおくとき，$c_n$が$6$の倍数となるための$n$の条件を求めよ．
国立 小樽商科大学 2016年 第3問次の$[ ]$の中を適当に補え．
(1)$\displaystyle \frac{5561}{6059}$をこれ以上約分できない分数に直すと$[ ]$．
(2)次の漸化式で定められる数列$\{a_n\}$を考える．
\[ a_1=2,\quad a_{n+1}=(a_n+n)(a_n-n) \]
このとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^5 a_k$を求めると$[ ]$．
(3)数直線上で，点$\mathrm{P}$の出発点を原点$\mathrm{O}$とし，サイコロを投げたとき，出た目に応じて，次の規則で点$\mathrm{P}$を動かすものとする．
\begin{itemize}
出た目が$1$または$2$のとき，点$\mathrm{P}$を正の方向へ$1$だけ動かす．
出た目が$3$または$4$のとき，点$\mathrm{P}$を負の方向へ$1$だけ動かす．
出た目が$5$または$6$のとき，点$\mathrm{P}$を原点$\mathrm{O}$に戻す．
\end{itemize}
サイコロを$3$回投げたとき，点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$にいる確率は$[ ]$．
(1)$\displaystyle \frac{5561}{6059}$をこれ以上約分できない分数に直すと$[ ]$．
(2)次の漸化式で定められる数列$\{a_n\}$を考える．
\[ a_1=2,\quad a_{n+1}=(a_n+n)(a_n-n) \]
このとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^5 a_k$を求めると$[ ]$．
(3)数直線上で，点$\mathrm{P}$の出発点を原点$\mathrm{O}$とし，サイコロを投げたとき，出た目に応じて，次の規則で点$\mathrm{P}$を動かすものとする．
\begin{itemize}
出た目が$1$または$2$のとき，点$\mathrm{P}$を正の方向へ$1$だけ動かす．
出た目が$3$または$4$のとき，点$\mathrm{P}$を負の方向へ$1$だけ動かす．
出た目が$5$または$6$のとき，点$\mathrm{P}$を原点$\mathrm{O}$に戻す．
\end{itemize}
サイコロを$3$回投げたとき，点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}$にいる確率は$[ ]$．
国立 和歌山大学 2016年 第2問数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=2,\quad a_{n+1}=\frac{a_n+2}{2a_n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．また，数列$\{b_n\}$は
\[ b_n=\frac{a_n-1}{a_n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たす．次の問いに答えよ．
(1)$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．
(2)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
\[ a_1=2,\quad a_{n+1}=\frac{a_n+2}{2a_n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．また，数列$\{b_n\}$は
\[ b_n=\frac{a_n-1}{a_n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たす．次の問いに答えよ．
(1)$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．
(2)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
国立 和歌山大学 2016年 第2問数列$\{a_n\}$を
\[ a_1=2,\quad a_{n+1}=\frac{a_n+2}{2a_n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．また，数列$\{b_n\}$は
\[ b_n=\frac{a_n-1}{a_n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たす．次の問いに答えよ．
(1)$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．
(2)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
\[ a_1=2,\quad a_{n+1}=\frac{a_n+2}{2a_n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定める．また，数列$\{b_n\}$は
\[ b_n=\frac{a_n-1}{a_n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たす．次の問いに答えよ．
(1)$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ．
(2)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．