「演算」について
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(1ページ目:全2問中1問~10問を表示)![沖縄国際大学](./img/univ/okinawakokusai.png)
以下の各問いに答えなさい.
(1)「実数」は,「実数」と「実数」に$3$つの演算(加法・減法・乗法)を行った場合,再び「実数」になる.同じように,同じ数の分類同士で$3$つの演算を行った結果が,再びその分類になるものを以下のなかからすべて選びなさい.
有理数,自然数,整数
(2)以下の$(ⅰ),\ (ⅱ)$についてその式を因数分解した式を答えなさい.
(i) $18x^2+9x-5$
(ii) $x^3+125$
(3)以下の$(ⅰ),\ (ⅱ)$の不等式の解を答えなさい.
(i) $|x+2|<5$
(ii) $|x+3|<2x+1$
(4)次の命題の対偶となる命題を答えなさい.
「$n+1$が偶数ならば,$n$は奇数」
(1)「実数」は,「実数」と「実数」に$3$つの演算(加法・減法・乗法)を行った場合,再び「実数」になる.同じように,同じ数の分類同士で$3$つの演算を行った結果が,再びその分類になるものを以下のなかからすべて選びなさい.
有理数,自然数,整数
(2)以下の$(ⅰ),\ (ⅱ)$についてその式を因数分解した式を答えなさい.
(i) $18x^2+9x-5$
(ii) $x^3+125$
(3)以下の$(ⅰ),\ (ⅱ)$の不等式の解を答えなさい.
(i) $|x+2|<5$
(ii) $|x+3|<2x+1$
(4)次の命題の対偶となる命題を答えなさい.
「$n+1$が偶数ならば,$n$は奇数」
![上智大学](./img/univ/jochi.png)
$N$を$2$以上の整数とする.整数$a,\ b$に対し,演算$\oplus$を
\[ a \oplus b=\biggl( (a+b) \text{を}N \text{で割ったときの余り} \biggr) \]
と定める.例えば,$N=2$のとき,
\[ 0 \oplus 0=0,\quad 0 \oplus 1=1,\quad 1 \oplus 1=0,\quad 1 \oplus 3=0 \]
である.
(1)次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$を考える.
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=a_n \oplus (n+1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(i) $N=4$のとき,$a_3=[ヌ]$である.
(ii) $N \geqq 4$とする.
$N$が偶数のとき,$\displaystyle a_{N+1}=\frac{[ネ]}{[ノ]}N+[ハ]$,
$N$が奇数のとき,$\displaystyle a_{N+1}=[ヒ]$である.
(iii) $N$が偶数のとき,$\displaystyle a_{N-1}=\frac{[フ]}{[ヘ]}N+[ホ]$,
$N$が奇数のとき,$\displaystyle a_{N-1}=[マ]$である.
(2)$N$を偶数とし,$N=2M$と表す.ただし,$M$は自然数である.次の条件によって定められる数列$\{b_n\}$を考える.
\[ b_1=1,\quad b_{n+1}=b_n \oplus (2n+1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき,$b_M=0$となる必要十分条件は,$N$が$[ミ]$の倍数となることである.
$N$が$[ミ]$の倍数でない偶数のとき,$\displaystyle b_M=\frac{[ム]}{[メ]}N$である.
\[ a \oplus b=\biggl( (a+b) \text{を}N \text{で割ったときの余り} \biggr) \]
と定める.例えば,$N=2$のとき,
\[ 0 \oplus 0=0,\quad 0 \oplus 1=1,\quad 1 \oplus 1=0,\quad 1 \oplus 3=0 \]
である.
(1)次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$を考える.
\[ a_1=1,\quad a_{n+1}=a_n \oplus (n+1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(i) $N=4$のとき,$a_3=[ヌ]$である.
(ii) $N \geqq 4$とする.
$N$が偶数のとき,$\displaystyle a_{N+1}=\frac{[ネ]}{[ノ]}N+[ハ]$,
$N$が奇数のとき,$\displaystyle a_{N+1}=[ヒ]$である.
(iii) $N$が偶数のとき,$\displaystyle a_{N-1}=\frac{[フ]}{[ヘ]}N+[ホ]$,
$N$が奇数のとき,$\displaystyle a_{N-1}=[マ]$である.
(2)$N$を偶数とし,$N=2M$と表す.ただし,$M$は自然数である.次の条件によって定められる数列$\{b_n\}$を考える.
\[ b_1=1,\quad b_{n+1}=b_n \oplus (2n+1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき,$b_M=0$となる必要十分条件は,$N$が$[ミ]$の倍数となることである.
$N$が$[ミ]$の倍数でない偶数のとき,$\displaystyle b_M=\frac{[ム]}{[メ]}N$である.