次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある．
\[ a_1=-\frac{1}{5},\quad a_n-a_{n+1}=2(3n+1)(n-3)a_na_{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ \cdots) \]
このとき，次の問いに答えよ．

(1)$1$以上の整数$n$に対し，$a_n \neq 0$であることを示せ．
(2)$a_n$を$n$を用いて表せ．
(3)$a_n<0$を満たす$a_n$の値のうち，最大のものを$M$とする．$a_n=M$であるような$n$を求めよ．

各項が正の数である$2$つの数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$は

$a_1=1,\quad b_1=e,$
$\displaystyle a_{n+1}={a_n}^5 \cdot {b_n}^{3},\quad b_{n+1}=\frac{b_n}{a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

を満たすとする．ただし，$e$は自然対数の底とする．

(1)$c_n=\log a_n$，$d_n=\log b_n$とおく．ただし，対数は自然対数とする．
\[ c_{n+1}+\alpha d_{n+1}=\beta (c_n+\alpha d_n) \]
を満たす定数$\alpha,\ \beta$の組をすべて求めよ．
(2)数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項を求めよ．

$c$は$c>1$を満たす定数とする．数列$\{a_n\}$を次の条件によって定める．
\[ a_1=1,\quad c(a_{n+1})^n=(a_n)^{n+1},\quad a_n>0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，次の各問に答えよ．

(1)$\displaystyle b_n=\frac{1}{n} \log a_n$とする（$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$）．ただし，$\log$は自然対数を表す．このとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)和$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$と$\displaystyle \sum_{k=1}^n k \log a_k$をそれぞれ求めよ．

$c$は$c>1$を満たす定数とする．数列$\{a_n\}$を次の条件によって定める．
\[ a_1=1,\quad c(a_{n+1})^n=(a_n)^{n+1},\quad a_n>0 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，次の各問に答えよ．

(1)$\displaystyle b_n=\frac{1}{n} \log a_n$とする（$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$）．ただし，$\log$は自然対数を表す．このとき，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)和$\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k$と$\displaystyle \sum_{k=1}^n k \log a_k$をそれぞれ求めよ．

一般項が$\displaystyle a_n=\frac{n!}{n^n}$で表される数列$\{a_n\}$について，次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=0$を示せ．
(2)$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}}$を求めよ．
(3)$2$以上の整数$k$に対して，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \displaystyle\frac{a_{kn}}{a_n} \right)^{\frac{1}{n}}$を$k$を用いて表せ．

数列$\{a_n\}$が
\[ a_1=-1,\quad a_{n+1}=2a_n+3n-3 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められているとき，次の問に答えよ．

(1)$b_n=a_n+3n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．このとき，$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)すべての自然数$n$に対し，$a_n \neq 0$であることを示せ．
(4)次の式で定められる数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
\[ c_1=8,\quad c_{n+1}=\frac{c_n}{nc_n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(5)次の式で定められる数列$\{d_n\}$の一般項を求めよ．
\[ d_1=-8,\quad d_{n+1}=\frac{a_{n+1}d_n}{nd_n+a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]

数列$\{a_n\}$が
\[ a_1=-1,\quad a_{n+1}=2a_n+3n-3 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められているとき，次の問に答えよ．

(1)$b_n=a_n+3n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．このとき，$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)すべての自然数$n$に対し，$a_n \neq 0$であることを示せ．
(4)次の式で定められる数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
\[ c_1=8,\quad c_{n+1}=\frac{c_n}{nc_n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(5)次の式で定められる数列$\{d_n\}$の一般項を求めよ．
\[ d_1=-8,\quad d_{n+1}=\frac{a_{n+1}d_n}{nd_n+a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]

数列$\{a_n\}$が
\[ a_1=-1,\quad a_{n+1}=2a_n+3n-3 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められているとき，次の問に答えよ．

(1)$b_n=a_n+3n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．このとき，$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)すべての自然数$n$に対し，$a_n \neq 0$であることを示せ．
(4)次の式で定められる数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
\[ c_1=8,\quad c_{n+1}=\frac{c_n}{nc_n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(5)次の式で定められる数列$\{d_n\}$の一般項を求めよ．
\[ d_1=-8,\quad d_{n+1}=\frac{a_{n+1}d_n}{nd_n+a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]

数列$\{a_n\}$は
\[ a_1=5,\quad {a_1}^2+{a_2}^2+\cdots +{a_n}^2=\frac{2}{3} a_na_{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたすとする．次の問いに答えよ．

(1)$a_2,\ a_3$を求めよ．
(2)$a_{n+2}$を$a_n,\ a_{n+1}$を用いて表せ．
(3)一般項$a_n$を求めよ．

数列$\{a_n\}$は
\[ a_1=5,\quad {a_1}^2+{a_2}^2+\cdots +{a_n}^2=\frac{2}{3} a_na_{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
をみたすとする．次の問いに答えよ．

(1)$a_2,\ a_3$を求めよ．
(2)$a_{n+2}$を$a_n,\ a_{n+1}$を用いて表せ．
(3)一般項$a_n$を求めよ．