「漸化式」について
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国立 静岡大学 2015年 第1問次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$がある．
$\displaystyle a_1=\frac{1}{2},\quad 3a_{n+1}=a_n-2a_{n+1}a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$\displaystyle b_1=1,\quad b_{n+1}=b_n+\frac{n}{a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
このとき，次の問いに答えよ．ただし，すべての自然数$n$について$a_n>0$である．
(1)$\displaystyle c_n=\frac{1}{a_n}$とおくとき，$c_{n+1}$と$c_n$の関係式を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
$\displaystyle a_1=\frac{1}{2},\quad 3a_{n+1}=a_n-2a_{n+1}a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$\displaystyle b_1=1,\quad b_{n+1}=b_n+\frac{n}{a_n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
このとき，次の問いに答えよ．ただし，すべての自然数$n$について$a_n>0$である．
(1)$\displaystyle c_n=\frac{1}{a_n}$とおくとき，$c_{n+1}$と$c_n$の関係式を求めよ．
(2)数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
国立 熊本大学 2015年 第4問$r$を正の実数とする．数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\int_0^{n\pi} e^{-rx}|\sin x| \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定めるとき，以下の問いに答えよ．
(1)$a_{n+1}-a_n$を求めよ．
(2)$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を$r$を用いて表せ．
(4)$(3)$で求めた$r$の式を$f(r)$とおく．$\displaystyle \lim_{r \to +0}rf(r)$を求めよ．
\[ a_n=\int_0^{n\pi} e^{-rx}|\sin x| \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定めるとき，以下の問いに答えよ．
(1)$a_{n+1}-a_n$を求めよ．
(2)$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を$r$を用いて表せ．
(4)$(3)$で求めた$r$の式を$f(r)$とおく．$\displaystyle \lim_{r \to +0}rf(r)$を求めよ．
国立 熊本大学 2015年 第4問数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\int_0^{n\pi} e^{-x}|\sin x| \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定めるとき，以下の問いに答えよ．
(1)$a_{n+1}-a_n$を求めよ．
(2)$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
\[ a_n=\int_0^{n\pi} e^{-x}|\sin x| \, dx \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
と定めるとき，以下の問いに答えよ．
(1)$a_{n+1}-a_n$を求めよ．
(2)$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
国立 香川大学 2015年 第3問数列$\{a_n\}$は，
\[ a_1=2,\quad a_{n+1}=\frac{2a_n+2}{a_n+2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められているとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$n$が自然数のとき，数学的帰納法を用いて$\sqrt{2}<a_n$を示せ．
(2)$n$が自然数のとき，$a_{n+1}<a_n$を示せ．
(3)$n$が自然数のとき，数学的帰納法を用いて
\[ a_n-\sqrt{2} \leqq \frac{(2-\sqrt{2})^n}{3^{n-1}} \]
を示せ．
\[ a_1=2,\quad a_{n+1}=\frac{2a_n+2}{a_n+2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められているとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$n$が自然数のとき，数学的帰納法を用いて$\sqrt{2}<a_n$を示せ．
(2)$n$が自然数のとき，$a_{n+1}<a_n$を示せ．
(3)$n$が自然数のとき，数学的帰納法を用いて
\[ a_n-\sqrt{2} \leqq \frac{(2-\sqrt{2})^n}{3^{n-1}} \]
を示せ．
国立 香川大学 2015年 第3問数列$\{a_n\}$は，
\[ a_1=2,\quad a_{n+1}=\frac{2a_n+2}{a_n+2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められているとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$n$が自然数のとき，数学的帰納法を用いて$\sqrt{2}<a_n$を示せ．
(2)$n$が自然数のとき，$a_{n+1}<a_n$を示せ．
(3)$n$が自然数のとき，数学的帰納法を用いて
\[ a_n-\sqrt{2} \leqq \frac{(2-\sqrt{2})^n}{3^{n-1}} \]
を示せ．
\[ a_1=2,\quad a_{n+1}=\frac{2a_n+2}{a_n+2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められているとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)$n$が自然数のとき，数学的帰納法を用いて$\sqrt{2}<a_n$を示せ．
(2)$n$が自然数のとき，$a_{n+1}<a_n$を示せ．
(3)$n$が自然数のとき，数学的帰納法を用いて
\[ a_n-\sqrt{2} \leqq \frac{(2-\sqrt{2})^n}{3^{n-1}} \]
を示せ．
国立 千葉大学 2015年 第6問$b$と$c$を$b^2+4c>0$を満たす実数として，$x$に関する$2$次方程式$x^2-bx-c=0$の相異なる解を$\alpha,\ \beta$とする．数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\alpha^{n-1}+\beta^{n-1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める．このとき，つぎの問いに答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$は漸化式
\[ a_{n+2}=ba_{n+1}+ca_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすことを示せ．
(2)数列$\{a_n\}$の項$a_n$がすべて整数であるための必要十分条件は，$b,\ c$がともに整数であることである．これを証明せよ．
\[ a_n=\alpha^{n-1}+\beta^{n-1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める．このとき，つぎの問いに答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$は漸化式
\[ a_{n+2}=ba_{n+1}+ca_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすことを示せ．
(2)数列$\{a_n\}$の項$a_n$がすべて整数であるための必要十分条件は，$b,\ c$がともに整数であることである．これを証明せよ．
国立 千葉大学 2015年 第1問$b$と$c$を$b^2+4c>0$を満たす実数として，$x$に関する$2$次方程式$x^2-bx-c=0$の相異なる解を$\alpha,\ \beta$とする．数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\alpha^{n-1}+\beta^{n-1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める．このとき，つぎの問いに答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$は漸化式
\[ a_{n+2}=ba_{n+1}+ca_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすことを示せ．
(2)数列$\{a_n\}$の項$a_n$がすべて整数であるための必要十分条件は，$b,\ c$がともに整数であることである．これを証明せよ．
\[ a_n=\alpha^{n-1}+\beta^{n-1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める．このとき，つぎの問いに答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$は漸化式
\[ a_{n+2}=ba_{n+1}+ca_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすことを示せ．
(2)数列$\{a_n\}$の項$a_n$がすべて整数であるための必要十分条件は，$b,\ c$がともに整数であることである．これを証明せよ．
国立 千葉大学 2015年 第1問$b$と$c$を$b^2+4c>0$を満たす実数として，$x$に関する$2$次方程式$x^2-bx-c=0$の相異なる解を$\alpha,\ \beta$とする．数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\alpha^{n-1}+\beta^{n-1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める．このとき，つぎの問いに答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$は漸化式
\[ a_{n+2}=ba_{n+1}+ca_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすことを示せ．
(2)数列$\{a_n\}$の項$a_n$がすべて整数であるための必要十分条件は，$b,\ c$がともに整数であることである．これを証明せよ．
\[ a_n=\alpha^{n-1}+\beta^{n-1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める．このとき，つぎの問いに答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$は漸化式
\[ a_{n+2}=ba_{n+1}+ca_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすことを示せ．
(2)数列$\{a_n\}$の項$a_n$がすべて整数であるための必要十分条件は，$b,\ c$がともに整数であることである．これを証明せよ．
国立 千葉大学 2015年 第2問$b$と$c$を$b^2+4c>0$を満たす実数として，$x$に関する$2$次方程式$x^2-bx-c=0$の相異なる解を$\alpha,\ \beta$とする．数列$\{a_n\}$を
\[ a_n=\alpha^{n-1}+\beta^{n-1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める．このとき，つぎの問いに答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$は漸化式
\[ a_{n+2}=ba_{n+1}+ca_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすことを示せ．
(2)数列$\{a_n\}$の項$a_n$がすべて整数であるための必要十分条件は，$b,\ c$がともに整数であることである．これを証明せよ．
\[ a_n=\alpha^{n-1}+\beta^{n-1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める．このとき，つぎの問いに答えよ．
(1)数列$\{a_n\}$は漸化式
\[ a_{n+2}=ba_{n+1}+ca_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすことを示せ．
(2)数列$\{a_n\}$の項$a_n$がすべて整数であるための必要十分条件は，$b,\ c$がともに整数であることである．これを証明せよ．
国立 徳島大学 2015年 第3問$c$を実数とする．数列$\{a_n\}$は次を満たす．
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=\frac{{a_n}^2+cn-4}{3n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(1)$a_2,\ a_3$を$c$を用いて表せ．
(2)$a_1+a_3 \leqq 2a_2$のとき，不等式$a_n \geqq 3 (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)$を示せ．
(3)$a_1+a_3=2a_2$のとき，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=\frac{{a_n}^2+cn-4}{3n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(1)$a_2,\ a_3$を$c$を用いて表せ．
(2)$a_1+a_3 \leqq 2a_2$のとき，不等式$a_n \geqq 3 (n=3,\ 4,\ 5,\ \cdots)$を示せ．
(3)$a_1+a_3=2a_2$のとき，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ．